Transcript スライド - Sophia University ECONOM01

3章 確率変数とその分布
3.4 基本的な分布関数 4回目
[補] 二項分布の正規近似
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 400 )
正規分布
二項分布
De Moivre – Laplace の定理
二項分布 ⇒ 正規分布 ( n ⇒ ∞ )
240
220
200
180
160
μ = 200、 σ = 10
x
二項確率
P ( X  x )  p( x ) n C
x
x
p q
n x
( x  0 ,1 ,  , n )
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 10 )
正規分布
二項分布
10
9
8
7
5
6
4
3
2
1
0
二項分布： P{ x = k }
二項分布： P{ x ≦ k }
二項分布： P{ k ≦ x }
x
≒
≒
≒
整数値の 0.5調整 を行う
正規分布： P{ k - 0.5 < x < k + 0.5 }
正規分布： P{ x < k + 0.5 }
正規分布： P{ k - 0.5 < x }
x
内閣支持率、視聴率、普及率、打率 など
の標本割合 x / n の正規近似を行う時
x ～ 二項分布 ( p = 0.3, n = 12 )
正規分布
二項分布
1
0.9166667
0.8333333
0.75
0.6666667
0.5833333
0.5
0.4166667
0.3333333
0.25
0.1666667
0.0833333
0
標本割合 x / n を実数のように扱って
0.5調整は行わない場合が多い
x/n
x→z
標準化の公式
（標準正規分布表 を使う時に用いる変数変換）
扱う変数が成功の回数
（x の 0.5調整 が必要）
x
z 
扱う変数が x の標本割合
（x の 0.5調整は不要）
z 
の場合
x

x/n

x  np
npq
の場合
x / n 
pq / n
p
[例1]
コイン 8 回投げ確率
(a) 6 回表が出る、(b) 少なくとも 6 回表が出る
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 8 )
正規分布
二項分布
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
8
7
6
5
4
3
2
1
0
平均： μ = np = 8 (1/2) = 4
分散： σ2 = npq = 8 (1/2) (1/2) = 2
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 8 )
標準偏差： σ = √2
正規分布
二項分布
(a) P{ X = 6 }
x
正確な値
8
28
1
P  X  6  8 C 6   
≒ 0 . 1094
256
2
正規近似値
X 
6 .5   
 5 .5  
P  5 .5  X  6 .5   P 





 

≒ P  1 . 06  Z  1 . 77  ≒ 0 . 4616  0 . 3554  0 . 1062
(b)
P{ X ≧ 6 }
正確な値
P  X ≧ 6   P X  6  P X  7   P X  8

28  8  1
2
8
≒ 0 . 1445
正規分布
二項分布
256
≒ P  Z  1 . 06  ≒ 0 . 5  0 . 3554  0 . 1446
8
5 .5   
X 
P  X  5 .5   P 



 

7
6
5
4
3
2
1
0
正規近似値

37
x ～ 二項分布 ( p = 0.5, n = 8 )
x
[例2]
四択式 20 問の試験
でたらめに答えて
少なくとも 10 問が正解になる確率。
x ～ 二項分布 ( p = 0.25, n = 20 )
正規分布
二項分布
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
x
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
平均： μ = np = 20 (1/4) = 5
分散： σ2 = npq = 20 (1/4) (3/4) = 3.75
標準偏差： σ = √3.75 ≒ 1.94
正規近似値
9 .5   

x ～ 二項分布 ( p = 0
P  X  9 .5   P  Z 




≒ P  Z  2 . 32  ≒ 0 . 5  0 . 4898  0 . 0102
（参考）正確な値
統計学Webページ「二項分布の確率計算」使用
P{ X ≧ 10 } = 1 – P{ X ≦ 9 }
= 1 – 0.9861…≒ 0.0139
正規近似を使う時の目安
右または左に歪んだ二項分布は
n 小の時 正規曲線の当てはまりが悪い
「p ≦1/2 の時 np > 5」 「p ＞1/2 の時 n(1- p) > 5」