Transcript URL

富山大学知能情報工学科
「統計学」第4回
ホーエル『初等統計学』
第３章 確率（前半）
高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授
Email: [email protected]
前回演習問題の答え
• 課題１
（１）標本分散の変形：
1

n 1
（２行目）

（３行目）

（４行目）

（５行目） 
（６行目）


1
n 1
1
n 1
1
n 1
1
n 1
1
n 1
1
n 1
1

n 1
2
(X i  X ) 
( X i 
2

2X iX 
( X i  2 X
2

( X i  2 nX
2
2
2
(X i  2X iX  X )

2
 nX )
2
2
{ X i  n (
2
{ X i 
2
1
n
1
2
X )
X i  nX )
( X i  nX )
2
2

n
2
Xi) }
( X i ) }
2
前回演習問題の答え
（２）偏差平方和をnで割る場合の，分散の定義式の変形：
1
n
（２行目）


1
n
（３行目） 
1
n
（４行目） 
1
n
（５行目）

1
n

1
1
2
(X i  X ) 
( X i 
2

( X i  2 X
2
n

2X iX 

( X i  2 nX
2
2
2
(X i  2X iX  X )

2
2
X )
2
X i  nX )
 nX )
2
( X i  nX )
2

2
X i X
2
2
n
この式は，偏差平方和をn - 1で割る不偏分散を求めるときにも使うことができる．データ
からこの式で分散を計算した後，その値をn倍して（これで，nで割る前に戻る），あらため
てn - 1で割ればよい．「２乗の平均－平均の２乗」という式は覚えやすいので，これは有
用な計算方法である．
前回演習問題の答え
課題２ 章末問題２９のデータを用いて，度数分布表に
分類されたデータから分散の計算を行おう。
元の観測値
階級境界値と
階級の幅を設定する
度数分布表
最大値：31.6
最小値：7.6
階級境界値を設定する際の工夫：
• 測定単位よりもひとつ下の桁で境界値を設定するのは、ちょうど境界値をとったデータ
をどちらの階級に入れるか迷わないようにするための工夫である。
• 測定単位の桁で境界値を設定してもよい。
前回演習問題の答え
課題２ 章末問題２９のデータを用いて，度数分布表に
分類されたデータから分散の計算を行おう。
度数分布表
分類されたデータに対する分散の計算公式
x
1
n
k

