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コンピュータ基礎演習 ー双方向リストー 岩井 儀雄 [email protected] 復習：リスト構造（１） 連結リストとは？ リストに含まれる各要素をつなぎ合わせた もの データ データ データ DATA[0] DATA[1] DATA[2] … DATA[N] データ 未使用 データ … データ IDX[0] IDX[1] IDX[2] … IDX[N] 2 -1 N … EOD 復習：リスト構造（２） 構造体を用いたリストの表現 struct CELL { struct CELL *next; /* 次のデータへのポインタ */ DATATYPE data; /* 格納されるデータ */ }; 復習：リスト構造（３） 連結リストの操作 要素の挿入 (insert) 要素の削除 (erase) リストの連結（concatenate） リストの分断 (split) 要素の探索 (find) 空リストの生成 (create) 要素数 (size) 先頭要素を見る (front) 最後尾要素を見る(tail) 復習：リスト構造（４） 連結リストの派生データ構造 連結リスト linked list header A B C B C 循環リスト circular list header A 後ろに移動し続ければ，先頭に戻れる 連結リストの問題点 各セルは次のセルへのポインタのみを持つ． セル間の移動は１方向のみ 前後に自由に移動できるリスト構造 Doubly-linked list（双方向連結リスト，双方向 リスト，２重連結リスト） 双方向リスト doubly-linked list Doubly-linked list header A C 各セルは２つのポインタを持つ B 次のセルへのポインタ 前のセルへのポインタ 前後のセルへのポインタを持っているので前後に移動可能 双方向リスト doubly-linked list（２） リストの末尾も分かっていると tail() などの実装が容易 header A B C header を利用する 最後のセルが header を指すようにする header の前のセルを指すポインタが最後のセルを指すようにする 双方向リスト doubly-linked list（３） 空リストの表現 header header の前後のポインタが header 自身を指す． 双方向リストの利点 利点 双方向リストでは，セルは前後のポインタを持っ ているため，制約を受けず挿入，削除などの操作 が可能 一方，連結リストでは，一般に挿入，削除などの 操作に制約がある． 例）挿入の場合 連結リストでは，指定したセルの直後には挿入で きるが直前には挿入できない 連結リストでは，直前のセルへのポインタを持つ などの工夫が必要 双方向リストの欠点 連結リストと比べるとポインタを１つ余計に持 つ必要がある 取り扱うデータが小さい場合（例えば，整数）， ２このポインタを持つため記憶容量に対して オーバーヘッドが大きい（データサイズが大き い場合は問題ではない） トレードオフ問題 操作の自由さ⇔余分なデータサイズ 最近は，記憶容量が向上してきたので操作の自由さ（設計の自由さ） が優先されつつある 双方向リストのセル（Ｃ言 語） struct CELL { struct CELL *prev; /* 前のデータへのポインタ */ struct CELL *next; /* 次のデータへのポインタ */ DATATYPE data; /* 格納されるデータ */ }; 空リスト（要素）生成の実装 （Ｃ言語） struct CELL *create(DATATYPE data) { struct CELL *p = (struct CELL*)malloc(sizeof(struct CELL)); p->prev = p; p->next = p; p->data = data; return p; } prev p next data 要素挿入の実装 指定された要素の次の位置に挿入 連結リストとほぼ同様 指定された要素の前の位置に挿入 前のセルに移動して，次の要素に挿入 B header A C 要素挿入指定された要素の次 の位置に挿入 void insert( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { val->next = pos->next; val->next->prev = val; pos->next = val; val->prev = pos; } val pos B header A C 要素挿入指定された要素の次 の位置に挿入 void insert( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { val->next = pos->next; val->next->prev = val; pos->next = val; val->prev = pos; } val pos B header A C 要素挿入指定された要素の次 の位置に挿入 void insert( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { val->next = pos->next; val->next->prev = val; pos->next = val; val->prev = pos; } val pos B header A C 要素挿入指定された要素の次 の位置に挿入 void insert( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { val->next = pos->next; val->next->prev = val; pos->next = val; val->prev = pos; } val pos B header A C 要素挿入指定された要素の次 の位置に挿入 void insert( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { val->next = pos->next; val->next->prev = val; pos->next = val; val->prev = pos; } val pos B header A C 指定された要素の前の位置に 