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富山大学知能情報工学科
「統計学」第７回
ホーエル『初等統計学』
第５章 主要な確率分布
高 尚策 （コウ ショウサク） 准教授
Email: [email protected]
1
前回の復習
• 確率変数：標本空間の上で定義された実数値関数
– 離散型
– 連続型
• 確率分布の性質：
– 標本の大きさを十分に大きくすると，標本平均ｍは母集団平均μに収
束する
標本平均：m
母集団平均：μ
無作為
2
標本分散：s
抽出
母集団分散：σ２
母集団（確率分布）
•
期待値
E[ X  c]  E[ X ]  c
標本（経験分布）
E[c  X ]  c  E[ X ]
第3回の講義で
紹介ずみ
E[ X  Y ]  E[ X ]  E[Y ]
補足
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋 2 − (𝐸 𝑋 )2
𝑉 𝑐𝑋 = 𝑐 2 𝑉[𝑋]
2
前回の演習問題
標本の大きさを十分に大きくすれば，相対度数を用いた経験
分布は，確率分布に収束する
標本数N=１
標本数N=５
標本数N=１０
標本数N=５０
標本数N=３００
標本数N=１００００
大数の法則： 頻度 ＝ 確率
3
この章で学ぶこと
• 代表的な２つの確率分布の導入
– ２項分布（離散型）
– （実践）エクセルを利用した ２項分布の確率計算
– 正規分布（連続型）
– （実践）エクセルで正規分布のグラフの書き方
• ２項分布の正規近似
4
1. ２項分布
• １回の試行（trial）の結果が，「成功」か「失
敗」のいずれかに分類されるとき．これをベル
ヌーイ試行（Bernoulli trial）と呼ぶ．
– 例：コインを投げて，表が出たら「成功」
– 例：さいころを投げて，１の目が出たら「成功」
5
• ２項分布（binominal distribution）：成功確率 p
の，n 回の独立な（independent）ベルヌーイ
試行での，成功回数 X の確率分布. B(n, p) と
表す．
– 観測される実際の分布ではなく，理論的な母集
団分布であることに注意する．
– この確率変数X を２項変数と呼ぶことがある．
6
２項分布の例
• さいころを投げて，１の目が出たら「成功」，そ
れ以外は「失敗」とする．これを３回繰り返す．
• 下の表は，この実験での標本空間（可能な結
果すべて）と，標本空間を構成する各点に付
与された確率を表している．
成功：S
失敗： F
結果
SSS
SSF
SFS
FSS
2
2
2
確率
𝟏 𝟑
( )
𝟔
1
6
5
( )
6
1
6
5
( )
6
1
6
5
( )
6
SFF
5
6
2
FSF
1 5
( )
6 6
2
1
( )
6
FFS
5
6
2
1
( )
6
FFF
𝟓 𝟑
( )
𝟔
7
• 標本空間の各点から成功回数 への写像X を考える．簡単に，
成功回数を確率変数X と考えてよい．
標本空間
SFS
成功回数
X
FFF
FFS
SFF
0
1
FSF
FSS
2
3
SSF
SSS
• もともとの標本点に付与されていた確率を，成功回数ごとに加
算すると，x 回成功する確率P{X = x} がわかる.
x
3
P{X = x}
𝟏 𝟑
( )
𝟔
2
1
3
6
2
1
5
( )
6
3
5 2 1
( )
6
6
0
𝟓
( )𝟑
𝟔
8
２項分布を与える関数
• 確率分布を計算する王道（だが大変）
– 標本空間の構成
– 各標本点への確率付与
– 確率変数 X の構成
– 確率変数 X の値ごとに，標本点に付与された確
率を加算
• n 試行の２項分布は次の式で与えられる．
P{ X  x} n C x p q
x
n x
n!

