Transcript A[3]

アルゴリズムと
データ構造
第12回
ソート（3）:
シェルソート、クイックソート
先々週の復習 O(n2)のソート



配列の後ろから先頭に向かってスキャ
ンし，隣り合う２つの要素の大小関係
が逆であったら入れかえる
1
3
挿入ソート


未ソート
バブルソート
現在処理対象となっているデータを，
整列済みのデータ列内の適切な位置
に挿入する
5
9
10
7
10 11
7
20 17
6
ソート済
3
5
8
選択ソート

整列されていない部分から最小要素
を選び，先頭と入れかえる処理を繰り
返す
未ソート
1
3
5
入れかえ
9
10
7
20 17 18
最小値
先週の復習
配列 A

バケットソート O(n)


値kの要素を入れる箱(バケット
B[k]、ただし、kは０≦k≦m-1)を準
備し、各要素A[i]をB[A[i]]に入れ
たあと、バケットの中身を連結する
基数ソート

O(n)
整列対象となるキーを，いくつか
のサブキーに分割し，下位から上
位の順に，サブキーをもとに安定
な整列を行う
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
1
4
0
6
2
バケットB
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
A[2]
A[0]
A[4]
A[1]
A[3]
B U T
K I D
F A N
F A N
A N Y
B U T
K I D
A N Y
先週の演習問題
(問1)次の5個の整数 {4, 7, 5, 6, 7}をバケットソートでバ
ケットB[i]( 0 ≦ i < 10) を用いて整列する手順を図を
用いて説明せよ。
問1 解答例1 (抽象的な説明例)
A [0] [1] [2] [3] [4]
5個の整数が配列Aに格納
されているものとする
4
7
5
6
7
バケットBにデータを格納する
B [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
A[1]
A[0] A[2] A[3]
A[4]
バケットの先頭から順に
取り出し、配列Aに戻す
A’ [0] [1] [2] [3] [4]
4
5
6
7
7
問1 解答例2
(ポインタを用いた実装を想定した例)
バケットBにデータを格納する
A [0] [1] [2] [3] [4]
B [0]
4 7 5 6 7
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
バケットの先頭から順に取り出し、配列Aに戻す [7]
A’ [0] [1] [2] [3] [4]
[8]
4 5 6 7 7
[9]
A[0]
A[2]
A[3]
A[4]
A[1]
(問2)次の３文字の系列を基数ソートで辞書式順序に並べて
いく過程を示せ。
(B U T ),
１回目
( F A N ),
２回目
( A N Y ),
３回目
( K I D )
問2 解答
１回目
２回目
３回目
KID
FAN
BUT
ANY
FAN
KID
ANY
BUT
ANY
BUT
FAN
KID
本日の内容

シェルソート

クイックソート
シェルソート（Shell sort）

1959年に D. L. Shellが発
表したアルゴリズム

挿入ソートを変形

計算量O（n1.25）～O（n1.5）

安定ではない
シェルソート
 単純挿入ソートの特徴
 ソート済みに近い場合は高速
 挿入先が遠く離れていると移動回数が増大
1
0

2
1
3
2
4
3
5
4
0
5
6
シェルソートの考え方




単純挿入ソートの長所を生かしつつ、回数の多い移動を避ける
最初にまずグループ化を行い、グループ内で大まかにソート（地なら
し）
グループを次第に小さくしていき、最終的に単純挿入ソートを行って
ソート完了
前処理を含めても、移動回数が少なくてすみ、全体として高速化
シェルソートの実例
 4-ソート
8
7
1
4
3
2
7
8
6
3
4
5
3
7
1
4
3
2
7
8
6
5
8
4
5
6
1
3
1
3
2
3
4
2
4
5
7
7
6
5
7
8
8
6
 ２-ソート
 １-ソート
シェルソート

シェルソートのプログラム
for (h = n / 2; h > 0; h / 2)
for (i = h; i < n; i++) {
int tmp = a[i];
for (j = i - h; j >= 0 && a[j] > tmp; j -= h)
a[j + h] = a[j];
a[j + h] = tmp;
}
シェルソート

