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形式言語とオートマトン2010
ー有限オートマトンー
Tokyo University of Technology
School of Computer Science
平成22年5月11日(修正版)
今日のポイント
1.
2.
3.
4.
有限オートマトン（復習・確認）
正規表現 (regular expression)
正規表現とオートマトンの関係
最簡型オートマトンの作り方
（DFA －＞ min-DFA）
超高速オートマトン？
2
まずは、復習から
不学
亦而
説時
乎習
之
3
言語(文法)とオートマトン
---------------------------------------------------------------言
語
処理装置
---------------------------------------------------------------• 句構造言語(PSL)
⇔
Turing 機械
• 文脈依存言語(CSL) ⇔
線形有界オートマトン
• 文脈自由言語(CFL) ⇔
プッシュダウンオートマトン
• 正規言語(RL)
⇔
有限オートマトン
---------------------------------------------------------------まずはここから
かじってみよう
かな
計算モデルやプログラミング言語設計に
深くかかわっています。
4
さて、…
5
有限オートマトンとは（復習）
• (英) Finite Automaton (FA)
finite automata (pl.)
なるほど。
有限オートマトンとは、
内部状態の個数が有限個で
あるオートマトンのことか…
6
いろいろなFA
• Finite Automaton
– Deterministic Finite Automaton (DFA) or
Deterministic Finite State Machine
– Nondeterministic Finite Automaton (NFA) or
Nondeterministic Finite State Machine
– ε-NFA or
NFA with ε-moves or
NFA-lambda
英語も覚えましょう
7
決定性有限オートマトンの定義
DFA M = ( K, Σ, δ, q0, F )
ただし、
K ： 状態の集合( Kは有限集合)
Σ ： 入力アルファベット（Σは有限集合）
δ ： 状態遷移関数
δ： K×Σ∋(qi , a ) → qj ∈ K
q0 ： 初期状態
F ： 最終状態の集合 ( F ⊆ K )
8
(ちょっと一言?)
Did you
know it?
• 「入力アルファベット」とは、
テープ上に配列される記号群のこと。
• なぜ、「入力記号の集合」と呼ばずに、
「入力アルファベット」と呼ぶのでしょか？
• それは、テープ上に並べられた記号列は１つの
単語を表しているとみなす立場があり、その際、
入力記号は単語を構成する文字そのものであ
る。このような文字の集合を一般にはアルファ
ベット(字母)と呼ぶためである。
• なお、本講義では入力記号ひとつひとつが単語
を抽象化したものとする立場をとっています。 9
例：決定性有限オートマトンM1
DFA M1 = ( K, Σ, δ, q0, F )
ただし、
K ： { i, f, 1, 2, 3}
Σ ： { a, b }
δ ： 状態遷移関数
（次の頁参照）
q0 ： i
F ： {f}
10
状態遷移関数δ
状態
入力 a 入力 b
i
1
ー
1
2
3
2
3
f
2
2
2
3
f
f
11
M1の状態遷移図
a
i
a
a
１
b
状態
入力 a 入力 b
i
1
ー
1
2
3
2
3
f
2
2
2
3
f
f
b
a
２
ｆ
a
b
b
３
12
問題
• FDA M1 により受理される文字列は次のうち
のどれか？
①
②
③
④
aaaaa
aabb
abbabb
bababaa
13
問題
• FDA M1 により受理される文字列を５つ以上