p x q n x
x!(n  x)!
9
２項分布の式の導出（n=3）
• ３回とも成功の確率は，  1   5 
  
6 6
• ２回成功する，ある特定の系列（たとえば，
2
1
FSS）の出現確率は，
3
1
 
6
5
 
6
1
 
6
5
 
6
0
• １回成功する，ある特定の系列（たとえば，
FFS）の出現確率は，
1
2
10
• 0回成功する確率は，  1   5 
   
6 6
• 成功回数が１回および２回となる系列は１通
りではない．→ では何通りか？
0
3
• ある成功回数（たとえば，２回）になる，３回の
独立なベルヌーイ試行での，成功試行の組
み合わせの数を考えればよい．
11
成功回数２回の場合
３か所のうち，「成功」となる２か所を選ぶ
選び方の総数は，
3!
3
3 C 2
2!(3  2)!
12
• 一般に，n 回の試行で，成功となる x 回の試
行を選ぶ
• 選び方の数は，
n!
n Cx 
x!(n  x)!
• よって， n 回の試行で，x 回成功する確率は，
P{ X  x} n C x p q
x
n x
n!

p x q n x
x!(n  x)!
13
２項係数
• ２項係数（binomial coefficient）
n!
n Cx 
x!(n  x)!
• ２項定理の展開式において，係数に現れる．
(a  b)  (a  b)(a  b) (a  b)
n
1 n 1
 n C0 a b  n C1a b
0 n
  n Cn a b
n 0
14
2. ２項分布の性質
分散（中心まわりの変動）
平均（分布の中心）
15
２項分布の平均と分散
• 平均（期待値） np ，分散 npq
 q は「失敗」の確率，すなわち，1 – p
 この性質は覚えておくとよい
• この性質を証明する方法はいくつかあるが，
もっとも簡単なのは，１回のベルヌーイ試行で
の平均と分散を考えるもの．
16
• １回目のベルヌーイ試行（成功確率 p）での，
「成功」回数を表す確率変数 X1
• P{X1=1} = p, P{X1=0} = q
X1
P(X1）
1
ｐ
0
ｑ
• 平均（期待値）
• 分散
E[ X1 ]  1 p  0  q  p
V [ X 1 ]  E[ X 1 ]  {E[ X 1 ]}
2
2
 1  p  0  q  p  p (1  p )  pq
2
2
2
17
• n 回のベルヌーイ試行での，「成功」回数を表
す確率変数 X
X  X1  X 2   X n
• 平均
E[ X ]  E[ X 1  X 2    X n ]
 E[ X 1 ]  E[ X 2 ]    E[ X n ]  np
• 分散（独立試行では加法性が成立）
V [ X ]  V [ X1  X 2    X n ]
 V [ X1 ]  V [ X 2 ]    V [ X n ]  npq
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実践１：エクセルを利用した ２項分布における
成功確率の計算
• ベルヌーイ試行おいてx回成功する確率P{X=x} は，
エクセルのBINOMDIST 関数を用いて求められる．こ
の関数名の由来はBinominal Distribution（２項分
布）である.
• 例題：サイコロを投げる．１の目がでることを「成功」
とする．３回投げた時の成功回数の確率分布は，２
項分布となる．テキスト表３（p.95），図２（p.96）参照．
19
エクセルシートの準備
• 「成功回数」「２項係数」「成功確率P{ｘ}」を記
録する列を用意する．サイコロは３回投げる
ので, 成功回数は０回から３回である．
20
COMBIN関数
• すべて成功あるいはすべて失敗という試行結
果の系列は１通りしかない．
• その他は複数とおりの系列がある．２項係数
はいくつの系列があるかを表す.
• ２項係数を計算するエクセルの関数は
COMBIN 関数である．たとえば，
COMBIN(3,2)は，3C2を計算して，３を返す．
• この関数名の由来はCOMBINATION である．
21
２項係数の計算
• n回の試行でx 回成功する系列の数（２項係
数）を計算する書式は，=COMBIN(n, x) である.
• たとえば，サイコロ投げ（１が成功）を３回行っ
て１回成功する系列の数を求めるには以下
のように=COMBIN(3, 1) と入力する．
22
• ２項係数を計算する列で，それぞれの成功回
数（０回から３回）に対応する２項係数を計算
する．COMBIN(3, 0) からCOMBIN (3, 3) までを
順に入力すると,下図のようになる．
23
成功確率の計算: BINOMDIST関数
• BINOMDIST 関数を用いて，P{x} を計算する．この関
数は，成功数x，試行回数n，成功確率p を指定して，
=BINOMDIST(x,n,p,FALSE)
と書く．最後のFALSEはP{x} を求める場合の指定で
ある. これをTRUE とすると，部分和の計算になる．
• BINOMDIST 関数を挿入し，成功確率P{x} を求める．
24
２項分布
• 下図のような確率分布（２項分布）が得られる.
• 最後に，確率分布のグラフを描く．
25
3. 正規分布
• 下の図のようなヒストグラムは，よく観察される．
– 釣鐘型（bell curve）
– 左右対称
• このようなヒストグラムの極限形（母集団分布）とし
て，正規分布（normal distribution）と呼ばれる確率
分布が仮定される．
26
確率密度関数
• 連続型の確率変数のデータで，ヒストグラム
を描く．釣鐘型のヒストグラムが得られた．
– 適当に階級を設定する．柱の面積を，その階級
に属する相対度数と等しくする．（全面積は１）
• 標本を大きくし，階級の幅を０に近づけていく
と，柱の上部での段差はなめらかになり，全
体として左右対称なグラフが見えてくる．
• このグラフの式が，正規分布の確率密度関
数（probability density function）である．
27
正規分布の確率密度関数
• 正規分布の平均をμ（ミュー），分散をσ2（シグ
マ２乗）として，N(μ, σ2) と表す．
• 正規分布の確率密度関数
f ( x) 
1
e
2 
1 ( x )2