挿入 前のセルに移動して，次の要素に挿入 void insert_before( struct CELL *pos, struct CELL *val ) { insert( pos->prev, val ); } 挿入ポイントを前のセルに移動 要素削除の実装 指定された要素の次を削除 連結リストとほぼ同様 指定された要素を削除する 指定された要素を削除する struct CELL *erase( struct CELL *pos pos->prev->next = pos->next; pos->next->prev = pos->prev; pos->prev = pos->next = pos; return pos; } ) { pos B header A C 指定された要素を削除する struct CELL *erase( struct CELL *pos pos->prev->next = pos->next; pos->next->prev = pos->prev; pos->prev = pos->next = pos; return pos; } ) { pos B header A C 指定された要素を削除する struct CELL *erase( struct CELL *pos pos->prev->next = pos->next; pos->next->prev = pos->prev; pos->prev = pos->next = pos; return pos; } ) { pos B header A C 指定された要素を削除する struct CELL *erase( struct CELL *pos pos->prev->next = pos->next; pos->next->prev = pos->prev; pos->prev = pos->next = pos; return pos; } ) { pos B header A C 指定された要素を削除する struct CELL *erase( struct CELL *pos pos->prev->next = pos->next; pos->next->prev = pos->prev; pos->prev = pos->next = pos; return pos; } ) { B header A C tail の実装 リストの最後尾を返す 循環しているので header を見分ける必要 がある． Header が分かれば，その前のセルへのポ インタでよい． struct CELL *tail( struct CELL *header ) { return header->prev; /* 事前条件として header は リストのヘッダであること */ } 多重リスト構造 multi link structure セルに２つ以上のポインタを持たせ， 同時に複数のリストに所属できるよう にしたデータ構造 例）大学での学生の成績を管理する表 ２次元配列でも表現可能 short seiseki[MAX_GAKUSEI][MAX_KAMOKU]; seiseki[x][y] 学生番号 x の学生の課目 y の成績 未受講 -1 ２次元配列を用いた場合 0 0 90 1 72 2 3 学 4 籍 番 号 1 2 3 4 83 90 52 53 25 23 44 55 課目数 …. 例）成績管理表 学生総数2,000人，授業課目数400，平 均受講課目数 10 平均履修者数 → 2000x10/400 = 50名 配列の大きさ → 2000x400xsizeof(short) = 約1.6MB データ量 → 2000x 10xsizeof(short) = 約40KB 配列の使用効率 → 2.5%（無駄が多い） 疎な配列を効率良く表現できる → 多重リスト構造 多重リスト構造 基本アイデア データのある要素をセルで表現し，それら をポインタでつなぐ 上のセル 左のセル DATA 下のセル 右のセル コンピュータ基礎演習 ー木構造，二分木ー 岩井 儀雄 [email protected] 木構造 階層構造を表すためのデータ構造 一般世界 会社組織，家系図（祖父母，父母，兄弟）， 本の構成（章，節，段落） 計算機の世界 階層化ディレクトリ(UNIX) コンパイラによる構文解析 木 (tree) レベル 0 レベル 1 木の深さ 根 root … 最上位ノード 節 node レベル 2 レベル 3 レベル 4 枝 branch 葉 leaf…下位ノードがない 部分木 (subtree) ある節を根とする木 部分木 (subtree) ある節を根とする木 木に関する用語 親(parent) 子(child) 兄弟(sibling) 先祖(ancestor) 子孫(descendant) このノードに注目 木に関する用語 親(parent) 子(child) 兄弟(sibling) 先祖(ancestor) 子孫(descendant) このノードに注目 木に関する用語 親(parent) 子(child) 兄弟(sibling) 先祖(ancestor) 子孫(descendant) 自分自身は先祖であり 子孫である． 木の再帰的定義 単一の節はそれ自体が木である．この節はこの木の根でも ある． k個の木T1~Tkがあり，それぞれの根を節n1~nkとする．節n を節n1~nkの親にすると節nを根とする新しい木Tが得られ る．このとき，木T1~Tkは，木Tの部分木(subtree)であると いう．部分木の根n1~nkは節nの子であるという． n 単一の節からなる木 n1 n2 T1 T2 nk … Tk 部分木から新しい木を構成 節の順序 節の子には左から右に順序をつける a a b c 兄 弟 構造は同じだが 異なる木 c b 兄 弟 ADT Tree 節の親を返す(parent) 節の最も左の子を返す(leftmost_child) 節の次の弟を返す(right_sibling) 根を返す(root) 節を作成する(create) ２分木(binary tree) 定義 空の木は２分木である 次のいずれかを満たす節のみからなる木は， ２分木である． 