増分の選択
 ある値から減少して1になればよい
 増分のとり方によっては、同じグループ内でのみ
ソートして、グループ分けが十分に機能しなくなる
 増分が互いに倍数にならないようにする
 h = ・・・、121、40、13、4、1

1から始め、3倍して1を足していく
 最初が大きすぎても効果なし：n
/ 9を超えない値
シェルソート

適切増分シェルソートのプログラム
for (h = 1; h < n / 9; h = h * 3 + 1) ;
for ( ; h > 0; h /= 3)
for (i = h; i < n; i++) {
int tmp = a[i];
for (j = i - h; j >= 0 && a[j] > tmp; j -= h)
a[j + h] = a[j];
a[j + h] = tmp;
}
練習問題


以下のデータをシェルソートで昇順に整列しなさい
整列の間隔は4、2、1の順で減らすこと。
10, 5 , 4, 27, 2, 6, 3, 20, 1, 0, 8, 9, 7, 23, 13, 42
解答
10 5 4 27 2 6 3 20 1 0 8 9 7 23 13 42
4ずつ離れたものをソートした結果
1 0 3 9 2 5 4 20 7 6 8 27 10 23 13 42
1 0 3 9 2 5 4 20 7 6 8 27 10 23 13 42
2ずつ離れたものをソートした結果
1 0 2 5 3 6 4 9 7 20 8 23 10 27 13 42
1ずつ離れたものをソートした結果
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 20 23 27 42
シェルソート（Shell sort）のまとめ

挿入ソートを変形

計算量O（n1.25）～O（n1.5）

安定ではない
クイックソート

クイックソートとは
 1962年に
C. A. R. Hoareが発表したアルゴリズム
 内部整列アルゴリズムの中で最速
 不安定な整列アルゴリズム
 ある要素を決め、その要素より大きいグループと
小さいグループに分類

ある要素：枢軸
 各グループで枢軸を決め直して同じように分割
 計算量O（n
log n）
ただし，最悪の場合O (n2)

1.
2.
3.
4.
クイックソートの原理
ソートする範囲のデータから適当な軸要素(枢軸、pivot) Xを選ぶ。
要素をひとつずつ調べて、X より小さいグループと大きいグループに分割す
る。
小グループと大グループ各々に上記１．と２．を適用する。
各々のグループが分割できなくなるまで分割を繰り返す。
実行例１
8
4
1
1
3
2
2
6
3
4
7
1
4
2
5
3
2
5
5
3
4
5
6
1
8
8
6
6
7
7
7
8

分割の手順
 枢軸をx、配列左端をpl、配列右端をprとし
pl位置の要素がxより大きくなるまでplを右に移動
 pr位置の要素がxより小さくなるまでprを左に移動
 pl、pr両位置の要素を交換
 操作を続け、plとprの位置が交差した時点で終了

配列左端からpl位置の1つ前まで：枢軸より小さい集合
 pr位置の1つ後から配列右端まで：枢軸より大きい集合

実行例２
5
pl
7
3
1
枢軸以下
4
6
2
2
6
3
7
9
8
枢軸以上
pr
クイックソート

ソートの手順
 分割されたグループそれぞれに、同じ処理を再
度適用して再分割
 分割されたグループの要素数が1になった時点で
分割終了
 一種の分割統治法：再帰で簡単に実現
クイックソートのコード
void quicksort(int l, int r, int A[])
{
int k; /* 枢軸より大きい部分の開始位置 */
軸要素を決める;
if (キーがすべて同じ) 終了;
xより小さい部分と大きい部分に分割し，
大きい部分の先頭の位置kを返す;
quicksort(l, k – 1,A);
quicksort(k, r, A);
}
/* 小さい部分を整列 */
/* 大きい部分を整列 */

枢軸の選択
 枢軸の選び方がクイックソートの効率に影響

配列の値の最小値または最大値を選ぶと最悪
 できるだけ配列の値の中央値が望ましい

ただし厳密に求める処理に時間がかかると本末転倒
 方針1：先頭要素、中央要素、最後尾要素の3値
の中間値を使う
 方針2：方針1に加え、3値をソートして、中央要素
と最後尾1つ前の値を入れ替え、ソート範囲を3要
素分絞る

