Transcript I x

電気回路学
Electric Circuits
コンピュータサイエンスコース、
ナノサイエンスコース4セメ開講
分布定数回路
山田 博仁
無損失線路の伝送式
Ix
Z0
I0
V x  V 0 cosh g x  Z 0 I 0 sinh g x
g
V0
Vx
x
Ix 
x=0
V0
Z0
sinh g x  I 0 cosh g x
p.170 式(8.25)
R = G = 0の線路、即ち無損失線路では a = 0より、g = jとなり、
任意点 x (受電端をx = 0)における電圧、電流は以下の式で与え
られる。 ただし、V0, I0は受電端の電圧、電流
V x  V 0 cos  x  jZ 0 I 0 sin  x
cosh jx  cos x
I x  j (V 0 / Z 0 ) sin  x  I 0 cos  x
sinh jx  j sin x
の公式を使用した
入射波と反射波成分で表せば、
Vx 
1
Z0Ix 
1
2
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x

1
2

1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
p.169 式(8.23)参照
無損失線路の伝送式
Vx 
1
Z0Ix 
1
2
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x

1
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
2

1
2
Γx 
反射波
入射波


Vx
V
上式を、受電端における電圧反射係数 Γ 0 

V x  V x (1  Γ 0 e

 j2 x
Z 0 I x  V x (1  Γ 0 e

)  V0 e
 j2 x
j x

)  V0 e
(1  Γ 0 e
j x
V0  Z 0 I 0
V0  Z 0 I 0
 j2 x
(1  Γ 0 e

x

Vx  Z 0 I x
Vx  Z 0 I x
(8.48)式
で表せば、
)
 j2 x
)
(8.22)式, (8.19)式参照
ただし、

Vx 

V0 
1
2
1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
(V 0  Z 0 I 0 )
j x
(点 x における入射電圧波)
(受電端 x = 0 における入射電圧波)
無損失線路の伝送式


また、点 x における反射係数 Γ x  V x / V x は、

Vx 

Vx 
1
2
1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
(点 x における入射電圧波)
(点 x における反射電圧波)
を用いて表せば、
1
Γx 
V
V

x

x
 2
1
2
(V 0  Z 0 I 0 ) e
 j x
(V 0  Z 0 I 0 ) e


j x
V0 e

 j x
V0 e
j x
 Γ 0e
 j2 x
線路上の電圧、電流の円線図
j
受電端の反射係数G0を極形式で表すと、 Γ 0  Γ 0 e

 j ( 2  x  )

 j ( 2  x  )
V x  V x (1  Γ 0 e
Z 0 I x  V x (1  Γ 0 e

Vx と Z0Ix とを、V x
Γ 0 は 絶対値、　 は 偏角
Γ0  1
)
)
を基準フェーザにとって作図すると、下図のようになる。

 Vx Γ 0 e
Z0 I x
 j ( 2  x  )

0
Vx
2 x  

Vx
Vx Γ 0 e
 j ( 2  x  )
VxがZ0Ixに対して位相が進んでいる場合: 誘導性、遅れている場合: 容量性
線路上の電圧、電流の円線図
x の場所を動かしていくと、下図のように Vx と Z0Ix とが同相になることがある。
この時、点 x から受電端を見たインピーダンスは純抵抗 R になる。
0
( Z 0 I min )

Z0 I x
Vx
0
(Vmin )
Vx

Vx
Vx
(Vmax )
Zx 
Vx
Ix

V max
I min
Z0 I x
( Z 0 I max )
 R max
Zx 
Vx

Ix
V min
I max
 R min
この時、 Vx と Z0Ix は、最大値(Vmax, Z0Imax)或いは最小値(Vmin, Z0Imin)をとる
V max  Z 0 I max
V min  Z 0 I min
より、
R max R min 
V max
I min

