Transcript ランダムグラフ

ランダムグラフ
エルデシュとレーニイによって研究された．→ER-model
p:辺連結確率
pN ( N  1)
分
2
N:ノード総数
布：
スモールワールドネットワーク
コンセプト：任意の二つのノード間が相対的に短い経路である．
スケールフリーネットワーク
成長と優先的選択→集合と進化のモデル化＝動的性
クラスタ
集合性の測定→クラスタ係
数：
完全グラフの総辺数：
Ci 
2 Ei
k i k i  1
k i ( k i  1)
2
次数分布
ランダムグラフ：平均次数<k>でピークを持つポワソン分布
スケールフリーネットワーク：ベキ乗則分布
スケールフリーモデルの定義
（1）成長：少ないノード数(m0)で始め，毎回m(<=m0)個の異な
るノードと連結した新規ノードを追加する．
（2）優先的選択：新規ノードのノードiへの連結確率Πは，ノー
ドiの次数kiに依存する．
選択確率Π：
 (ki ) 
ki

j
kj
理論的アプローチ
マスター方程式アプローチとレート方程式に従う，ノード次
数の変動．
次数分
布：
P (k ) 
 P ( k i (t )  k )
k

2m
1 
r
1
m0  t k
1

t
t→∞： P ( k ) ~ 2 m k ，　with r 
1

1  1
1  3
マスター方程式，レート方程式
・マスター方程式アプローチ
時間t，ノードi，導入時間tiで次数kを持つ確率P(k, ti, t)の
時間変化
・レート（反応速度）方程式アプローチ
時間tのとき次数kを持つノードの平均数Nk(t)に注目．Nk(t)
の時間変化
モデルA（優先的選択なし，成長の
み）
選択確
率：
 (ki ) 
1
m0  t  1
t→∞で次数分布は，指数関数的に衰退する．
モデルB（成長なし，優先的選択の
み）
N個の孤立ノードで始め，ランダム選択と優先的選択のノード
を連結する．次数分布は，ガウス分布に近くなる．
SFモデルの特徴
・平均経路長 l  A log( N  B )  C
・ノード間の相互関係
n kl 
4 ( l  1)
k ( k  1)( k  l )( k  l  1)( k  l  2 )

12 ( l  1)
k ( k  l  1)( k  l )( k  l  1)( k  l  2 )
・クラスタ係数
ベキ乗則C～N-0.75に比例して減少する．
適応度モデル
ビアンコーニとバラバシは，実際のネットワークでノードが競争
原理を持つことを論じた．
→各ノードに適応度ηiを割り当てる．
選択確率：
i 
iki

j
 jk j
大きな適応度を持つノードが小さな適応度を持つノードよりも
速く次数を増加させる．
エラー耐性
辺の除去よりノードの除去のほうがダメージが大きい．
SFネットワークのエラー耐性
ランダムなノード除去よりもハブ優先なノード除去のほうが早く
システムが崩壊する．
P(k0)から選択された次数k0のノードを考える．
臨界基準
点：
fc  1 
1
 k0 
2
 k0 
1