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論文紹介 坂本圭 2004.05.26 Finite-amplitude crossflow vortices, secondary instability and transition in the rotating-disk boundary layer Pier, B. J. Fluid Mech. (2003) 487:315-343 0 はじめに 流線関数瞬間場 水平平均からの 偏差(全て上げ潮) 10日 10日目：ほぼ層流 13日目：波長 310mの波 u,wと も0.1cm/s程度。 13日 16日目：乱流 流 速1cm/sほど。 16日 幅2km 海底から200mまで 0 はじめに(2) 300m v 変曲点→タイプI不安定 0m Karman流鉛直プロファイル エクマン流 鉛直は(ν/Ω)1/2で無次元化 実験結果(下げ潮時) 1 Introduction Karman境界層 回転盤による流れ、そ の他は静止状態(右上図) 現実には遠心ポンプ、ハードディスク など 平板上の回転流、静止盤と回転盤の 間の流れ、環状キャビティ(右下図)など と共通点 2種類の不安定 1.convective instability (伝達性不安定) 擾乱の成長より基本流の移流の効果が強く、擾乱は流されてしまう。 2.absolute instability (絶対不安定) 成長が卓越し、初期インパルスがあった位置で擾乱が成長する。 回転盤による流れでは、半径方向に絶対不安定であれば、ある位置での 擾乱はそこで成長する。(臨界半径Rcaの外側) 1 (2) 絶対不安定の領域で擾乱が成長していくと、非線形効果が流れを安定化 し、有限振幅の波動が維持される(crossflow vortices)。 完全に非線形な方程式系では、絶対不安定の領域が存在すれば、自立 した有限振幅解が許される。 (線形で考えると、絶対不安定領域の存在は必要条件の1つ) この有限振幅解は、第二段階(secondary)の擾乱に対して安定か？ 1.安定か伝達性不安定なら、有限振幅解は維持される 2.絶対不安定なら、有限振幅解は破壊される レイノルズ数などの制御パラメータを増加させていくと… 1.第二段階の絶対不安定の閾値が第一段階より大きいと、あるパラメータ 範囲で有限振幅解が存在。(Batchelor流：Le Gal et al. 2003) 2.閾値の順序が逆なら、有限振幅解が現れずいきなり乱流状態に移行。 本研究の目的： 完全に非線形の枠組みでは、Karman境界層の有限振幅解は第二段階 の擾乱に対して絶対不安定であることを示す。 2 Laminar basic flow 半径方向外側への基本流 擾乱を外側へ移流する働き z方向 基本流(円柱座標系)： r方向 θ方向 定常、軸対称。無次元 化によって外部パラメー タに依存しない相似解が 得られる。 無次元化パラメータ： 回転角速度、粘性係数、 流体密度 長さスケール:(ν/Ω)1/2 3 Mathematical formulation (3.1) 擾乱場と基本場に分 ける (3.2) 支配方程式系 Navier-Stokes方程式 連続の式 (3.3) 平行流の仮定 方程式系の係数のrを外部パラメー タRに置き換える 「局所支配方程式」 4 Primary linear instability properties 擾乱場をノーマル・モード で記述(ベータは整数)。 タイプII 線形化した方程式に代入 し固有値問題を解いて、 分散関係式を導出。 R=300, 400, 500, 600での α-β平面でのωi （太線が0の等値線) タイプI 4.3 Local absolute frequency β ω0,r 絶対不安定の振動数。 (pinch-point criterionから) 左下図：絶対不安定の成 長率。太線が成長率0 ω0,i R Rを増大させた時に、伝達 性不安定から絶対不安定 への移行が起こる点。 R=507.4,β=68, ω0,r=50.5, α=0.227-0.122i 5 Primary saturated crossflow vortices 有限振幅に達した第一段階の波動は下のように書ける。 α、ωは実数、βは整数 これは位相φについて2πの周期関数 α、β、ωの間には局所非線形分散関係が成り立つ unl, pnlは、位相に関してフーリエ級数に展開し局所支配方程式に 代入することで求める。 (Newton-Raphson search procedure) 5.2 Nonlinear wave near onset of primary absolute instability v 擾乱場 u 絶対不安定となる付近での crossflow vorticesの構造 縦軸：z, 横軸：φ 擾乱場 ＋基本場 鉛直プロ ファイル φ=3π/2の時に変曲点がはっ きりと見える。 →第二段階の擾乱に対して 不安定であることを示唆。 R=510, β=68, ω=50.5 5.3 Nonlinear dispersion relation and fluctuating energy E 左上図：Crossflow vorticesに よる擾乱エネルギー。 等値線は、線形分散関係式 による成長率。 α R 擾乱エネルギーが最大とな る波数と成長率のそれには ずれがある。 ω β=68 6 Self-sustained spatially extended structure Rca=507.4付近で、ｒ方向に方程式系の係数がゆっくりと変化す るような条件でのglobal solutionを求める。WKBJ漸近手法 右で定義したゆっくりと変 化するRについて、支配方 程式を解く。βg, ωgは全域で 同じ値となる。 解の振幅によって2つのレジームがある。 1.小振幅。線形分散関係式によって、r方向の波長と減衰を考慮した複 素数のαが得られる。(R<1) 2.有限振幅。非線形分散関係式によって、実数のαが得られる。(R>1) βg, ωgは「elephant全域モード」に特徴的な、伝達性不安定から絶対不 安定へ移行する定在的な前線によって決まる。次図 6 Self-sustained spatially extended structure (2) αのr依存性 「elephant全域モード」の螺旋構造 α 非線形分散関係式より 決まる実数の波数。 擾乱が溜まり、非線形波動の供給源となる。 前線より内側へは減衰 r 7 Secondary stability analysis 場を基本流＋非線形波動(新しい基本場)と、第二段階の擾乱 場に分ける。 無限小振幅擾乱場は以下のように書ける。ハットつきのα、ωは 複素数、βは整数である。 線形化した局所支配方程式にこれらを代入して得られた分散 関係式から、ある非線形波動(α、β、R)において、α、βに対する振 動数が決まる。 波数は第一段階非線形波動の波数ベ クトルの向きεに対して記述すると分かり やすい。aがεと同じ向き、bが直交する 向きの波数を示す。 7.2 Secondary temporal analysis β b/a R=510, β=68, α=0.35の 非線形波動における、分 散関係式から得られた成 長率。 αは実数とする。 ほぼ全域で成長率 は正。つまり不安定。 a/a α 7.3 Secondary absolute instability and transition 絶対値 z 上方で絶対値0 絶対不安定であるかどうかは、 上式の絶対振動数によって判 断できる。 R=510, β=68, α=0.35の非線 形波動において、ハットつきの β=20で成長率は正であった。 つまり絶対不安定。 螺旋渦が観測されない原因。 実部 左図：上のパラメータの下での 第二段階擾乱場のｖの構造。絶 対値と実部を示す。点線は基本 流＋非線形波動の流速。 φ φ=3π/2で固有関数の振幅 最大。鉛直シアー最大の位 相と一致。 8 Conclusion Karman境界層の振る舞い：elephant global modeによって解析できる 1.絶対不安定領域の内側境界Rcaで有限振幅に達した擾乱が形成 2.外側に螺旋を描くcrossflow vorticesを発生させる 3.しかしこの有限振幅波動は、第二段階の擾乱に対して絶対不安定 4.よって、 Rcaで層流から乱流へ急激に移行する 第二段階の擾乱は、第一段階のcrossflow vorticesからエネルギーを引き 出すので、乱流状態はRcaから内側には進まない。 第一段階のcrossflow vorticesはすぐに消し去られるにもかかわらず、乱流 への移行にとって本質的である。 これまでの観測： 観測される螺旋渦の腕の数はまちまち ←回転盤のデコボコが原因 乱流へ移行する半径はほぼ同じ ←Karman境界層に備わった性質