Transcript 講義資料 - 堀山研究室

基本情報技術概論 I (第５回)
アルゴリズム と データ構造
埼玉大学 理工学研究科
堀山 貴史
1
前回の復習：
アルゴリズム
と

基本的なデータ構造
 配列 (array)
 リスト (list)

その他のデータ構造
 スタック (stack)
 待ち行列 (queue, キュー)
 木 (tree)、２分木 (binary tree)


２分探索木、ヒープ
データ構造
この後、すぐ
アルゴリズム
 線形探索 先頭から順番に調べる
計算量 O( n )
 ２分探索 探索範囲の中央を調べる
O( log n )
2
データ構造：

木
深さ
0…
(tree)
節点 と 辺 （枝 ともいう） からなり
以下の １、２ を満たすもの
1…
2…
3…
1. すべての節点が連結である
2. サイクルを持たない
葉
先祖
親
この節点から見て
子
根
兄弟
子孫
3
データ構造：


２分木
(binary tree)
___________
各節点の子は、高々２つ
右の子 と 左の子 は、区別する
例) 下の３つは、どれも異なる２分木

完全２分木
… 20 個
… 21 個
… 22 個
4
２分木の実現法

リスト
2
1
4
2
5
深さ 0
5
7
7
配列
A[ ] 1
3
3
4

1
2
3
1
4
5
6
2
7
節点 i の
 左の子 2i
 右の子 2i + 1
 親
i /2
________
5
２分探索木
6
データ構造：
２分探索木
___________

２分木の各節点に、データを格納

節点 v のデータは
(1) v のどの左の子孫よりも大きい
(2) v の 〃 右
〃
小さい
例）
6
3
最小 →
1
10
4
8
12
← 最大
7
7
２分探索木の操作
探索

探索キー
8
6
3
1
10
4
8
12
7

根から出発

探索キー = 節点のキー … 探索成功
探索キー < 節点のキー … 左の部分木へ
探索キー > 節点のキー … 右の部分木へ
8
２分探索木の操作
追加

9 を追加
6
3
1
10
8
4
7
12
9

探索と同様にして、木をたどる

木から飛び出したところに、新しい節点を加える
9
２分探索木の操作
削除

10 を削除
6
3
1
10
4
8
12
7


削除するキーを探索して削除
２分探索木の条件に合うように移動 （子孫も同様）
左部分木の最大値を移動
or 右部分木の最小値を移動
10
ヒープ
11
データ構造：
ヒープ
(heap)
___________

完全２分木の各節点に、データを格納

親と子の大小関係をそろえる (ヒープ ソートに利用)


親 > 子 なら、根が最大
親 < 子 なら、根が最小
例）
２分探索木との
9
違いに注意
6
3
7
2
4
1
12
ヒープの操作

探索
最大値は？
7
6
3
5
2
4
1
ヒープ ソート


値を順に追加
最大値を順に取り出す
(最大値を探索 & 削除)
13
ヒープの操作
追加

8 を追加
7
6
3
5
2
4
1
8

ヒープの最後 (深さ最大、左詰め) に新しい節点を追加

ヒープの維持
14
ヒープの操作

削除
7
1
6
3
5
2
4
6
1
3
5
2
4
7 を削除

ヒープの最後を削除する節点に追加移動

ヒープの維持
15
データ構造：

２分木
 ２分探索木
 ヒープ


木
(tree)
まとめ
左の子孫 < 親 < 右の子孫
親 > 子 (または 親 < 子)
バランス木
部分木の節点数や深さにバランスを
 完全バランス木
左右の部分木の節点数の差が１以内
 AVL 木
左右の部分木の深さの差が１以内
多分木
 B 木 (各節点が最大 m 個の子をもつバランス木)
16
アルゴリズム：

ヒープソート
(heap sort)
ヒープの最大値の取り出し、ヒープの維持を繰り返す
7
1
6
5
6
3
2
4
1
最大値の取り出し
5
6
3
2
4
1 7
最後の葉の移動
3
7
2
4
ヒープの維持
4
6
3
5
5
7
1
2
4
最大値の取り出し
3
5
67
1
2
4
最後の葉の移動
3
1
5
67
2
ヒープの維持
17
アルゴリズム：

ヒープソート
(heap sort)
ヒープの最大値の取り出し、ヒープの維持を繰り返す
7
6
1
5
6
3
2
4
1
最大値の取り出し
計算量 O( 1 )
3
5
7
2
4
ヒープの維持
計算量 O( log n )
n 回 繰り返し
… トータルの計算量
O( n log n )
18
19
20
アルゴリズム：

バブルソート
(隣接交換法)
隣り合うデータを見比べて、大小関係が逆なら交換
小 大
小
が
バ
ラ
大 バ
ラ
20
30
5
10
1
20
30
5
見比べて 1
交換
10
1
20
30
5
10
1
20
5
30
10
20
30
1
5
10
1 確定
20
バ
30
ラ
バ
5
ラ
10
20
1
30
5
10
1
5 確定
20
バ
ラ
30
バ
10
ラ
…
21
アルゴリズム：

n個
バブルソート
(隣接交換法)
計算量
1
20
30
5
10
確定
1
5
20
30
10
1
確定 5
10
20
30
１個目を確定させるのに ２個目
比較が n – 1 回
n–2回
確定
…
1
5
10
20
30
３個目
… n - 1 個目
n–3回 … 1回
全部で O( n2 )
22
アルゴリズム：

マージソート
ソートされた２つの列
→ １つにマージ（併合）するのは簡単
（各列の先頭を見比べながら、小さい方を取っていく）
5 20 25 50

(併合ソート）
1 10 30 40
１回のマージの実行時間は、要素数に比例
23
アルゴリズム：
マージソート
(併合ソート）
5 25 50 20 30 40 10 1
5 25 50 20
5 25
5
25
5 25
30 40 10 1
50 20
50
20
20 50
30 40
30
40
30 40
分割
10 1
10
log n 段
1
1 10
マージ
log n 段
1 段に O( n ) 時間 → 全部で O( n log n ) 時間
25
26
この教材のご利用について




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配布場所

http://www.al.ics.saitama-u.ac.jp/horiyama/OCW/
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この powerpoint ファイルの著作者

堀山 貴史 2007-2011 [email protected]
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図の著作者

p. 8 ～ 10, 12 ～ 15
 クリップアート : Microsoft Office Online / クリップアート

その他
 堀山 貴史

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