2 2
– 本質的には，
e
 x2
28
• データから描かれるヒストグラムが釣鐘型に
見えても，母集団の分布が正規分布であると
は限らない．
• 統計学では，母集団の分布として正規分布
が仮定されることが多い．その仮定に問題が
あるようなら，そのときに対応を考える．
• 確率密度関数のグラフでは，縦軸は確率で
はない．確率密度である．
29
確率密度関数の性質
• 正規分布に限らず，確率密度関数には以下
の性質がある．数学的には，こうした性質を
持つ関数を確率密度関数と定義する．
f ( x)  0




b
a
f ( x)dx  1
f ( x)dx  P{a  X  b}
グラフの値はどこでも０以上．
グラフ下の全面積は１．理論的相対度数
のヒストグラムで，柱の面積をすべて足すと
１になることに対応している．
X=a から X=b までの，グラフ下の
面積は，その区間の値が出現する確率．
確率＝面積
30
正規分布の性質
• 区間 μ±σ の，正規曲線下の面積は，曲線下の全
面積（=1）のおよそ68%
– これは，正規分布に従う確率密度関数 X において，この
区間の値が出現する確率である．
• 区間 μ±2σ の，正規曲線下の面積は，曲線下の全
面積（=1）のおよそ95%
• 区間 μ±3σ の，正規曲線下の面積は，曲線下の全
面積（=1）のおよそ99.7%
31
標準正規分布
• 標準正規分布（standard normal
distribution）：平均０，分散１の正規分布．
• 正規分布表：標準正規分布に従う確率変数 Z
において，P{0≦Z≦z} （テキストp.295付録表
IV）あるいはP{z≦Z}の一覧を示したもの．
• 標準正規分布の確率密度関数における，こ
の区間での曲線下の面積である．
確率＝面積
32
確率分布の標準化（非常に重要！！）
Xの分布:N（ μ , σ2 ）
Zの分布:N（0, 1）
• 平均 μ，分散 σ2 の正規分布に従う確率変数X
は，以下の変数変換（X → Z）により，標準正
規分布に従うようになる．
X 
標準化の公式　Z 

