Transcript - 東北大学電気・情報系

電気回路学
Electric Circuits
情報コース4セメ開講
回路に関する諸定理
山田 博仁
連絡事項
1．教科書および参考書
1) 大学課程 電気回路(1) (第3版) 大野 克郎、西哲 生 共著、オーム社
2) 電気回路 - 三相、過渡現象、線路 - 喜安 善市、斉藤 伸自 著、朝倉書店
3) 電気・電子工学基礎シリーズ 電気回路 山田 博仁 著、朝倉書店
2．成績評価
・ 講義点と定期試験の点数（約３：７の比率）を勘案して行う
・ 講義点(約30点)は毎回講義時のレポート提出をもって認定する
・ 定期試験を受けていない者は再試を受けても失格となる
(再試は行なわないかも知れない)
3. オフィスアワー
随時、場所: 2号館203号室 (事前に電話またはE-mailにより予約のこと)
E-mail: [email protected]、電話(内線): 7101
4. 連絡および講義資料のダウンロード: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe/
5. 講義に関するご意見などはブログへ: http://kougi.at.webry.info/
講義日程と内容
日程 (回目)
講義内容
10/2 (第1回) 重ね合わせの理
10/9 (第2回) 双対回路と相反定理
10/16 (第3回) 等価電源と補償定理
10/23 (第4回) 供給電力最大の法則
10/30 (第5回) 二端子対網、 Y行列
11/6 (第6回) Z行列と縦続行列
11/13 (第7回) 諸行列間の関係、Y-D変換
11/20 (第8回) 二端子対網の伝送的性質
11/27 (第9回) 円線図
12/4 (第10回) 分布定数線路の方程式
12/11 (第11回) 線路の縦続行列、波の反射
12/18 (第12回) 理想線路、無ひずみ線路
12/25 (第13回) 複合線路
1/8 (第14回) 無損失線路と反射波
1/15 (第15回) まとめ
1/22 (予備日)
教科書、参考書の章との対応
1)
2)
3)
8.1
5.1, 5.2
8.2, 8.3
5.3～5.5
8.4, 8.5
5.6, 5.7
8.6
3.4e
9.1, 9.2
6.1, 6.3
9.3, 9.4
6.2, 6.4
9.7, 9.8
6.6, 6.7
10.1, 10.2
6.8
10.7
3.5c
8.1～8.3 7.1～7.4
8.4～8.6 7.5～7.8
8.8
7.9
9.1
7.10
9.2
7.11
線形回路
実在する抵抗は、抵抗値が素子を流れる電流 I の関数になっている (非線形素子)
V = R(I) I
RR
(I)
I
V
つまり、V と I は比例関係にない
しかし、電流がごく小さい範囲では、R =一定とみなせる (線形近似)
V=RI
R が線形素子なら、
つまり、V と I は比例
(重ね合わせ)
R (I1+I2) = R I1 + R I2
R が線形でなければ、 R(I1+I2) (I1 + I2) ≠ R(I1) I1 + R(I2) I2
である
(重ね合わせ)
R が線形であれば重ね合わせが可能で、素子に I1 のみが流れている状態と、
I2 のみが流れている状態を重ね合わせると、 I1 と I2 が同時に流れている状態
に等価となる
実在する電気回路素子は非線形素子であるが、線形電気回路学では近似的に
線形素子として扱える場合を対象にしている
重ね合わせの理
複数の電源を含む線形回路網中の電圧・電流分布は、各電源が単独にその位置
に存在するときの分布の総和に等しい。
I1
I
V
E1 のみ存在
V1
E1
J1
E1
その他の電源
は殺す
電圧源→短絡
E2
電流源→開放
J2
複数の電源を含む回路網
In
Vn
V = V1 + V2 + ‥ + Vn
I = I1 + I2 + ‥ + In
J1
J1 のみ存在
その他の電源
は殺す
重ね合わせの理の証明
n 個の電圧源 E1, E2, ‥, En が存在する線形回路網において、各閉路に電流 I1,
I2,‥, In が流れていたとすれば、
インピーダンス
(Z)行列
 E 1   z 11
  
