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認知システム論 知識と推論（２）
知識と論理で問題を解決する
充足可能性問題SAT
(Satisfiability Problem)
節と連言標準形
Davis-Putnumのアルゴリズム
復習：命題論理の論理式
論理式： 原始命題を論理記号でつないだ文．
論理式
論理定数 は論理式である．
true false
命題記号 は論理式である．
p
( P )
P
が論理式ならば，
は論理式である．
P
が論理式ならば，以下の４つも論理式である．
(P  Q) (P  Q) (P  Q ) (P  Q )
復習：論理式の解釈と意味
p,q,.. の解釈を決めると，他の論理式の解釈は：
true の値はT（真）， false の値はF（偽）
命題変数
(  P ) の値は P の値の逆．
(P  Q) (P  Q) (P  Q) (P  Q )
の値は，以下の真理値表に基づいて決める．
P
Q
P∧Q
P∨Q
P→Q
P Q
T
T
T
T
T
T
T
F
F
T
F
F
F
T
F
T
T
F
F
F
F
F
T
T
復習：恒真，充足不能，充足可能
恒真 どんな解釈のもとでも真
例
( P  ( P  Q ))  Q
充足不能 どんな解釈のもとでも偽
例
P  P
充足可能 ある解釈のもとで真
例
PQ
充足不能
P  P
本日の主役！
本日の主役！
充足可能
PQ
恒真
( P  ( P  Q ))  Q
復習：論理的帰結
論理的帰結
, Pn のすべてを真とするどんな解釈のもとでも
P1 , P2 ,
Q が真
Q は P1 , P2 ,
P1  P2 
, Pn の論理的帰結
 Pn  Q
が恒真
本日の主役！
P1  P2 
 Pn   Q
が充足不能
節と連言標準形
リテラル，節，連言標準形
Literal
リテラル
命題記号 はリテラルである．
 命題記号
p  q  r
p
はリテラルである．  p
正リテラル
負リテラル
Clause
節
リテラルの選言(orで結合したもの）
p  q  r
( p  q)  ( p  q)  r
連言標準形(CNF)
Conjunctive Normal Form
節の連言(andで結合したもの）
( p  q)  ( p  q)  r
連言標準形(CNF)への変換
どんな論理式も以下の変換ルール（左辺を右辺に書換え）で
等価なCNFに変換できる．
CNFへの変換
1
P  Q

( P  Q )  (Q  P )
2
PQ

P  Q
3
P

P
4
5
( P  Q )
( P  Q )
6
(P  Q)  R


( P )  ( Q )
( P )  ( Q )

ド・モルガンの法則
( P  R )  (Q  R )
分配則
CNFへの変換
例
p   (q  r )

p   ( q  r )

 p   ( q  r )

 p  (  q   r )

 p  (q   r )

( p  q )  ( p   r )
CNF
したがって，つぎの２つの節が得られる．
節集合
 pq
 pr
節と if-then ルール
節 は if-then ルールに対応する．
pq

p q
( if p then q )
負リテラル は 条件 の AND
 pq r

pq r
( if p & q then r )
正リテラル は 結論 の OR
 p q r s

pq rs
節と if-then ルール（特殊ケース）
true は∧(and)の単位元:
true  x  x
⇒ n=0 のとき： x1 
false は∨(or)の単位元：
 x n  t rue
false  x  x
⇒ n=0 のとき： x1 
 x n  fa l s e
pq