作ってみなさい。
この問題ができなかった人は、
もう一度DFAの定義から勉強しなおしましょう
14
非決定性有限オートマトンの定義
NFA M = ( K, Σ, δ, q0, F )
ただし、
K ： 状態の集合( Kは有限集合)
Σ ： 入力アルファベット（Σは有限集合）
δ ： 状態遷移関数
δ： K×Σ∋(qi, a ) → Q ⊂ K
q0 ： 初期状態
F ： 最終状態の集合 ( F ⊆ K )
15
例：非決定性有限オートマトンM2
NFA M2 = ( K, Σ, δ, q0, F )
ただし、
K ： { i, f1, f2, 1, 2 }
Σ ： { a, b }
δ ： 状態遷移関数
（次の頁参照）
q0 ： i
F ： { f1, f2 }
16
状態遷移関数δ
状態
入力a
入力b
i
i, 2
i, 1
1
ー
f1
2
f1
f2
f2
f1
f2
－
f1
f2
非決定性
17
M2の状態遷移図
a, b
a, b
a
i
a
2
ｆ2
b
1
a, b
b
ｆ1
状態
入力a
入力b
i
i, 2
i, 1
1
ー
f1
2
f1
f2
f2
f1
f2
－
f1
f2
18
問題
• FDA M2 により受理される文字列は次のうち
のどれか？
①
②
③
④
aaaaa
aabb
abbabb
bababaa
19
問題
• FDA M2 により受理される文字列を５つ以上
作ってみなさい。
この問題ができなかった人は、
もう一度NFAの定義から勉強しなおしましょう
20
NFA M3の状態遷移図
a, b
b
a
i
ε
a
2
ｆ2
ε遷移（非決定性の要因）
1
a, b
b
ｆ1
21
問題
• FDA M3 により受理される文字列は次のうち
のどれか？
①
②
③
④
aaaaa
aabb
abbabb
bababaa
22
問題
• FDA M3 により受理される文字列を５つ以上
作ってみなさい。
この問題ができなかった人は、
もう一度ε-NFAの定義から勉強しなおしましょう
23
ここまでは定義の復習
24
もう少し具体例を
• 教科書の
– 図2.8 (p.37)
– 問2.3 (p.39)
– 図2.9 (p.41)
– 問2.4 (p.43)
– 図2.11 (p.45)
などを見なれること。図の意味（FAの動作）が
分かるようになりましょう。
25
26
練習問題
• 次ページのFA（状態遷移図で記述されている）を、
文章の形で記述してみてください。
つまり、FAを
– 状態の集合 K
– 入力アルファベット Σ
– 状態遷移関数 δ：K×Σ → K
(表形式でもOK)
– 初期状態
– 最終状態の集合F
の５つ組として記述しなさい。
27
練習問題（続き）
•
教科書の
①
②
③
④
⑤
図2.8 (p.37)
問2.3 (p.39)
図2.9 (p.41)
問2.4 (p.43)
図2.11 (p.45)
それぞれ。
28
新しい話に入りましょう！
• 正規表現 (regular expressions)
正規表現は文字列の集合を現すのに便利！
CSにとっては常識です。
29
例えば、…
•
設定：
– とあるディレクトリに以下のファイルがある
file1 file2 file3
outfile1 outfile2
•
infile1 infile12
tmpfile102 README123
問題：ファイルを名前で探したい
1.
2.
3.
4.
ファイル名が ｆile で始まるもの
ファイル名に file が含まれているもの
ファイル名が 2 で終わっているもの
ファイル名末尾に３桁の数字が付いているもの
こんなとき、正規表現が活躍する
30
（自由課題）調べてみよう
• Linuxでの ls コマンド
• Linuxでの grep コマンド or egrep コマンド
などでの正規表現（メタ文字）はどうなっているか？
（注）これらは、本授業で取り扱う正規表現とは少し
異なっています。いわば拡張正規表現となっていま
す。本授業の正規表現が、本来の正規表現です。
参考文献
・詳説 正規表現, Jeffrey E. F. Friedl, O’Reilly Japan(2003).