E
z
 2    21
    
  
 E n   z n1
z 12

z 22



zn2

z1 n   I 1 
 
z2n I 2
 
   
 
z nn   I n 

(1)
次に E1 のみが存在する場合の各閉路の電流を I11, I12,‥, I1n とすれば、
Z行列は、
線形回路
なので普遍
 E 1   z 11
  
z
0
    21
    
  
 0   z n1
z 12

z 22



zn2

z 1 n   I 11 
 
z 2 n I 12
 
   
 
z nn   I 1 n 

(2)
次に E2 のみが存在する場合の各閉路の電流を I21, I22,‥, I2n とすれば、
 0   z 11
  
z
E
 2    21
    
  
 0   z n1
z 12

z 22



zn2

z 1 n   I 21 


z 2 n I 22


   


z nn   I 2 n 

(3)
重ね合わせの理の証明
さらに En のみが存在する場合の各閉路の電流を In1, In2,‥, Inn とすれば、
 0   z 11
  
0
z
    21
    
  
 E n   z n1
z 12

z 22



zn2

z1 n   I n1 


z2n I n2


   


z nn   I nn 

(4)
(2), (3), ‥ ,(4)式の左辺同士、右辺同士を足し合わせると、
 E1   E1 
   
E
0
 2    
     
   
En   0 
 0 
 
E
 2  
  
 
 0 
 0   z 11
  
0
z
    21
    
  
 E n   z n1
z 12

z 22



zn2

z 1 n    I 11 
 
z 2 n  I 12
  

   
  
z nn  
  I 1n 
 I 21 


I 22

  
  


I 2n 
 I n1  


I n2 



  




 I nn  

(5)式と(1)式とを比較すると、
 I 1   I 11   I 21 
 I n1 
    



I2
I 12
I 22
In2
   
   

       
  
    



