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アルゴリズムと
データ構造
第14回 （最終回）
木構造 (tree)
文字列の復習
文字列処理
 C言語の文字列
• 文字列とは
• 文字列リテラル
• 配列による文字列
• ポインタによる文字列
 文字列の基本操作
• 文字列の長さ
• 文字列からの文字の探索
• 文字列の比較
 文字列探索
• 力まかせ法（単純法）
• KMP法
前回の演習問題
第1問
第1問の解説と答え
A B A D A B D A B C D A A B C A C D
A B A D A B D A B C D A A B C A C D
A B A D A B D A B C D A A B C A C D
-
0
1
0
1
2
0
1
2
0
0
1
1
2
0
1
0
0
第２問
第2問
木（Tree）
情報科学における木
根(root)
枝(branch)
葉 leaf
節点(node)

根（root）


根 root

最も上流のノード
1つの木には1つのみ存在
葉（leaf）・終端節・外部節


葉(leaf)
最下流のノード
非終端節・内部節

葉以外のノード
木の再帰的定義
(1) 単一の節点は，それ自身で一つの木
(1)’ 空集合でも木（空の木（null tree）Λ）
(2) Ti : 木
ni : 木Tiの根
n : すべてのniの親
n
n1
n2
nk
T1
T2
Tk
新しい木ができる
Tiは新しい木の部分木
nは新しい木の根
(3) すべての木は，(1)をもとに(2)を有限回適用して得られ
る


右図のような構造をグラフ（graph）という
c
b
右図は木といえるか？
⇒いえない．
（木の定義をもとに，各自理由を考えてみること）
a
d
e
f
h
g
親子関係
親子関係：
 a は b, f の親(parent)
 b, f は a の子(child)
c
a
a, b, …は各々の
nodeの名前
b
d
f
e
部分木
（subtree）
g
h
i
兄弟
a
同じ親を持つ節点を
兄弟（sibling）という



b と f は兄弟
ｃ と d と e は兄弟
g と i は兄弟
c
b
d
f
e
g
h
i
経路と経路の長さ

ｎ1，ｎ2，・・・，ｎk が木の中の
節点の列であって，１≦ｉ＜ｋ
に対してｎi がｎi+1の親になっ
ているとき，この列のことを
「節点ｎ1から節点ｎk への経路
(path)」という．

このとき，経路の長さは k -1

節点自身への経路の長さは０
n1
n2
n3
先祖と子孫

節点ａから節点ｂへの経路があるとき，ａはｂの先祖
(ancestor)，ｂはａの子孫(descendant)であるという
a
例


b

f

c
d
e
g
h
aからhへの経路： a, f, g, h
その経路の長さ： 3
ｆの子孫： g, h, i
ｃの先祖： a, b
i
根（ｒoot）
⇒真の先祖を持たない唯一の節点
葉（leaf）
⇒真の子孫を持たない節点
深さと高さ

節点の高さ（height）:ある節点から葉への最長経路長

節点の深さ(depth): 根からある節点までの経路の長さ

木の高さ: 木の根の高さ
a

節点b
b
高さ=１， 深さ=１

f
節点g
高さ=１， 深さ=2

深さ（レベル）０
c
d
e
g
木の高さ
３
h
i
順序木と無順序木


順序木（ordered tree）：兄弟間で順序づけを行った木
無順序木(unordered tree)：子の順序を無視した木
a
b
無順序木としてみれば，同じ木
c
c
順序木としてみると，異なる木
左： bが兄，cが弟
右： cが兄，bが弟
a
b
木の探索（走査）（tree traversals）


ある決まった順番で，木のすべての節点
をもれなくたどること
木のなぞりともいう
a
b
c
d
f
e
g
h
i
節点に順序をつける方法

行きがけ順（先行順，前順）
preorder traversal
⇒ M-L-R

inorder traversal
⇒ L-M-R

M
通りがけ順（中間順，間順）
L
R
帰りがけ順（後行順，後順）
postorder traversal
⇒ L–R-M
※ 木が空なら，どの順序でも，結果は空
※ 木がひとつの節点だけなら，どの順序でも結果は同じ（節点自身）
木をなぞっていき，各節点
に最初に立ち寄ったときに
リストアップする
行きがけ順
根n
① n
部分木T１を行きがけ順に走査
部分木T2を行きがけ順に走査
T1
T2
部分木Tkを行きがけ順に走査
②
③
例
Tk
A
B
C
D
E
H
A
B
I
D
H
F
J
E
I
K
J
G
L
C
F
K
L
G
木のデータ構造
木を表現するのに必要な事項
 節点（および，節点に格納されている情報）
 節点のつながり方
0 A
1 B
3
4
D
E
2
6 G
5 F
8 I
9
J
C
7 H
親へのポインタによる木の表現
0 A
1 B
3
4
D
E
2
6 G
5 F
8 I
9
struct node {
char label;
int parent;
};
struct node P[10];
J
C
7
H
P[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
ラベル
（ 情報 ）
A
-1
B
0
C
0
D
1
E
1
F
1
G
2
H
2
I
5
J
5
根の親は
無いので
-1とする
親の節点番号
（ つながり方 ）
長所と短所(親へのポインタによる表現)