31
これからの話の流れ
32
これからの話の流れ
正規表現 ー＞ NFA
NFA
ー＞ DFA
DFA
ー＞ 状態数最小DFA
（例で詳しく練習しますので、
しっかり付いて来てください。）
33
それでは正規表現の定義から
34
• 正規表現は、文字列の集合を表現・記述する。
• つまり、正規表現は１つの言語を記述する。
• 例えば、正規表現 a|b は 文字列 a と b の２
つを意味する。
この場合は、正規表現 a|b = { a, b } といった
具合。
35
正規表現の例
• 文字 a だけからなる言語 { a } は正規表現で
は a と書く。
• 文字列 abc だけからなる言語 { abc } は正
規表現で abc と書く。
• 言語 { aaa } は正規表現で aaa または a3 と
書く。
• 言語 { a, b } は正規表現で a|b または a+b
と書く。
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正規表現の例（２）
• 言語 { a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, …. } は
正規表現で a† と書く。（“a ダガー”と読む）
• 空文字列は正規表現の１つで、εと書く。
（“エプシロン”と読む）
• 言語 { ε, b, bb, bbb, bbbb, …} は正規表現
で b* と書く。
（“b アスタリスク”とか“b スター”とか”b星印”
などと読む）
(参考) dagger, asterisk , epsilon
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(ちょっと一言?)
• 現代ギリシア文字(24文字)の本当の読み方
Α α
アルファ
Ι ι
イョタ
Ρ ρ
ロ
Β β
ヴィタ
Κ κ
カパ
Σ σ ς
シグマ
Γ γ
ガンマ
Λ λ
ラムザ
Τ τ
タフ
Δ δ
ゼルタ
Μ μ
ミ
Υ υ
イプシロン
Ε ε
エプシロン
Ν ν
ニ
Φ φ
フィ
Ζ
ζ
ズィタ
Ξ ξ
クシ
Χ χ
ヒ
Η
η イタ
Ο ο
オミクロン
Ψ ψ
プシ
Π π
ピ
Ω ω
オメガ
Θ θ
シタ
留学生の諸君へ： 日本ではギリシャ文字の読み方が人によりバラバラです。
通常はギリシャ文字を英語読みしたものを採用しています。
38
正規表現の定義
1. 空文字列記号εは空文字列を意味する正規表現。
2. 文字 ｘ がアルファベットAの要素ならば、x は { x }
を意味する正規表現。
3. RとSが正規表現ならば、正規表現 R | S あるい
は R+S は正規表現Rの表す文字列の集合Aと正
規表現Sが表す文字列の集合Bとの和集合。
4. 正規表現 R・S あるいは RS は、Rの表す文字と
Sの表す文字とを連結した（その順に並べ繋ぎ合
せた）文字列すべてからなる集合。
5. Rが正規表現ならば、 R*は、Rの表す文字をゼロ
個以上連接した（並べた）ものすべてからなる集合。
39
正規表現の定義（再）
アルファベットA上の正規表現とは、以下の規
則によって作られるもの（表現）のことである。
1. 空文字列εは正規表現である。
2. Aの要素 x ( x∈A ) は正規表現である。
3. RとSがともに正規表現ならば、
R|S RS R*
はいずれも正規表現である。
40
練習：対応する言語は？
•
•
•
•
•
•
abcd
a*
ab*
(ab)*
bc(2|4)*
a†bcd*
41
例：A = { a, b, c } 上の正規表現
•
•
•
•
•
•
•
ε
a
c
acb
ab|b
c(cb|a)
a(a|b)*cba
42
練習：正規表現で書いてみよう
• { automaton }
• { file0, file1, file2, file3, …, filen, … }
• { ε, ab, aabb, aaabbb, aaaabbbb, … }
43
正規表現をFAで表現してみよう
• （注）このようなことができることは、数学的に
証明されています。
44
1. R=ε
ε
i
ｆ1
45
2.R=a
a
i
ｆ1
46
3.R｜S
R
ｆ1
i
S
47
4.RS
i
R
S