 I n   I 1n   I 2 n 
 I nn 

(6)
即ち、もとの回路の電流は、各電源が単独に存在する場合の電流の総和となる。
(5)
重ね合わせの理
例題8.1
E1のみ
I
I1 
E1
7R
E2のみ
重ね合わせの理
I1
I2  
I2
E2
21 R
I  I1  I 2  I 3
J のみ
I3  
4J
7
I3
重ね合わせの理
例題8.2
E1のみ
I
I1
I1 
E2のみ
Jのみ
E1
R1
重ね合わせの理
I  I1  I 2  I 3
I2
I2  
I3
E2
R1
I3  J
重ね合わせの理
演習問題(8.1)
I
E1のみ
I1
I1 
E1
4R
重ね合わせの理
E2のみ
I2
I2
I2 
E2
R
Jのみ
I3
I3  
J
4
出席レポート問題
以下の回路において、I と I4 を求めよ
R1
I
R2
R
E
2R
J
(a)
2E
R3
I4
2R
E
R4
J
(b)
• 次回の講義(10/9)が始まる前までに提出された場合のみ出席とみなす
• 提出は、次回の講義時に持参するか、私のメールボックスまで
双対性
電気回路においては、法則や記述などが多くの場合に二つずつ対をなして現れる。
例えば、電圧と電流、抵抗とコンダクタンス、並列と直列などがそれに当たり、この
ような対応関係にある概念は双対といわれる。
双対関係にある素子などの例
双対関係にある概念の例
電圧 V
電流 I
直列接続
並列接続
インピーダンス Z
アドミタンス Y
短絡
開放
抵抗 R
コンダンタンス G
閉路
カットセット
Y型接続
D型接続
キルヒホッフの
第2法則
キルヒホッフの
第1法則
インダクタンス L キャパシタンス C
リアクタンス X
サセプタンス B
電圧源 E
電流源 J
双対回路
ある電気回路に対して成立する関係式があるとき、その関係式に対して電圧と電
流とを入れ替えた式もまた成立し、この新たな関係式を満足するような電気回路が
あるとき、このような2つの回路を互に双対回路という。
双対回路
I
I
E
J
V
R
E=RI
E
G
J = GV
J
上の2つは双対回路
V
L
E = jw L I
C
J = jw C V
上の2つも双対回路
双対回路の作り方
双対な回路を求めるには、まず双対グラフを求め、原グラフの枝と双対グラフの枝
とが合い交わる枝同士で、素子をそれと双対な素子に入れ換えればよい。
Z
q
1
E
q
J
p
原グラフ
双対なグラフ
電源など、極性のある素子の扱い
(a) 電圧源 → 電流源
原回路で点 p を囲んで時計回りに
電圧が上昇(降下)する電圧源なら、
新回路では点 p の方向(点 p から出
る方向)に電流を流す電流源になる
E
J
Y
2’
p
双対回路
2
原回路
1’
p
双対回路の作り方
(b) 電流源 → 電圧源
原回路で点 p を囲んで時計回りに
(反時計回りに)電流を流す電流源な
ら、新回路では点 p の方向に電圧
が上昇(降下)する電圧源になる
J
p
E
(c) ダイオード → ダイオード
原回路で点 p を囲んで時計回りに
順方向(逆方向)のダイオードなら、新
回路では p の向きに順方向(逆方向)
のダイオードとなる
p
以下の回路と双対な回路を求めよ
Z1
E1
Z3
Z2
E2
J
L
C
G
双対回路の作り方
4
J1
2
1
J2
原回路の電源 E1が
閉路3と同じ向きな
ので、節点3に向か
うように J1=E/K を入
れる
E2
E1
3
原回路の電源 J2が
閉路2と同じ向きな
ので、節点2に向か
うように E2=K J2 を
入れる
逆回路
逆回路とは
2つの二端子回路があり、そのインピーダンスを
Z1, Z2 とするとき、その積が周波数 w に関係なく
Z1 Z2 =K2 となるならば、二つの回路は K に関し
て互いに逆回路であるという。
逆回路
逆回路の作り方
K
D=1/C
K
R2
Z2 Z 2 
Z1
2
2
L
K
L1
2
R3
D
R1
R3
D1 
2
D
R2
R1
K
K
2
L1
ただし、D1=1/C1
K
2
Z1
逆回路
演習問題(8.2)
Kに関しての逆回路を求めよ
L1
R1
D1
R2
逆回路
D1 
K
L1 
K
2
L1
2
D1
K
2
R1
K
2
R2
上の二つの回路は双対回路となっているが、逆回路は Z1 Z2 =K2 の関係を満たし
ていればよいので構造的な双対性は必要なく、一般に種々の逆回路が存在する
逆回路
演習問題(8.2)の解答
Kに関しての逆回路は、
L1 
D2 
D1 
K
K
2
L2
L2 
K
D2
D3 
K
2
L3
L4 
K
2
K
2
D1
2
D2 
2
L1
K
K
2
L2
L2 
K
L3 
K
2
D2
2
D4
D3 
K
2
L3
R
D4 
K
2
L4
2
D3
定抵抗回路
インピーダンスが w に依存しない二端子回路
下の回路のインピーダンスはいずれも R となり、w には依存しない定抵抗回路
Z
Z
R
R
R
R
Z
2
Z
R
R
R
R
Z
2
R
Z
Z
2
R
Z
2
Z
R
R
2
Z
10/9の出席レポート問題
上記回路のインピーダンスがいずれも Rとなることを確かめよ
※ 次回の講義(10/16)前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと
定抵抗回路
演習問題(8.4)
R1
R2
L
C
 w LCR 1 R 2  j w ( LR 1  LR 2 )  R1 R 2
2
Z (w ) 
インピーダンス
 w LCR 2  j w ( L  CR 1 R 2 )  R1
2
 R0
この式が、周波数 w の値に関係なく成立するためには、分母と分子の各項
の係数の比が R0 に等しくなければならない
つまり、
従って、
LCR 1 R 2
LCR
2

L ( R1  R 2 )
L  CR 1 R 2
R1  R 2  R 0
L
C

R1 R 2
R1
 R0
2
 R0
定抵抗回路
演習問題(8.6)
2
ZI 1 
I1+I2
R0
Z
I2  E
 (1)
2
2
2
I1
R0
V
Z
Z
I2
R0
E
2
I2
R0
I1- I2
Z
Z
I1+I2
I1 
I2 
I1
R 0 ( I 1  I 2 )  ZI 1 
R0
Z
I2  0
( R0  Z ) I1  ( R0 
R0
Z
 (2)