i 1
xi f i
s 
2
1
n 1
k

i 1
( xi  x ) f i
2
１．序節
統計の授業なのに確率？
• 統計的な問題に対する解は確率的な表現に
よって与えられる．
• 母集団から標本を無作為抽出すれば，標本
においてどのような統計量（平均，分散など）
が得られるかは，確率的に決まる．
– 第４章以降での基本的考え方
• 近年注目されているベイズ統計学は，第３章
で学習するベイズの定理が基本．
確率 P
ある結果が必ず起きる … 確率 P = 1
決して起きない … 確率 P = 0
起きるか起きないか不確実 … 0 ＜ 確率 P ＜ 1
例：天気予報「明日雨が降る確率 30%」 P=0.3
意味：「明日雨が降る」という予想
それが当たる確率 P = 0.3
客観的側面 （頻度論）
同条件で何度も繰り返した時、その予想が当たって
いる割合。（実際には同一条件の繰り返しは困難）
主観的側面
その予報の信頼度
学習目標
• 確率に関する概念を理解する．
–
–
–
–
–
–
•
•
•
•
試行 (trial)
標本空間 Ω (sample space)
事象 E (event)
単一事象 (simple event)
複合事象 (composite even)
事象演算
確率の公理
排反の概念と，加法定理を理解する．
条件つき確率と，乗法定理を理解する．
独立事象の概念を理解する．
２．標本空間
• 同一の条件のもとで繰り返し行うことのできる「実
験」を考える．
– 例：コインを２回投げて，表および裏の系列を観察する．
– 同一の条件のもとで繰り返されることが前提とされてい
る実験や観察において，１つの事象を生起させる過程
を試行（trial）という．芝・渡部・石塚『統計用語辞典』（新曜社）
– つまり、ある 1 回または 1 組の実験や現象。
– コインを２回投げる実験での，１回のコイン投げ．
• 標本空間（ sample space）：実験における可能
な結果を表す点（「標本点」と呼ぶ）全体の集
合のこと． 「Ω」で表す.
• 個々の可能な結果を単一事象（simple event）
あるいは根元事象（original event）と呼ぶ．
「ei」で表す
– 例：２回のコイン投げでの，表と裏の系列．
– ややこしいことに，１回の試行の結果も事象と呼
ばれる．何を観察するかである．
• Ω = { e1 , e2, … }
• 例：１枚の硬貨を２回投げる実験において，可能な結
果は，HH, HT, TH, TT の４通り．これらの結果をそれぞ
れひとつの点で表す．
HH
HT
TH
TT
e1
e2
e3
e4
𝜴={HH, HT, TH, TT}
={e1, e2, e3, e4}
2つのサイコロの目の標本空間
• 例：2つのサイコロ …
6×6 = 36個の根元事象
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )
• 確率の問題では，適切な標本空間を構成す
ることが基本．
– 可能な結果一覧を表現する．
– １回の実験（試行）で，いずれかひとつの単一事
象だけが生じる．
• 少し複雑な問題では，標本点を図示するのに，
樹形図（テキスト p.58，確率の木）を用いると
よい．あとで具体例を示す．
• ２回の試行の標本空間は，２次元で表現する
こともできる．
– 例：章末問題2
赤（R），黒（B），緑（G）球が
１個ずつ入った箱から，２個
の球を取り出すときの標本空
間．
（1度取り出した球は箱に戻さ
ない）
G
B
R
R
B
G
• 練習問題
黒球が2個、白球が1個入った箱がある。この箱か
ら同時に2個の球を取り出す実験で、
（a）6個の標本点を用いる標本空間、
（ｂ）3個の標本点を用いる標本空間、をつくれ
（答え）
W
B2
W
B1
B
B1
B2
（a）
W
B
W
（ｂ）
３．（単一）事象の確率
• 標本空間を構成したら，各点に確率（probability）を付与する．
• 実験を繰り返したとき，全実験回数に対する，特定の単一事象
が生起した割合を考えることができる．これをその単一事象の相
対度数（relative frequency）と呼ぶ．すべての単一事象にわたっ
て相対度数を合計すると１になる．
• ある単一事象が生起する，経験的あるいは理論的な相対度数を，
その単一事象の確率とする．標本点 e1 に付与された確率を P(e1)
で表す．
• 標本空間を構成する n 個の単一事象の生起頻度（相対度数）が
すべて同じ（「同様に確からしい」）と考えられるならば，
P ( ei ) 
1
n
( i  1, 2 ,  , n )
• 例：１枚の硬貨を２回投げる実験において，
起こりうる結果は，HH, HT, TH, TT の４通り．こ
の実験を何度も繰り返し行えば，それぞれの
結果が生じる相対度数は ¼ となるだろう．そ
こで，それぞれの事象に確率 ¼ を付与する．
HH
HT
TH
TT
e1
e2
e3
e4
𝑃 𝑒1 =
1
4
𝑃 𝑒2
1
=
4
𝑃 𝑒3 =
1
4
𝑃 𝑒4 =
1
4
４．複合事象の確率
• 単一事象の集まりを複合事象（composite event）と呼ぶ．
• 複合事象 A がおこる確率は，A を構成している単一事象の確率
の和である．（テキストp.42）
 例：硬貨を３枚投げた時，表が２回出る確率 P（A） を考える．
標本空間を構成する８つの単一事象のうち，これに該当する
のは，HHT, HTH, THHの３つ．それぞれの単一事象の確率は
1/8 だから，
HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT
e1
e2
P ( A) 
e5
e4
e3
1
8