子を持たない 左の子を１つだけもつ 右の子を１つだけもつ 左の子と右の子を１つずつもつ ２分木 ２分木では右の子と左の子を区別する 例）下の木は互いに異なる a b d a c b a b c d 右の子 d 左の子 普通の木（左右の子を区別しない） ２分木（左右の子を区別する） c 左部分木と右部分木 左部分木 左の子を根とする木 右部分木 右の子を根とする木 左部分木 a b c d 右部分木 配列を用いた２分木の実装 （Ｃ言語） N番目の節の左の子のデータは，2N+1番目, 右の子のデータは2N+2番目に格納 #define MAXNODES 7 struct NODE { DATATYPE data; }; struct NODE[MAXNODES]; a b c d [0] [1] [2] a b c [3] [4] [5] [6] d 木の最大深さLとすると節の最大数は2L+1-1 配列を用いた２分木の実装 （Ｃ言語）（２） 左の子，右の子の添え字（インデックス）を格納 #define MAXNODES 7 struct NODE { DATATYPE data; int leftchild, rightchild; }; struct NODE[MAXNODES]; a b c d [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] data a b c d leftchild 1 0 0 0 0 0 0 rightchild 2 3 0 0 0 0 0 木の最大深さLとすると節の最大数は2L+1-1 配列による２分木の 実装の利点，欠点 利点 最大深さが分かっている場合，実装が簡単 欠点 最大深さが分からない場合，最大見積もり 深さを利用して設計するので，記憶装置の 使用効率が低下することがある 挿入削除を繰り返すと，空き領域の探索， データの移動が伴うため，実行効率が悪い 構造体へのポインタを利用し た２分木の実装（Ｃ言語） struct NODE { DATATYPE data; struct NODE *leftchild; /* 左の子へのポインタ */ struct NODE *rightchild; /* 右の子へのポインタ */ struct NODE *parent; /* 親へのポインタ */ }; struct NODE *parent struct NODE struct NODE *leftchild struct NODE struct NODE *rightchild struct NODE ADT Tree の実装（Ｃ言語） struct NODE *parent( struct NODE *node ) { return node->parent; /* ノードの親を返す */ } struct NODE *leftmost_child(struct NODE *node) { return node->leftchild; /* 左の子を返す */ } struct NODE *right_sibling(struct NODE *node) { if (node->parent != 0) { /* 親がいれば */ if (node->parent->leftchild != node) return NULL; else return node->parent->rightchild; /* 右の子を返す */ } else return NULL; } struct NODE *root(struct NODE *node) { struct NODE *p = node; while (p->parent != NULL) p = p->parent; /* 親がいなくなるまで */ return p; } ADT Tree の実装(2)（Ｃ言 語） /* 節を作成する */ struct NODE *create( DATATYPE val, struct NODE *par, struct NODE *left, struct NODE *right ) { struct NODE *p = (struct NODE *)malloc(sizeof(struct NODE)); p->data = val; /* DATA の設定 */ p->parent = par; /* 親の登録 */ p->leftchild = left; left->parent = p; /* 左の子の登録 */ p->rightchild = right; right->parent = p; /* 右の子の登録 */ } /* 単一の節からなる木 T1, T2 の作成コード */ struct NODE *T1 = create( val, NULL, NULL, NULL ); struct NODE *T2 = create( val, NULL, NULL, NULL ); /* T1, T2 を部分木に持つ木 T の作成コード */ struct NODE *T = create( val, NULL, T1, T2 ); 木のなぞり(traverse) a 木の節を１つ残らず訪問 立ち寄った順に順序づけ可能 ３種類のなぞりの方法 b c d 行きがけ順 pre-order 通りがけ順 in-order 帰りがけ順 post-order 行きがけ順 a b c まず最初に節に立ち寄ってか ら部分木をなぞる 1. 根に立ち寄る 2. 左部分木をなぞる 3. 右部分木をなぞる a→b→d→c d 行きがけ順 a b 節 c d 左部分木 右部分木 節aに立ち寄る 行きがけ順 a 節 b 節 c d 右部分木 左部分木 右部分木 節aに立ち寄る 左部分木をなぞる 行きがけ順 a 節 節aに立ち寄る 左部分木をなぞる 節 b c 節 d 右部分木 左部分木 右部分木 節bに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる 行きがけ順 a 節 節aに立ち寄る 左部分木をなぞる 節 b c 節 節bに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる 節 d 右部分木 左部分木 右部分木 節dに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる 行きがけ順 a 節 節aに立ち寄る 左部分木をなぞる 節 b 節bに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる c 節 節 d 右部分木 右部分木をなぞる 左部分木 右部分木 節dに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節cに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 通りがけ順 a b c 1. 