 Z

R  Z
 0

  I1   E 
Z
2  
 
R
I
0
 ( R0  0 )  2   
z 
2
R0
2

R
0
 I1 
1
)
 ( R0 

 
Z
2
2
 I 2   Z ( R  R0 )  R0 ( R  Z )   ( R  Z )
0

0
0
Z
Z
2
R0  E
 


Z  
 0
Z  
E
R0  Z
Z
E
R0 R0  Z
)I2  0
∴ I1  I 2 
E
R0
また、 V  R 0 ( I 1  I 2 ) 
R0  Z
R0  Z
E
相反定理
Ip’
Ep
JpVp’
p
Iq
相反回路
Black
Box
Black Box
相反回路
q
Eq’
Ep Ip’= Eq’Iq の関係が成り立つ時
VqJq’
Jp Vp’= Jq’ Vq の関係が成り立つ時
相反定理の証明
線形回路網において、各閉路に電圧源E1, E2, ‥, Enが
あるとき、各閉路の電流をI1, I2, ‥, Inとすると、
I1
E1
E2
I2
In
線
形
回
路
網
En
E2’
I2’
In’
En’
Z 12

Z 22



Z n2

Z 1n   I 1 
 
Z 2n I 2
 
   
 
Z nn   I n 
 (1)
回路が線形ならば、Z行列は電流値に依らず普遍。
また、回路網が相反回路なら、Zjk = Zkj が成り立つ。つ
まり、Z行列は対称行列となる。
I1’
E1’
 E 1   Z 11
  
E
Z
 2    21
    
  
 E n   Z n1
線
形
回
路
網
また、各閉路に電圧源E1’, E2’, ‥, En’があるとき、各閉
路の電流をI1’, I2’, ‥, In’とすると、
 E 1'   Z 11

 
E 2'
Z

   21
    

 
E
'
 n   Z n1
Z 12

Z 22



Z n2

Z 1 n   I 1' 
 
Z 2 n I 2'
 
   
 
Z nn   I n' 
 (2)
相反定理の証明
(1)式から、転置行列の公式および Z 行列が対称行列であることを用いて、
t
t
 E1   I 1 
   
E
I
 2   2
     
   
En   In 
t
 Z 11

Z
 21
 

 Z n1
Z 12

Z 22



Z n2

t
Z 1 n   I 1   Z 11
  
Z 2n
I
Z
   2   21
     
  
Z nn   I n   Z n 1
Z 12

Z 22



Z n2

 I 1' 
 
I '
上式の両辺に対して右から  2  を作用させると、
  
 
 I n' 
t
 E1 
 
E
 2
  
 
En 
t
 I 1'   I 1   Z 11
   
I '
I
Z
 2    2   21
      
   
 I n'   I n   Z n 1
Z 12

Z 22



Z n2

Z 1 n   I 1' 
 
Z 2 n I 2'
 
   
 
Z nn   I n' 
Z 1n 

Z 2n

 

Z nn 
相反定理の証明
(2)式の関係より、
t
 E1 
 
E
 2
  
 
En 
t
 I 1'   I 1   E 1' 
   

I 2'
I 2 E 2'
    

       
   

I
'
I
E
'
 n   n  n 
つまり、
E 1
従って、
E2

 I 1' 
 
I 2'
E n     I 1
  
 
 I n' 
I2

 E 1' 


E 2'

In  
  


E
'
 n
E1 I 1'  E 2 I 2'    E n I n'  E1'I 1  E 2'I 2    E n'I n
この特別の場合として、p番目の端子対にのみ電圧源 Ep を接続し、それ以外の端
子対を短絡(Ep≠0 = 0)した時、q番目の端子に電流 Iq が流れたとする。次にq番目
の端子対にのみ電圧源 Eq’ を接続し、それ以外の端子対を短絡(E’q≠0 = 0)した時、
p番目の端子に電流 Ip’ が流れたとすると、EpIp’ = Eq’Iq となる。