V min
I max

Z 0 I max
I min

Z 0 I min
I max
 Z0
2
線路上の電圧、電流の円線図
2つの観測点 x1 と x2 における電圧と電流の関係がちょうど下図のようになった時、
x = x2
x = x1
Vx1
Z0 I x2


Vx2
0
V x1
0


Vx 2
Z 0 I x1
Z 0 I max
Vmax
Vmax
Z0 I x
2点間の距離は、
Vx
Z 0 I min
Z 0 I min
Vmin
x 2  x1 
ZL
Z0
x2
/4
x1
x=0

2

 
2 2


4
線路上の電圧、電流の円線図
先の円線図の関係より、
V x1

Z 0 I x2
Z 0 I x1
或いは、
Vx2
Z x1
Z0

Z0
Z x2

Z0
Z ( x1  / 4 )
従って、/4だけ離れた各々の点から受電端の方を見た2つのインピーダンスは、
互いに逆回路の関係にある
さらに、
Γ x1 
Z x1  Z 0
Z x1  Z 0

Z x1 / Z 0  1
Z x1 / Z 0  1

Z 0 / Z ( x1  / 4 )  1
Z 0 / Z ( x1  / 4 )  1

Z 0  Z ( x 1  / 4 )
Z 0  Z ( x1  / 4 )
  Γ ( x1  / 4 )
より、 /4だけ離れた2点における反射係数の符号は反対になる
大きさについては、無損失線路の場合、線路上至るところで Γ x 1  Γ x 2
Γ0  0
0
(ZL = Z0)の場合
Z0 I x
Vx

Vx
Γ0  1
(ZL = jX)の場合
Z0 I x
0

Vx
Vx
定在波比
無損失線路の受電端に任意の負荷 ZL を接続すると、線路上の電圧 Vx および
電流 Ix は、/4間隔ごとに最大値と最小値を繰り返し、電圧が最大(小)値となる
点では電流が最小(大)値をとる。
Vmax
Vmax
Z 0 I max
定在波比 (SWR または VSWR)
Z0 I x
SWR 
Vx
V min
Vmin
Z 0 I min
V max
Z 0 I min
ZL
/4
I max
I min
SWR: Standing Wave Ratio
Z0
/4

VSWR: Voltage Standing
Wave Ratio
x=0
定在波比SWRと反射係数G0との関係は、
SWR 
V max
V min




x

x
Vx  Vx
V
V




0

0
1  V0 / V0
1 V
/V

1 Γ0
0  Γ0  1
1 Γ0
1  SWR  
定在波による負荷の測定
無損失線路(a = 0)の受電端 x = 0に負荷 Zrを接続したとき、線路上の任意の点より
負荷の方を見た駆動点インピーダンスは、
Zx 
Vx
Ix

V 0 cos  x  jZ 0 I 0 sin  x
V
j  0
 Z0

 sin  x  I 0 cos  x


R max  Z 0  SWR  Z 0

Z r cos  x  jZ 0 sin  x
Z 
j  r  sin  x  cos  x
 Z0 
Z r  jZ 0 tan  x max
jZ r tan  x max  Z 0
よって、 Z r  Z 0
Vmax
Vmax
 Z0
Vmin
j
Zr
xmin
xmax x = 0
jZ r tan  x  Z 0
SWR  j tan  x max
1  j SWR  tan  x max
さらに、
Zr  Z0
Z0
Z r  jZ 0 tan  x
1  j SWR  tan  x min
SWR  j tan  x min
Z0と の値が既知の線路を用いて、
SWRと xmax 或いは xminを測定する
ことにより、Zrの値を求めることが
できる
出席レポート問題
特性インピーダンス Z0 = 300[Ω] の無損失線路が、負荷インピー
ダンス ZLで終端されている。負荷から1/4波長離れた点から負荷
を見たインピーダンス Z を測定したところ、Z = 200 + j150[Ω]で
あった。ZLはいくらか。
※ 〆切: 1/14(木)