利得行列

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初級ミクロ経済学
-ゲーム理論入門-
2014年12月15日
古川徹也
2014年12月15日
初級ミクロ経済学
1
戦略型ゲームの定義
戦略型ゲームとは,以下の3つの要素に
よって構成される。
(1)プレイヤー
(2)各プレイヤーの戦略
(3)各プレイヤーの利得関数(あるいは
単に利得)

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戦略型ゲームの例



隣り合った二つのガソリン・スタンドA,
Bが,ガソリン価格を同時に決めようとし
ている。
ガソリン価格は高価格(Hであらわす)か
低価格(L)のどちらかしか選べない。
客は安い方のスタンドに行くが,同価格
なら半分ずつ分け合う。
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戦略型ゲームの例(続き)




どちらもHを選ぶ場合,両方とも2を得る。
どちらもLを選ぶ場合,両方とも0を得る。
片方がH,片方がLを選ぶ場合,Hを選んだ方
はお客がゼロとなり,-2,Lを選んだ方は,
3を得る。
これは典型的な囚人のジレンマの状況。
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利得行列であらわす
図4.2
A\B
H
L
H
2,2
-2,3
L
3,-2
0,0
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プレイヤーと戦略
図4.2
A\B
H
L
H
2,2
-2,3
L
3,-2
0,0
プレイヤー:A,B
戦略:H,L
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戦略の組と利得関数
図4.2
A\B
H
L
H
2,2
-2,3
L
3,-2
0,0
戦略の組:(H,H), (H,L), (L,H),(L,L)
利得関数:戦略の組に対して,利得を対応
させる関数
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戦略の組と利得関数
Aの利得関数
u A ( H , H )  2, u A ( H , L)  2, u A ( L, H )  3, u A ( L, L)  0
Bの利得関数
u B ( H , H )  2, u B ( H , L)  3, u B ( L, H )  2, u B ( L, L)  0
左側がAの行動,右側がBの行動
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プレイヤーの合理性と支配戦略

プレイヤーの合理性:直面しているゲー
ムの構造を隅々まで誤りなく熟知してお
り,他のプレイヤーの戦略が決められた
時,自分の利得を最大化する戦略を求め
ることができる。
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プレイヤーの合理性と支配戦略

支配戦略:プレイヤー i のある戦略 si が,
他の任意の戦略 si' に対して,i 以外のプレイ
ヤーのどんな戦略の組 siについても,
u i ( si , si ) u i ( s , si )
'
i
を満たすとき,si をプレイヤー i の支配戦略
と言う。
 すべてのプレイヤーに支配戦略が存在する
とき,その支配戦略の組を支配戦略均衡と
呼ぶ。
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支配戦略均衡は?
A\B
H
L
H
2,2
-2,3
L
3,-2
0,0
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支配戦略均衡は?
A\B
H
L
H
3,3
-2,2
L
2,-2
0,0
支配戦略が存在するのはかなり特殊なケース
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戦略型ゲームの均衡



以下ではナッシュ均衡を考える。
支配戦略均衡は必ずナッシュ均衡である
が,支配戦略均衡が存在しない場合でも
ナッシュ均衡は存在しうる。
非協力ゲームにおいてもっとも基本的な
均衡概念と言える。
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ナッシュ均衡(1)最適反応

最適反応: i を除くほかのすべてのプレイ
ヤーの戦略の組 si が与えられたとき si
に対する i の最適反応とは,プレイヤー i
'
が取れるどのような戦略 si に対しても
u i ( si , si ) u i ( s , si )
'
i
を満たすような戦略 si である。
 最適反応は相手の戦略に依存するので,最
適反応関数 BRi ( si )と表現できる。
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ナッシュ均衡(2)
合理的期待とナッシュ均衡

(ナッシュ)均衡となる戦略を
*
1


*
n
( s ,..., s )
合理的期待:各プレイヤー i は,他のプレイ
*
ヤーがプレイする戦略を si と予想する。
ナッシュ均衡:すべてのプレイヤー i につい
て,BRi ( s*i ) が成立する戦略の組
のことを言う。
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( s1* ,...,sn* )
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ナッシュ均衡は?
A\B
H
L
H
3,3
-2,2
L
2,-2
0,0
支配戦略均衡は存在しないが,ナッシュ均衡は存
在する。
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ナッシュ均衡の特徴


自己拘束的である。つまり,どのプレイ
ヤーにも単独で逸脱するインセンティブ
がない。
混合戦略まで含めれば,有限のプレイヤ
ー,有限の行動選択肢のもとではナッシ
ュ均衡は存在することが示されている(
ナッシュ均衡の存在定理)。したがって
,「ないものの性質を議論する」という
リスクがない。
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