 μ を引くことで分布の位置を変え，平均を 0 にす
る.
 σ でわることにより，分散はもとの変数の 1/σ2 ，
標準偏差は 1/σ になる
33
測定値の標準化
• 標準化の変換は，母集団の確率分布のみな
らず，実際のデータに対しても行われる．
• この変換により，素点（raw score）は，平均か
ら見て，標準偏差いくつ分はなれているかを
表す標準得点（standardized score）に変換さ
れる．
• 偏差値は，標準得点を10倍し，50 を加えたも
の．偏差値の平均と標準偏差は？
34
実践２：エクセルで正規分布のグラフ
を描く方法
• ステップ１：確率変数 X の値 x を少しずつ変
化させて，そのときの確率密度関数の値 f(x)
を，エクセルの NORM.DIST 関数を用いて求
める.
• ステップ２：点 (x, f(x) ) の散布図を描き，すべ
ての点をなめらかな線でつなぐと，正規分布
の確率密度関数のグラフができる．
35
ワークシートの準備
• 確率変数 X の値を入力する列（下図のＡ列）
と，平均０，分散１の標準正規分布 N(0,1) の
確率密度関数 f(x) の値を計算する列（下図
のB列）を用意する．
36
Xの値を用意
• Xの値は -3.5 から +3.5 まで，0.1 きざみで用
意する．X の値を入力する列での一番上のセ
ル（下図のA2セル）を選択し，-3.5 という値を
入力する．
37
連続データの作成
• -3.5 という値を入力した
セルを選択し，「ホー
ム」タブの右端にある
「編集」から，下向き矢
印のアイコンをマウス
で左クリックする．表示
されるメニューから「連
続データの作成」を選
択する．
38
連続データの作成
• 表示されるウィンドウで，「範囲」を列，「増分値」を 0.1，
「停止値」を 3.5 とする．
• [OK] ボタンを押すと，列方向に，
0.1 きざみで，
-3.5 から 3.5 までの
値が入力される.
39
NORM.DIST 関数
• X の値それぞれに対応する f(x) の値を計算する．これに
はNORM.DIST関数を用いる.
• NORM.DIST関数は，確率変数 X の値 x ，平均，標準偏
差を指定して，=NORM.DIST(x, 平均, 標準偏差, FALSE) と
入力する.
• 最後の引数としてFALSEを指定すると，x に対応する f(x)
の値が返される．ここをTRUEとすると，与えられた正規
分布において－∞から x までの値が出現する確率 P{－
∞≦X≦x} が返される.
• NORM.DIST 関数は，Excel 2010 で新たに加えられた関
数．Excel 2007 以前で実習を行うときには，NORMDIST
関数を用いる.
– NORM のあとのコンマなし．
– 使い方は NORM.DIST 関数と同じ．
40
確率密度関数の値の計算
• 標準正規分布での， X = -3.5 に対応する確率
密度関数の値 f(-3.5) を求める．-3.5 という数
字はセル番地（下図ではA2）で指定すること
にして，関数 f(x) の値を計算するセル（下図
ではB2 ）で，以下のように入力する．
標準正規分布の
平均は０, 分散
と標準偏差は１
41
確率密度関数の値の計算
• 確率変数 X の値それぞれに対して，対応する
f(x) の値をNORM.DIST関数で計算する．最初
に関数を入力したセルをコピーすればよい.
42
分散を変えて計算
• 分散の違いによる正規分布の曲線の変化を
観察するために，N(0, 0.52 ) と N(0, 1.52 ) につ
いても，下図のように f(x) の値を計算する.
– NORM.DIST 関数では，分散でなく標準偏差を与
える（たとえば， 1.52 でなく 1.5）ことに注意.
43
グラフを描く
• データの入力されたセルのいずれかをマウス
で選択したあと，「挿入タブ」の「グラフ」から，
「散布図（平滑線）」を選択する．
44
正規分布のグラフ完成
• 次のようなグラフができる．このように，「散布
図（平滑線）」は，関数のグラフを描くのに便
利である．
45
4. ２項分布の正規近似
• ２項分布を用いる問題は，n が大きくなると２
項係数の計算が厄介．
• このようなときに，近似的な解法があると便
利．
– ２項分布の正規近似（normal approximation）：問
題の２項分布に近い正規分布を利用することが
できる．
46
• 例：ある射撃手が標的に命中させる確率を１/３
とするとき,この人が１２回発射してそのうち少
なくとも６回命中させる確率はいくらか．
答え：
x n x
P
{
X