左部分木をなぞる 2. 根に立ち寄る 3. 右部分木をなぞる b→d→a→c d 通りがけ順 a b c d 左部分木 右部分木 左部分木をなぞる 通りがけ順 左部分木をなぞる a b c d 右部分木 左部分木をなぞる（なし） 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる 通りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 通りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 節aに立ち寄る 通りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 節aに立ち寄る 右部分木をなぞる 通りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 節aに立ち寄る 右部分木をなぞる 左部分木をなぞる（なし） 節cに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 通りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる b c d 節aに立ち寄る 右部分木をなぞる b→d→a→c 左部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 左部分木をなぞる（なし） 節cに立ち寄る 右部分木をなぞる（なし） 帰りがけ順 a b c 1. 左部分木をなぞる 2. 右部分木をなぞる 3. 根に立ち寄る d→b→c→a d 帰りがけ順 a b c d 左部分木 右部分木 左部分木をなぞる 帰りがけ順 左部分木をなぞる a b c d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる 帰りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 帰りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 節bに立ち寄る 帰りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる b c d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる 帰りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる b c 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節cに立ち寄る 帰りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる b c 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節cに立ち寄る 節aに立ち寄る 帰りがけ順 左部分木をなぞる a 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる b c d→b→c→a 節bに立ち寄る 右部分木をなぞる d 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節dに立ち寄る 左部分木をなぞる（なし） 右部分木をなぞる（なし） 節cに立ち寄る 節aに立ち寄る 木のなぞりの実装 再帰呼び出しのできる言語なら，手順 をそのままコーディングするだけで良 い． ２分木のなぞりの実装 （Ｃ言語） void preorder(struct NODE *p) { /* 行きがけ順 */ if (p == NULL) return; /* 立ち寄ったときの処理をいれる */ preorder( p->leftchild ); preorder( p->rightchild ); } void inorder(struct NODE *p) { /* 通りがけ順 */ if (p == NULL) return; inorder( p->leftchild ); /* 立ち寄ったときの処理をいれる */ inorder( p->rightchild ); } void postorder(struct NODE *p) { /* 帰りがけ順 */ if (p == NULL) return; postorder( p->leftchild ); postorder( p->rightchild ); /* 立ち寄ったときの処理をいれる */ } コンピュータ基礎演習 ー二分探索木ー 岩井 儀雄 [email protected] ２分探索木 (binary search tree) 任意の節xで，左部分木TL(x)に含 まれる要素Nは節Ｘの要素N(x)よ り小さい． 右部分木TR(x)に含まれる要素N は節xの要素N(x)より大きい． 例） a < b < c <d c 右部分木 左部分木 a d b x, l, r l T L ( x), r T R ( x) N (l) < N ( x) N ( x) < N (r) ２分探索木の利点 順序 < が定義された集合を表現可 集合への追加，削除，探索などの操作 が O(log n) で可能 Strict Partial Order ‘<’ 非反射律: irreflexivity 推移律：transivity x x < x must be false x,y,z x < y y < z x < z 上の２つの条件を満たす２項関係を strict partial order （狭義半順序）という 同値 equivalence‘~’ 反射律: reflexivity 対称律: symmetry 推移律： transitivity x x ~ x x x ~ y y ~ x x x ~ y y ~ z x ~ z 2分探索木の操作 探索 (search) 挿入 (insert) 指定された要素と等価な要素の位置を返す 指定された要素と等価な要素を２分探索木 の条件を満たすように挿入する 削除 (erase) 指定された要素と等価な要素を２分探索木 