1
8

1
8
e6

3
8
e7
e8
• 事象(event) : 標本空間Ωの部分集合
例：サイコロ投げを考えよう．ただし， Ω ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}とする．
このとき，サイコロを投げたときに偶数の目が出る事象Eとは，サ
イコロ投げによって得られた結果（サイコロの目）(ei ) が，
ei ∈ E＝{2, 4, 6}を満たすことをいう
Ω
• 事象の演算
E
Ω
Ω
Ω E
Ω E
E
E
𝐸∪𝐹
F𝐹
𝐸∩
𝐸−𝐹
F
F
F
（事象）例：「統計学」でどのような成績（評点）が得ら
れるか，その確率的な情報も含めて議論をしたい．
情報科学類では「履修放棄（X）は評点には用いてはならな
い」とされていることを反映させると，
標本空間Ω ＝{A+,A,B,C,D}となる．
このとき，「統計学の単位が取れる」という事象Eは，
E ={A+,A,B,C}と表すことができる．
「評点B以下は良い成績とはみなさない」という人で
あれば，「良い成績で単位が取れる」という事象Fは，
F = {A+, A}と表すことになる．
• ２つの事象 E と Fが，一方が起これば他方は決して起こらないとい
う性質をもつとき，これらの事象は互いに排反（mutually exclusive）
であるという．
つまり、E∩ 𝐹＝∅
事象E = { e1 (E) , e2 (E), … } ⊂ Ω
• 標本空間 Ω の任意の部分集合。
例：目の和が奇数 E = { (1, 2), (2,1), …, (5, 6) }
目の和が偶数 F={ (1, 1), (3,1), …, (6, 6) }
EとFは互いに排反
2つのサイコロの目の標本空間
( 1, 6 ) ( 2, 6 ) ( 3, 6 ) ( 4, 6 ) ( 5, 6 ) ( 6, 6 )
事象 E の起きる
確率 P(E) =
事象 E を構成する各根元事象の確率の和
P(E) = P(e1 (E)) + P(e2 (E)) + …
例： 1/36 + … + 1/36
= 18/36 = 1/2
( 1, 5 ) ( 2, 5 ) ( 3, 5 ) ( 4, 5 ) ( 5, 5 ) ( 6, 5 )
( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) ( 4, 4 ) ( 5, 4 ) ( 6, 4 )
( 1, 3 ) ( 2, 3 ) ( 3, 3 ) ( 4, 3 ) ( 5, 3 ) ( 6, 3 )
( 1, 2 ) ( 2, 2 ) ( 3, 2 ) ( 4, 2 ) ( 5, 2 ) ( 6, 2 )
( 1, 1 ) ( 2, 1 ) ( 3, 1 ) ( 4, 1 ) ( 5, 1 ) ( 6, 1 )
確率の定義について
(1) 数学的確率
ある試行において，同程度の確からしさで起こることが期待される
場合の数をN，そのうち，あることがらAが起こる場合の数をrとする
とき， r/Nを「Aが起こる確率」という．
【前提】1．Nは有限確定
2．試行の結果として起こり得る各場合は，「同程度の確から
しさ」を持つ
例１）「正しく作られたサイコロ」を振ったときに「１の目が出る確率
は1／6」である．
例2）成田からフランクフルトへ向かう直行便に乗ることになった．航空
機がハイジャックされることを恐れる人にとっては，自分が乗る便がハ