tru e  p  q
 pq

p  q  false
 true  fal se 
（空節は矛盾を表す）
f al s e
Davis-Putnumのアルゴリズム
Davis-Putnam のアルゴリズム(DPLL)
【入力】 節集合S （CNFの命題論理式）
【出力】 Sの充足可能性を有限時間で判定する．
– 充足可能ならば true を返す．
– 充足不能ならば false を返す．
【手順】 以下の３つのヒューリスティクスを用いて探索木の枝刈
りをしながら，Sを充足する解釈（モデル）をバックトラック法で
網羅的に探索する．
– 早期の停止判定ヒューリスティクス
– 純リテラルヒューリスティクス
– 単位節ヒューリスティクス
入力形式の例
変数の数
変数の数 x1,…,x100
x1,…,x100
100 427
-71 -64
24
41 -93 -54
73 81 54
-37 -32
73
-69 -39
-8
70
80
29
4
69
37
………………….
節の数
0
0
0
0
0
0
0
￢X71∨￢X64∨X24
分岐規則（バックトラック法による探索）
節集合 S 中の変数シンボルを L とする．
S が充足可能
•L = true に割り当てた場合
•L = false に割り当てた場合
のいずれかが充足可能
バックトラック法で探索
早期の停止判定ヒューリスティクス
x1  true , x 2  false
リテラルが１つでも true である節は true
true
 x1   x 2  x 3
節が１つでも false である節集合は false
false
 x1   x 2  x 3 

 x1  x 2


x1  x 3

falseのリテラルは削除する
= false
純シンボルヒューリスティクス(1/2)
純シンボル＝同じ符号（正／負）でしか現れない変数シンボル
正の純シンボル
A = true とする
負の純シンボル
B = false とする
 A  B 


 B   C 
C  A



充足性判定のためには，純シンボルが true になるような
値の割り当てだけを考慮すれば十分である．
純シンボルヒューリスティクス(2/2)
アルゴリズムは，すでに true である節を無視する
B  false
true
A  B  C
A  C
負の純シンボル
A = false とする
正の純シンボル
C = true とする
単位節ヒューリスティクス
単位節＝１つのリテラルだけからなる節
A
B
DPLLアルゴリズムでの単位節の定義：
１つのリテラル以外にすべて false が割り当てられた節
A  true , B  false
A  B  C
単位節
C = true とする
充足性判定のためには，単位節を構成するリテラルが true
になるような値の割り当てだけを考慮すれば十分である．
単位節伝播(unit propagation)
単位節ヒューリスティクスによってリテラルの値を決めると，
さらに単位節が生じて，単位節ヒューリスティクスを連続的
に使用できることがある．
A  true
true
A  B
true
 B   C  C  false
true
CD
 B  true
 D  true
DPLLアルゴリズムのメインプログラム
節集合
変数シンボルの集合
boolean DPLLmain (S, V) {
return DPLL (S, V, [ ] );
}
変数シンボルへの
空の割り当て
DPLLアルゴリズム
節集合
boolean DPLL (S, V, I) {
変数シンボルの集合
if (すべての節が真) return true
if (ある節が偽) return false
p, value ← 純シンボルとその値を探す
変数シンボルへの
真偽値の割り当て
（解釈）
割当て (p = value)
を Ｉ に追加
if (p≠null) return DPLL(S, V-{p}, extend(p, value, I))
p, value ← 単位節を探す
if (p≠null) return DPLL(S, V-{p}, extend(p, value, I))
p ←Vのうちの1つのシンボル
return DPLL (S, V-{p}, extend(p, true, I)) or
DPLL (S, V-{p}, extend(p, false, I))
}
例題 魔宮の世界(1/2)
背景知識
(1,2) にモンスターがいるなら，(1,1) で異臭を感じる
M 12  S 11
 M 12  S 11
(1)
(1,2) に落とし穴があるなら，(1,1) で風を感じる
P 12  B 11
 P12  B11
(2)
(1,2) にモンスターも落とし穴もないなら，(1,2) はOK
 M 12   P 12  O K 12
事実
(1,1) で異臭を感じない
 S 11
(4)
(1,1) で風を感じない
 B11
(5)
M 12  P12  O K 12
(3)
質問
(1,2) はOKか？
 O K 12
(6)
例題 魔宮の世界(2/2)
true
 M 12  S 11
true
 P12  B11
false
M 12  P12  O K 12
true
 S 11
(4)
true
 B11
(5)
true
 O K 12
(1)
(2)
(3)
(6)
単位節(4) S11=false
単位節(1) M12=false
単位節(5) B11=false
単位節(2) P12=false
空節(3) 充足不能
単位節(6) OK12=false
この例題の場合，分岐によるバックトラックは不要であった．