ｆ1
48
5.R*
ε
ε
ε
i
R
ｆ1
ε
49
練習
• 次の正規表現αをFAで表現しなさい。
α＝ a(a|b)*bb
教科書pp.143-151 参照のこと。
50
練習はまた次回の復習でやりましょう
51
次のそして今日最後の話し
• 状態数が最も少ないFAの存在とその求め方
52
M1の状態遷移図
a
i
a
a
１
b
b
a
２
ｆ
a
b
b
３
53
M1が受理する文字列は？
a
i
a
a
１
b
b
a
２
ｆ
a
b
b
３
54
M1が受理する文字列は？
• 例えば、
（すでにやりましたが、再度考えてみて
ください。）
55
M1と等価なFAの状態遷移図(No.2)
a
i
a
b
a
1,2
ｆ
a
b
b
3
56
定 義
FA同士が等価とはどういう意味？
• ２つのFA M1 と M2 とがあり、これらが等価で
あるとは、 M1 が受理する文字列はM2も受理
するとともに、 M2 が受理する文字列はM1 も
受理するということ。
57
FA と L(G) との関係
• 正規文法G
• 正規言語L(G)
• 有限オートマトンM
L(G)
M１
M2
M3
• １つのL(G)に対して、複数のFAがあり得る。
58
• 能力的に等価なFAがある。
用語定義と問題提起
• 能力的に等価なFA群のうち、状態数が最も
少ないものを、「最少化FA」あるいは「最簡型
FA」と呼ぶことにしよう。
• ここで、「最簡型FA」はどうやって求めたらい
いのだろうか？
一般的な手続きはどうなっているのか？
（注）このようなFAの存在はOKですよね。
Why?（考えてみてください。）
59
Myhill-Nerodeの定理
• いま、受理・生成能力が同じFAの中で、状態
数が最も少ないFA（最簡型FA）を求めたい。
その理論的根拠を与えてくれるのが標記の
定理である。
理論的にはとても
とても重要な定理
60
ちょっとだけ覗いてみよう！
Myhill-Nerode関係
• 定義： 到達不可能
⇔ 初期状態から到達することのできないこと。
そのような状態を到達不可能状態と呼ぶ。
• 定理： 到達不可能状態は、O（ |K| |Σ| ）で
見い出される。
• 定義(Myhill-Nerodeの関係)：
FAの２つの状態pとqが等価
⇔[δ(p, w) ∈F ⇔δ(q,w)∈F
for any w∈Σ*]
61
Myhill-Nerodeの定理
次の3つの命題は等価である。
1. アルファベットS上の言語Lが
DFAで認識される。
2. 言語L は、右不変でかつ有限指標な
同値関係における同値類の和集合である。
3. 言語L に対し、関係RL は有限指標である。
後日説明します。
62
この定理で得られる同値類に着目する
• [p]： pと等価な状態からなる集合（同値類）
• DFAに対する同値類オートマトン：
Q’={[q]| q∈Q}
Σ’=Σ
q0’=[q0]
F’={[q]| q∈F}
δ’([q], a) = [δ(q,a)]
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得られる知見
• 定理： 同値類オートマトンはもとのFAと同じ
言語を受理する。
• Myhill-Nerodeの定理を証明する際に、この
同値類の作り方もいっしょに得られる。その
作り方が、最簡型DFA作成手順そのものと
なっている。
64
こんな理屈もありますが、…
• 後日詳しくやりましょう。
いまは気にしないでおきましょう。
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最簡型FAの求め方
• いろいろ知られている。
• わかりやすいものは以下のものです。
66
最簡DFAを求める手順
重要
1. P0 = { F, K-F } 状態の集合Kを２つに
分割する。 n=0とおく。
2. 任意のnについて、Pnの細分化（分割）を
行い、その結果を、Pn+1とする。
3. Pn = Pn+1 となるまで手順２を繰り返す。
67
具体例で練習しましょう
• 図2.18 (p.53)
68
今日はここまで。お疲れ様。
• 次回は、今回までの復
習と第2章の最簡型DFA
を求める練習です。
余力があったら予習し
てみてください。
69