の条件を満たすように削除する ２分探索木の実装（Ｃ言語） struct NODE { DATATYPE data; struct NODE *leftchild; /* 左の子へのポインタ */ struct NODE *rightchild; /* 右の子へのポインタ */ }; ２分探索木で必要な演算 データ要素を順序づける演算 ‘<’ (strict partial order) データが等価かどうかの演算 ‘~’ (equivalence) int lessthan(DATATYPE a, DATATYPE b); /* 偽なら0，真なら!0 */ int equal(DATATYPE a, DATATYPE b); /* 偽なら0，真なら!0 */ 探索(search)の実装 struct if if if 現在の節の要素と等しい→探索終わり 現在の節の要素より小さい→左部分木を探索 現在の節の要素より大きい→右部分木を探索 節がない→要素なし(NULLを返す) NODE *search(DATATYPE data,struct NODE *node) { (node == NULL) return NULL; /* データなし */ (equal(data,node->data)) return node; /* データ発見 */ (lessthan(data,node->data)) return search(data,node->leftchild); /* 左部分木を探索 */ else return search(data,node->rightchild); /* 右部分木を探索 */ } 挿入(insert)の実装（Ｃ言語） struct NODE *create(DATATYPE data) { /* 新規ノード作成 */ struct NODE *p = (struct NODE *)malloc(sizeof(struct NODE)); node->data = data; node->leftchild = node->rightchild = NULL; return p; } struct if if if NODE *insert(DATATYPE data,struct NODE *node) { (node == NULL) return create(data); /* 新規データ */ (equal(data,node->data)) return node; /* 既にデータあり */ (lessthan(data,node->data)) node->leftchild = insert( data, node->leftchild ); else node->rightchild = insert( data, node->rightchild ); return node; } 削除(erase)の実装 削除すべき要素が葉ならば削除 削除すべき要素が内部節ならば問題 右部分木の最小値をその削除すべき要素と置き換える． 右部分木の最小値があった位置は１つ以下の子なので削除可 d この節を単純に削除 すると木が壊れる b a e c この節は葉であるから 単純に削除OK 削除(erase)の実装 削除すべき要素が葉ならば削除 削除すべき要素が内部節ならば問題 右部分木の最小値をその削除すべき要素と置き換える． 右部分木の最小値があった位置は１つ以下の子なので削除可 d 右部分木の最小値と入替 a c e d この節は葉であるから 単純に削除OK 右部分木の最小値をその削除すべき 要素と置き換える ２分探索木の条件 x, l, r l T L ( x), r T R ( x) N (l) < N ( x) N ( x) < N (r) 削除対象の節を x，右部分木TRの最小値を m とすると， N( x) < m < N (r), r T R ( x) l, r l T L ( x), r T R ( x) N (l) < m m < N (r) ２分探索木の条件を壊さないことが分かる 木の最小値を削除しその値を 返す 右部分木の根を渡せば，右部分木の最小値を削除できる． 返り値で削除対象節の値を書き換える data min 最小値の左の子はいない data 木の最小値を削除しその値を 返す 右部分木の根を渡せば，右部分木の最小値を削除できる． 返り値で削除対象節の値を書き換える data min 最小値の左の子はいない data 木の最小値を削除しその値を 返す(C言語) struct NODE *erasemin(struct NODE **node) { if ((*node)->leftchild == NULL) { struct NODE *ret = *node; /* 返り値 */ *node = (*node)->rightchild; /* ポインタ変更 */ ret->rightchild = NULL; return ret; /* 削除した節を返す */ } else return erasemin( &((*node)->leftchild) ); } 要素の削除（Ｃ言語） struct NODE *erase( DATATYPE data, struct NODE **node ) { struct NODE *x = *node; if (x == NULL) return NULL; if (equal(data,x->data)) { /* 等価なデータ発見，削除 */ /* 子の有無を調査，１つだけならそのままつなぐ */ if (x->leftchild == NULL) *node = x->rightchild; else if (x->rightchild == NULL) *node = x->leftchild; else { /* 両側に子がある場合は erasemin を呼ぶ */ x = erasemin( &x->rightchild ); (*node)->data = x->data; } x->leftchild = x->rightchild = NULL; return x; } else if (lessthan(data,x->data)) return erase( data, &x->leftchild) ); /* 左部分木を探索 */ else return erase( data, &x->rightchild) ); /* 右部分木を探索 */ }