x
}

C
p
q
p=1/3, n=12 の２項分布：
n x
1
2
3
4
5
6
命中回数ｘ 0
p{X=x}
0.008 0.046 0.127 0.212 0.238 0.191 0.111
8
9
10
11
12
命中回数ｘ 7
p{X=x}
0.048 0.015 0.003 0.000 0.000 0.000
P{X>=6} = P{X=6}+P{X=7}+P{X=8}…+P{X=12} = 0.177
47
p=1/3, n=12 の２項分布：
P{X>=6} = P{X=6}+P{X=7}+P{X=8}…+P{X=12} = 0.177
P{X>=6}の値は上の図のヒストグラムで x=5.5から右側にある柱の
48
面積の和である．
p=1/3, n=12 の２項分布（平均np,分散npq）
と同じ平均と分散を持つ正規分布
当てはめた正規分布はN（np, npq）
N（np,npq）=N(4, 1.63^2)
正規分布でのP(X>=5.5)は標準化して 𝑍 =
𝑋 − 𝜇 5.5 − 4
=
= 0.92
𝜎
1.63
• テキストP.295の表IVからZ=0とZ=0.92の間の面積は0.321である．
49
• Z=0.92より右側の面積は0.5－0.321＝0.179となる．
正規分布で近似できる2項分布の条件
• p = q = 1/2のとき，２項分布の確率分布は左右対称になる．
– 同じ平均（np）と分散（npq）を持つ正規分布がよくあてはまる
• p = 1/2でなくても，p および q の値が小さすぎず，n が十分
に大きいとき，２項分布は正規分布で近似できる．
– 目安として，np > 5（p が1/2より大きいときには，nq > 5）
例： n=20, p=0.1の2項分布に
は正規分布の左すそがうまく
適合しない
0.12
P{0}=(0.9)^20=0.12, 0はｘが取
りうる最小値であり、この確率
はかなり大きいだから． 50
２項分布の正規近似
• 問題に合わせて，使う正規分布を変えるの
か？
– 平均 np 分散 npq の正規分布を使う？
• 標準正規分布は扱いが簡単で，特定範囲の
値が出現する確率を示した正規分布表も用
意されている．
• 成功回数を標準化すれば，平均が0，分散が
1となり，常に標準正規分布を利用できる．
51
図10 p=1/3, n=24 の２項分布
(横軸は成功回数)
52
図10 p=1/3, n=24 の２項分布で，
成功回数を標準化
53
２項分布の正規近似を用いた
問題解法（1/2）
1. 成功回数 x を標準化する（確率変数X→Z）
x  np
z
npq
2. テキストの標準正規分布表では，標準化さ
れた成功回数が 0 から |z| までとなる確率
を読み取る．
 成功回数が |z| 以上の確率を与える正規分布
表もある．
z = 0 に対応する x は， x = 0 ではなく，x = np
54
２項分布の正規近似を用いた
問題解法（2/2）
3. 問題にあわせて必要な計算を行う
z > 0 の場合（z < 0 は正規分布の対称性を利用）
テキストの正規分布表を用いる場合，z 回以下の
成功確率を求めたいのなら，読み取った値（成功
回数が 0 から z までとなる確率）に0.5 を加える．
z 回以上の成功確率を求めたいのなら，読み取っ
た値（成功回数が 0 から z までとなる確率）を0.5
から引く．
どの範囲の確率を求めているのか，図をよく見る
55
２項分布の正規近似を用いた
問題解法（注意点）
• ２項分布の正規近似を利用して，「回数」に関す
る問題を解くときには，離散型分布である２項分
布での成功回数を，連続型分布である正規分布
での成功回数に読みかえる必要がある．
– 例：「５回以上の成功」は「4.5回以上の成功」
– 割合に関する問題では読みかえ不要
• 読みかえ後の成功回数を標準化する
– テキストの例１（p.109），例２（p.110）をよく吟味せよ
56
まとめ
• 代表的な２つの確率分布の導入
– ２項分布（離散型）
– （実践）エクセルを利用した ２項分布の確率計算
– 正規分布（連続型）
– （実践）エクセルで正規分布のグラフの書き方
• ２項分布の正規近似
57
演習課題
• 課題：
正規分布の分散（標準偏差）でなく，平均を変える
と，確率密度関数のグラフはどのように変化するだろ
うか？ エクセルで実験してみよう．
レポート内容：
１．作成した確率密度関数のグラフを貼り付ける.
２．説明文
名前と学籍番号をご記入のうえ、レポート用紙（A4）を提出する。
提出先：工学部大学院棟７階
締め切り時間：
NO.７７０８室のドアのポストに入れてください
来週月曜日（６月１５日） 午後５時まで
58