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カメラと透視投影
Y
凸レンズによる結像
a
f
物体
O
光学中心
像
b
像の位置の計算式：
1
a

1
b

1
f
Z
凸レンズによる結像
像の位置の計算式：
b

af
a f
1
1

a

b
f
af  ff  ff
a f
( a  f ) f  ff
a f

1
ff
 f 
a f
ff
lim b  f  lim
a 
a 
ff
a f
 f  lim
a 
a
1
f
 f 
0
1 0
 f
a
結論：物体とレンズとの距離が十分長いとき、像はレンズ
との距離が焦点距離と同じである。
ピンホールカメラ
透視投影の方程式
Y
y
X
P = (X,Y,T)
x
(x,y,f)
Z
o
o
O
(x,y)
仮想の画像面
x 投影中心
T=0
y
f
画像面
f
Y
y
X
P = (X,Y,T)
x
(x,y,1)
O
投影中心
Z
o
投影面
T=1
同次座標表現による投影変換
１．焦点距離 f =1 のピンホールカメラモデル

x 

y 

X
Z
Y
Z
x
 X  1
  
 
  y  ~  Y   0
 Z  0
1
  
 
0
0
1
0
0
1
X
0 
 Y
0 
Z


0 
T







投影方程式
p M
pinhole
P
ここで、
X

p Y
Z






M
Pinhole
1

 0
0

0
0
1
0
0
1
0

0
0 
X

Y
P 
Z

T








同次座標表現による投影変換
2．焦点距離 f  1 のピンホールカメラモデル
X

x  f Z

Y
y  f
Z

x
 
  y ~
1
 
 fX   f

 
 fY    0
 Z  0

 
0
0
f
0
0
1
X
0 
 Y
0 
Z


0 
T







投影方程式
p  MP
ここで、
M  M fM
Pinhole
M
f
 f

0
0

0
f
0
0

0
1 
同次座標表現による投影変換
３．①焦点距離 =f , ②ピクセルの縦横比 != 1, ③投影中心 != (0, 0)
X

 x '  k x f Z  x0

Y
 y' k y f
 y0
Z

M
I
p  M IP
 M center M kxy M f M
M center
1

 0
0

0
1
0
x0 

y0 
1 
Pinhole
M
kxy
 kx

 0
 0

0
ky
0
0

0
1 
同次座標表現による投影変換
４．①焦点距離 = f, ②ピクセルの縦横比 != 1, ③投影中心 != (0, 0)
④画像座標軸が垂直でない ときの投影変換
Y
V
d
P' =( u, v)
y


O
P =( x, y)
v

u
tan  yd
u=x-d=x-y/ tan 
sin =y/v
v=y/ sin 
U
d
x
X
同次座標表現による投影変換
４．①焦点距離 = f, ②ピクセルの縦横比 != 1, ③投影中心 != (0, 0)
④画像座標軸が垂直でない ときの投影変換

X
 k x f  Y 
x
'

k
f


   x 0
x

 Z  tan    Z 


 k f  Y
 y '   y     y 0
 sin   Z





p  M IP
M  ( M center M kxy M f M O ) M
MO
1

 0
0

 1 / tan 
1 / sin 
0
0

0
1 
Pinhole
 kx f

M  0
 0

 k x f / tan 
x0
k y f / sin 
y0
0
1
0

0
0 
カメラの内部パラメータと外部パラメータ
カメラの投影行列：
M  M center M kxy M f M O M
Pinhole
M  M I M Pinhole
M
I
 M center M kxy M f M O
M Pinhole
Pin-hole カメラモデルの投影行列で、カメラの固有パラメータに依存しない。
M
I
カメラの固有パラメータを表す部分で、カメラの内部パラメータ行列である。
カメラの投影方程式
p  M I P  AM
Pinhole
P
カメラの外部パラメータ：
ワールド座標系からカメラ座標系への変換行列
~
X ワールド座標系における物体の点の同次座標
M
E
R
  T
0 3
P カメラ座標系における物体の点の同次座標
したがって、
~
P  MEX
内部パラメータと外部パラメータで表したカメラの投影方程式
p  AM
Pinhole
~
MEX
T

1