Transcript 利得行列
初級ミクロ経済学 －ゲーム理論入門－ 2014年12月15日 古川徹也 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 1 戦略型ゲームの定義 戦略型ゲームとは，以下の３つの要素に よって構成される。 （１）プレイヤー （２）各プレイヤーの戦略 （３）各プレイヤーの利得関数（あるいは 単に利得） 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 2 戦略型ゲームの例 隣り合った二つのガソリン・スタンドA， Bが，ガソリン価格を同時に決めようとし ている。 ガソリン価格は高価格（Hであらわす）か 低価格（L）のどちらかしか選べない。 客は安い方のスタンドに行くが，同価格 なら半分ずつ分け合う。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 3 戦略型ゲームの例（続き） どちらもHを選ぶ場合，両方とも２を得る。 どちらもLを選ぶ場合，両方とも０を得る。 片方がH，片方がLを選ぶ場合，Hを選んだ方 はお客がゼロとなり，－２，Lを選んだ方は， ３を得る。 これは典型的な囚人のジレンマの状況。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 4 利得行列であらわす 図４．２ A＼B H L H ２，２ －２，３ L ３，－２ ０，０ 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 5 プレイヤーと戦略 図４．２ A＼B H L H ２，２ －２，３ L ３，－２ ０，０ プレイヤー：A，B 戦略：H，L 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 6 戦略の組と利得関数 図４．２ A＼B H L H ２，２ －２，３ L ３，－２ ０，０ 戦略の組：(H,H), (H,L), (L,H),(L,L) 利得関数：戦略の組に対して，利得を対応 させる関数 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 7 戦略の組と利得関数 Aの利得関数 u A ( H , H ) 2, u A ( H , L) 2, u A ( L, H ) 3, u A ( L, L) 0 Bの利得関数 u B ( H , H ) 2, u B ( H , L) 3, u B ( L, H ) 2, u B ( L, L) 0 左側がAの行動，右側がBの行動 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 8 プレイヤーの合理性と支配戦略 プレイヤーの合理性：直面しているゲー ムの構造を隅々まで誤りなく熟知してお り，他のプレイヤーの戦略が決められた 時，自分の利得を最大化する戦略を求め ることができる。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 9 プレイヤーの合理性と支配戦略 支配戦略：プレイヤー i のある戦略 si が， 他の任意の戦略 si' に対して，i 以外のプレイ ヤーのどんな戦略の組 siについても， u i ( si , si ) u i ( s , si ) ' i を満たすとき，si をプレイヤー i の支配戦略 と言う。 すべてのプレイヤーに支配戦略が存在する とき，その支配戦略の組を支配戦略均衡と 呼ぶ。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 10 支配戦略均衡は？ A＼B H L H ２，２ －２，３ L ３，－２ ０，０ 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 11 支配戦略均衡は？ A＼B H L H ３，３ －２，２ L ２，－２ ０，０ 支配戦略が存在するのはかなり特殊なケース 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 12 戦略型ゲームの均衡 以下ではナッシュ均衡を考える。 支配戦略均衡は必ずナッシュ均衡である が，支配戦略均衡が存在しない場合でも ナッシュ均衡は存在しうる。 非協力ゲームにおいてもっとも基本的な 均衡概念と言える。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 13 ナッシュ均衡（１）最適反応 最適反応： i を除くほかのすべてのプレイ ヤーの戦略の組 si が与えられたとき si に対する i の最適反応とは，プレイヤー i ' が取れるどのような戦略 si に対しても u i ( si , si ) u i ( s , si ) ' i を満たすような戦略 si である。 最適反応は相手の戦略に依存するので，最 適反応関数 BRi ( si )と表現できる。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 14 ナッシュ均衡（2） 合理的期待とナッシュ均衡 （ナッシュ）均衡となる戦略を * 1 * n ( s ,..., s ) 合理的期待：各プレイヤー i は，他のプレイ * ヤーがプレイする戦略を si と予想する。 ナッシュ均衡：すべてのプレイヤー i につい て，BRi ( s*i ) が成立する戦略の組 のことを言う。 2014年12月15日 ( s1* ,...,sn* ) 初級ミクロ経済学 15 ナッシュ均衡は？ A＼B H L H ３，３ －２，２ L ２，－２ ０，０ 支配戦略均衡は存在しないが，ナッシュ均衡は存 在する。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 16 ナッシュ均衡の特徴 自己拘束的である。つまり，どのプレイ ヤーにも単独で逸脱するインセンティブ がない。 混合戦略まで含めれば，有限のプレイヤ ー，有限の行動選択肢のもとではナッシ ュ均衡は存在することが示されている（ ナッシュ均衡の存在定理）。したがって ，「ないものの性質を議論する」という リスクがない。 2014年12月15日 初級ミクロ経済学 17