イジャック「される」，「されない」の2通りの場合がある．だからとい
って，「これから乗るフランクフルト行き直行便がハイジャックされる
確率は1/2である」といってよいだろうか？
確率の定義について
（2）統計的確率
n回の試行に対してAの起こる相対度数r/nを考える．nを
十分大きくしていくとき， r/nがほぼ一定値pに近づくな
らば，pを「Aが起こる確率」という．
【前提】同一条件の下で，何度でも反復して「Aが起こる
か否か」を試すことが許される
（問題）1．どれくらいのnであれば「十分大きい」とい
えるのだろうか？
2．n → ∞ のとき，r/n → p となる保証はあるのだろうか？
（これについては，「大数の法則」で詳述する）
確率の公理（コルモゴロフ）
[公理1] 任意の事象 E⊂Ω について
0 ≦ P(E) ≦ 1
（万が一、百万人に1人 → 値の標準化）
[公理2] P(Ω) = 1 （必ず一つの根元事象が起きること ＝
書き忘れている根元事象が無いこと）
[公理3]
５．加法定理
• 加法定理（addition rule）：２つの事象 Aと B が
互いに排反ならば，
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵)
条件つき確率
• ある特定の事象 A1 が起きた時に，事象 A2 が
起こる条件つき確率（conditional probability ）
を P(A2|A1) と表わす．
• 標本空間を構成する単一事象の確率がすべ
て等しいとき，事象 A1 に該当する単一事象
の数を n(A1) ，事象 A1 と A2 の両方に該当す
る単一事象の数を n(A1 and A2) とすると，
P ( A 2 | A1 ) 
n ( A1 and A 2 )
n ( A1 )
積事象の確率と乗法定理
• 確率 P(A1) と，条件つき確率 P(A2|A1)がわ
かっているとき，積事象の確率 P(A1 ∩A2)を求
めることができる．
• 乗法定理（multiplication rule）：
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃(𝐴1 ) × 𝑃(𝐴2 |𝐴1 )
A1 を時間的あるいは概念的に先行する事象にす
ると考えやすい．
条件つき確率：例
箱の中から球を
ひとつ取り出す
P (１番 | 白玉 ) 
１
１
1
２
２
２
２
２
P (１番 | 青玉 ) 
3
もとの標本空間とは分母が異なる！
1
4
例題
• １０本のくじのうち，３本があたりである．Ａさ
んが最初にくじをひき，つぎにＢさんがくじを
引く．Ｂさんがあたりくじを引く確率はいくつか．
引いたくじは元には戻さないものとする．
例題の標本空間
１０本のくじのうち，３本があたりである．Ａさんが最初にくじをひき，
つぎにＢさんがくじを引く． 引いたくじは元には戻さないものとする
Ｂの結果
あたり
４つの事象は
互いに排反
はずれ
Ａの結果
あたり
はずれ
• この例題で，１０本のくじすべてを区別した場
合は，90個の標本点を含む標本空間が構成
される．
– 各標本点に付与される確率は 1/90
• ここで提示した標本空間は，90個の点を含む
標本空間において，区別しない点をまとめた
ものと考えられる．（章末問題７参照）
– それぞれの標本点に付与される確率は，まとめ
られた点の数に対応する．
加法定理
P 
3
10