先頭は必ず枢軸以下、最後尾とその手前は必ず枢軸
以上の値になっているので、それぞれの内側をソート
範囲とすればよくなる
実行例３
Ｘ= 3の場合
pl→
←pr
A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] A[6] A[7] A[8] A[9]
Start
3
1
4
1
5
9
2
6
5
3
(1)
2
1
4
1
5
9
3
6
5
3
(2)
2
1
1
4
5
9
3
6
5
3
分割終了
pr = 2
pl = 3
pl, pr : カーソル
v : 枢軸
実行例３：各々のグループをさらに分割
a[0] a[1]
レベル2
レベル5
ソート終了
a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9]
4
5
9
3
6
5
3
9
6
5
5
1
1
1
1
2
4
3
3
2
4
3
3
3
3
Ｘ=2
1
終了
キーが
全て同じ
レベル4
a[3]
2
1
レベル3
a[2]
終了
Ｘ=5
Ｘ=4
3
3
終了
9
6
5
5
4
5
6
5
9
4
5
6
5
5
5
6
5
5
6
終了
Ｘ=9
Ｘ=6
終了
終了
9
終了
クイックソートの計算時間

分割の段数≒log2 n

各段での時間 O ( n )

平均時間 → O ( n log n )
最悪の場合
ｎ＝ 8
比較回数
7
： 即ち n-1
6
5
4
3
2
1
 選択ソートの実行と同じようになり
n-1
Σｉ
i=1
= { n ( n - 1) } / 2
→ O ( n 2)
クイックソートのまとめ
 1962年に
C. A. R. Hoareが発表したアルゴリズム
 内部整列アルゴリズムの中で最速
 不安定な整列アルゴリズム
 ある要素を決め、その要素より大きいグループと
小さいグループに分類

ある要素：枢軸
 各グループで枢軸を決め直して同じように分割
 計算量O（n
log n）
ただし，最悪の場合O (n2)
ソート全体のまとめ
名称
計算量
内部/外
部
安定/不安定
バブルソート
O(n2)
内部
安定
挿入ソート
O(n2)
内部
安定
選択ソート
O(n2)
内部
不安定
バケットソート O(n)
内部
安定
データに制限
有
基数ソート
O(n)
内部
安定
データに制限
有
シェルソート
O（n1.25）～
O（n1.5）
内部
不安定
内部
不安定
クイックソート O(n log n)
備考
最悪O(n2)
演習問題
次の配列を、クイックソートにより並べ替える。
並べ替え領域の左端の添え字を pl、右端の添え字を pr と設定したとき、枢軸は
(pl+pr)/2（小数点以下切り捨て）で示される添え字の位置とする（この配列では添え字 5
の 59）。ここで
1. pl 位置の値が枢軸の値以上になるまで pl を右へずらす。
2. pr 位置の値が枢軸の値以下になるまで pr を左へずらす。
3. pl 位置の値と pr 位置の値を入れ替える。
4. pl と pr が交差して入れ替わるまで、1. から 3. までを繰り返す。
という操作を行うと、配列は
となり、添え字 0 から 5 までの集合と 6 から 11 までの集合に分割される。このとき、以下の問い
に答えよ。
(1) 添え字 0 から 5 までの集合において、pl、pr および枢軸の位置を再設定し、同様に分割したと
き、分割後の配列の並びと pl、pr の添え字位置を示せ。
(2) 添え字 6 から 11 までの集合において、pl、pr および枢軸の位置を再設定し、同様に分割した
とき、分割後の配列の並びと pl、pr の添え字位置を示せ。
名前と学籍番号をご記入のうえ、解答用紙（A4）を提出する
提出先：
工学部電子情報実験研究棟５階
NO.5506室のドアのポストに入れてください
締め切り時間：
来週月曜日（７月７日） 午前９時まで