長所



表現がコンパクト(領域量の点で有利)
節点の親を一定時間で探せる
短所


子を見つけるには手間がかかる
節点 i の子を探すには、配列を最初から走査し、P[k]
の親の節点番号欄に i が記載されている k を探索する
⇒ 節点数 V に比例した計算手間 O (V )
拡張性が低い
子のリストによる木の表現
0 A
(方法1の例)
P[0]
[1]
2 C
B 1
[2]
子が3個
[3]
6 G 7H
3 4 5 F
[4]
D E
子が2個 [5]
8 I 9 J
[6]
[7]
 子の数が一定ではない．
[8]
⇒どう表わすか？
方法1) 子の最大個数分，配列を用意する [9]
方法2) 子の連結リストを作る
etc…
A
1
2
-1
B
3
4
5
C
6
7
-1
D
-1
-1
-1
E
-1
-1
-1
F
8
9
-1
G
-1
-1
-1
H
-1
-1
-1
I
-1
-1
-1
J
-1
-1
-1
無駄が多い
子のリストによる木の表現(方法2)
根
S[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
label
A
B
C
1
3
6
2
4
7
8
9
方法2
5
D
E
F
G
各節点の子の（連結）リスト
H
I
各セルは「子の節点番号」と
「次の子へのポインタ」から成る構造体
J
各節点を表わす構造体の配列
header
1つの節点は，「ラベル」と「子のリストへのポ
インタ」から成る
長所と短所(子のリストによる表現)
長所
 子節点の探索が容易
短所
 親を調べにくい(計算手間 O (N) )
 拡張性が低い．


節点を固定長の配列に連続して格納しているので，
配列の要素数を越えて節点を増やせない
複数の木を連結して新しい木を生成することができ
ない．
代表的な木構造
二分木
 完全二分木
 ヒープ
 二分探索木
 AVL木
 B木
 完全バランス木
etc…

ソーティングアルゴリズム
などでよく使用される
サーチアルゴリズム
などでよく使用される
二分木(binary tree)
n1
定義：各節点が，2個以下の子
（節点または葉）をもつ木

n2
n4




n6
n5
0
以下の性質をもつ節点だけから成る木
 子を持たない
1


n3
左の子を一つだけもつ
右の子を一つだけもつ
左の子，右の子を1つずつもつ
3
2
4
6
空の木も二分木
左の子（left child）と右の子(right child)を区別する
5
二分探索木
 すべてのノードで


その左部分木のノードのキー値が、そのキー値より小
その右部分木のノードのキー値が、そのキー値より大
となっている二分木

通りがけ順でなぞると、昇順で値が得られる
10
5
15
4
7
1
1
4
6
5
6
12
9
7
9
11
10
20
14
11
12
14
15
20
二分探索木からのノードの探索
 ノードの探索手順

根から探索、探索するキー値と各ノードのキー値を比較
探索するキー値の方が小さければ左子ノードと比較
 探索するキー値の方が大きければ右子ノードと比較


順次子ノードを探索
見つかれば探索成功
 見つからずに葉に到達したら探索失敗

ノードの探索：3を探索
5
2
7
1
4
3
3の方が大きい：右へ
3と一致：探索成功
3の方が小さい：左へ
二分探索木からのノードの探索
 ノードの探索手順

根から探索、探索するキー値と各ノードのキー値を比較
探索するキー値の方が小さければ左子ノードと比較
 探索するキー値の方が大きければ右子ノードと比較


順次子ノードを探索
見つかれば探索成功
 見つからずに葉に到達したら探索失敗

ノードの探索：8を探索
5
2
7
1
4
3
8の方が大きい：右へ
子ノードなし：探索失敗
ノードの挿入
 手順

まず、挿入すべきデータと同じキー値を持つノードがあるか探索


すでに同じキー値を持つノードがあったら挿入中止
探索失敗箇所にノードを新たに作成し、データ挿入
ノードの挿入：1を挿入
ノードの挿入：5を挿入
ノードの挿入：9を挿入
ノードの挿入：3を挿入
6
2
7
1
4
3
9
5
1の方が小さい：左へ
ノードなし：ここへ追加
5の方が小さい：左へ
3の方が小さい：左へ
9の方が大きい：右へ
5の方が大きい：右へ
3の方が大きい：右へ
まとめ
木の再帰的定義
 親子関係 兄弟 経路と経路の長さ 先祖と子孫
 順序木と無順序木
 木の探索（走査）
 行きがけ順
 通りがけ順
 帰りがけ順
 木のデータ構造
 親へのポインタによる木の表現
 子のリストによる木の表現
 木の操作
 ノードの探索
 ノードの挿入
演習問題
名前と学籍番号をご記入のうえ、解答用紙（A4）を提出する
提出先：
工学部電子情報実験研究棟５階
NO.5506室のドアのポストに入れてください
締め切り時間：
来週月曜日（7月28日） 午前９時まで