2
9
「Ａあたり，Ｂあたり」

7

10
3
9

3
10
「Ａはずれ，Ｂあたり」
互いに排反
P（Bあたり|Aあたり）=2/9
P（Bあたり|Aはずれ）=3/9
条件つき確率
「Ａあたり，Ｂあたり」
P 
3
10
加法定理

「Ａはずれ，Ｂあたり」
2
9

7

10
3
9

3
10
乗法定理
P（Bあたり）
＝P（Aあたり ∩ Bあたり） ＋ P（Aはずれ ∩ Bあたり） ＝
P（Aあたり）P（Bあたり｜Aあたり）＋P（Aはずれ）P（Bあたり｜Aはずれ）
樹形図（確率の木）での標本空間
3/10
7/10
2/9
Ｂあたり
7/9
Ｂはずれ
3/9
Ｂあたり
6/9
Ｂはずれ
Ａあたり
Ａはずれ
「合計が１」になっているのはどこ？
樹形図
乗法定理
条件つき確率
2/9
3/10
7/10
Ａあたり
3/10 * 2/9
Ｂはずれ
3/10 * 7/9
3/9
Ｂあたり
7/10 * 3/9
6/9
Ｂはずれ 7/10 * 6/9
7/9
Ａはずれ
Ｂあたり
「合計が１」になっているのはどこ？
3 2 3 7 7 3 7 6 6 + 21 + 21 + 42
× +
× +
× +
× =
=1
10 9 10 9 10 9 10 9
90
樹形図の描き方
• 特定の場面で生じるすべての事象の枝を描く．
– 枝分かれの繰り返しは時間順．あるいは考えや
すさの順．
– 次回学習するベイズの定理では，最初に「仮説」
で分岐させ，次に「データ」で分岐させる．
• 記入するもの
– 事象のラベル
– その事象が生じる条件つき確率
独立な事象
• ２つの事象 A1，A2について，一方の事象の生
起が，もう一方の事象の生起に影響しないと
き，これら２つの事象は独立（independent）で
あるという．
– 模擬試験の判定と，入試結果は独立ではない．
– 入試の朝にコインを投げる．コインの裏表と，入
試結果は独立である．
 「確率論」と「力学」は一般には異なる学問体系に属する科目
である．両科目に対する学生の嗜好や興味を持つ（持たない）
理由も同一ではないのがふつうであろう．したがって，「確率論」
の試験で優秀な成績をおさめることが，「力学」の試験で優秀
な成績をおさめることを意味することはない．すなわち，「確率
論」でよい成績を修めることと，「力学」でよい成績を修めること
は，独立事象であると考えてもよい．
 「確率論」を担当しているＩ教授が茶目っ気を起こして，今年の
「確率論」の試験問題は，今年度の「力学」の講義内容に即した
応用問題の文脈で作成してみようと考えたなら，話は別である．
そのような「確率論」の試験問題は，「力学」が得意な学生にとっ
ては願ってもないものであろう．試験後に成績を調べたとき，ま
だ「確率論」の成績が入力されていないものの「力学」の評点が
「A」となっていることが確認できれば，やがて「確率論」の評点欄
に「A」が記載される可能性は高いと期待できよう．すなわち，「確
率論」で好成績を修めることと，「力学」で好成績を修めることが
独立事象であるとは考えにくい．
独立な事象の乗法定理
• ２つの事象が独立ならば，条件つき確率を考
えるときでも，条件を考慮する必要がない．
𝑃 𝐴2 𝐴1 = 𝑃(𝐴2 )
• 独立な事象の乗法定理
𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 𝑃(𝐴2 )
排反と独立
• 事象の排反と独立を混同しないように！
– 排反：２つの事象が同時には生じないこと
– 独立：一方の事象の生起が，もう一方の事象の
生起に影響しない（情報を与えない）こと．
• ２つの事象 A,B が排反ならば，これら２つの
事象は独立ではない．
– A が生じたという情報が，B の生起に関する情報
を与えている．A と B が排反ならば，P(B|A)= 0 で
ある．P(B)≠ 0 ならば，P(B|A) ≠ P(B)．
補足：確率の性質
確率の性質： 証明（１）
確率の性質： 証明（２）
演習課題
課題1：
（事象の演算に関する）
A,B,Cを三つの事象とする．次の各場合を表す式を書け．
例）Aだけが起こる．
答え）A ∩ 𝐵ｃ ∩ 𝐶 ｃ
説明）Aは起きるが、B,Cは起きないから
１ ）A,Bが起きるがCは起こらない．
２ ）少なくとも一つが起こる．
３ ）少なくとも二つが起こる．
４ ）一つだけが起こる．
５ ）二つ起こるが三つともは起こらない．
演習課題
課題２：
（条件つき確率に関する）
A君は一目惚れの彼女に熱烈な手紙を出したが遂に返事は
こなかった．ただし出した先は,私信を検閲することで悪
名高い女子寮である。このとき,検閲に引っかかって彼女
の手に渡らない確率は３０％,彼女がそれを見て好意を抱
いてくれても羞恥心から返事を書かない確率は７０％,見
ても一笑してくずかごに投げ込む確率は５０％だとする．
A君には何％の割合で望みが残されているだろうか．
名前と学籍番号をご記入のうえ、解答用紙（A4）を提出する。
提出先：工学部大学院棟７階
締め切り時間：
NO.７７０８室のドアのポストに入れてください
来週月曜日（５月１８日） 午後５時まで