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常微分方程式の解法（１）
𝑑𝑦
= 2𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑦 𝑥 = 𝑦0 exp 𝑥 2
𝑑𝑦
常微分方程式：
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
ある初期値 𝑥0 , 𝑦0 が与えられたとき、ある 𝑥 の値に対する 𝑦 𝑥 の値を求める
微分方程式の数値解をコンピュータにより求める
常微分方程式の解法（２）
𝑑𝑦
𝑦 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦(𝑥)
微分の定義：
= lim
𝑑𝑥 ∆𝑥→0
∆𝑥
𝑦 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦(𝑥)
≅
∆𝑥
∆𝑥 が十分小さい場合
𝑦 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦(𝑥)
𝑑𝑦
常微分方程式：
= 𝑓 𝑥, 𝑦 ≅
∆𝑥
𝑑𝑥
𝑦 𝑥 + ∆𝑥 = 𝑦 𝑥 + 𝑓 𝑥, 𝑦 ∆𝑥
（一次のTaylor展開）
ある 𝑥 におけるの 𝑦 値から 𝑥 + ∆𝑥 における 𝑦 の値の近似値を求める
常微分方程式の解法（３）
オイラー法
𝑑𝑦
常微分方程式：
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
１．初期値 𝑥0 , 𝑦0 が与えられたとき、ある 𝑥 の値に対する 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 の値を求める
２． 𝑥 の微小増分をℎとし、 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 として𝑥 = 𝑥0 + ℎでの𝑦の値を求める
３． 𝑓 𝑥1 , 𝑦1 を計算し、 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥1 , 𝑦1 として𝑥 = 𝑥1 + ℎでの𝑦の値を求める
４． 求める𝑥の値まで上記の計算を繰り返す
簡便だが精度が悪い
常微分方程式の解法（４）
二次のルンゲクッタ法
𝑑𝑦
常微分方程式：
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
ℎ2 𝑑
𝑦 𝑥 + ℎ = 𝑦 𝑥 + ℎ ∙ 𝑓 𝑥, 𝑦 +
𝑓 𝑥, 𝑦
2 𝑑𝑥
𝑑
𝑓
𝑑𝑥
（二次のTaylor展開）
𝑥, 𝑦 を𝑓 𝑥, 𝑦 の線形結合で書き換える
ℎ
𝑦 𝑥 + ℎ = 𝑦 𝑥 + ∙ 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝑓 𝑥 + ℎ, 𝑦 + 𝑘
2
ここで、𝑘 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥, 𝑦
二次のTaylor展開と同等の精度（ℎ2 ）をもつ
常微分方程式の解法（５）
𝑑𝑦
常微分方程式：
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
二次のルンゲクッタ法
１．初期値 𝑥0 , 𝑦0 が与えられたとき、ある 𝑥 の値に対する 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 の値を求める
２． 𝑥 の微小増分をℎとし、 𝑘 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 を求める
ℎ
３． 𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘 を計算し、 𝑦1 = 𝑦0 + 2 ∙ 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 + 𝑓 𝑥0 + ℎ, 𝑦0 + 𝑘
として𝑥1 = 𝑥0 + ℎでの𝑦の値を求める
４． 求める𝑥の値まで上記の計算を繰り返す
オイラー法より精度良い
常微分方程式の解法（６）
惑星運動（ケプラー問題）の計算例
オイラー法（緑線）
誤差大のため、真の解（赤線）から
どんどんはずれていく
ルンゲクッタ法（緑線）
常微分方程式の解法（７）
四次のルンゲクッタ法
𝑦𝑛+1
𝑑𝑦
常微分方程式：
= 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑑𝑥
1
= 𝑦𝑛 + 𝑘1 + 2𝑘1 + 2𝑘1 + 𝑘4
6
𝑘1 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑦𝑛
ℎ
𝑘1
𝑘2 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛 + , 𝑦𝑛 +
2
2
ℎ
𝑘2
𝑘3 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛 + , 𝑦𝑛 +
2
2
𝑘4 = ℎ ∙ 𝑓 𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘3
四次のTaylor展開と同等の精度（ℎ4 ）をもつ