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第１２回
•ナイキスト軌跡
•ナイキストの安定判別
開ループ系と閉ループ系の関係
r e

K(s )
u
P (s )
y
開ループ系(極: p 1,
, p n):
N o(s )
N o(s )
L(s )  P (s )K(s ) : 

D o(s )
(s  p 1) (s  p n )
閉ループ系(極:z 1, , z n):
N o(s )
N o(s )
P (s )K(s )
G yr (s ) 


1  P (s )K(s )
N o(s )  D o(s )
( s  z 1) (s  z n )
(s  z 1)
L(s )
1  L(s )  1  P (s )K(s ) 

G yr (s )
(s  p 1)
(s  z n )
(s  p n )
閉ループ系の極＝「１＋Ｌ（ｓ）」の零点
「1+L(s)」の軌跡
「ｓ」の軌跡

Im
1  L(s ) 
(s  z 1)
(s  z n )
(s  p 1)
(s  p n)
の軌跡
Z 「 右 半 平 面 の z iの 数 」
 「 右 半 平 面 の p iの 数 」
C
s
pi
Im
zi 
Re
zi
pi

1
Re
N : Z  
回
原点を
時計方向に回る
「L(s)」の軌跡（ナイキスト軌跡）
L(s ) の軌跡
「ｓ」の軌跡

Im
Z 「 閉 ル ー プ 系 の 不 安 定 極 の 数 」
C
s
pi
 「 開 ル ー プ 系 の 不 安 定 極 の 数 」
Im
1
zi 
Re
zi
pi

0
Re
N 「 Z   」 回
(-1,0)の点を
時計方向に回る
ナイキストの安定判別法
ナイキスト軌跡
Z 「 閉 ル ー プ 系 の 不 安 定 極 の 数 」
 「 開 ル ー プ 系 の 不 安 定 極 の 数 」
N  Z   (-1,0)の点を時計方向に回る数
閉ループ系が安定
安定条件
「 Z    N  0」
「    N」
「開ループ系の不安定極の数」=
「ナイキスト軌跡が
点(-1,0)を反時計方向に回る数」
ナイキスト軌跡の利点
•
•
•
•
•
•
因数分解、ラウス数列などの計算が不要
視覚的に判別できる
周波数応答（実測データ）に基づき安定性判別
開ループ系に基づき閉ループ系の安定性判別
安定性の程度を評価できる
無駄時間を含む系に適用可能
制御系の設計に応用
ナイキスト軌跡
ナイキスト軌跡のパラメータ設定
点(-1,0)を表わす円
ナイキストの安定判別（例）
開ループ系の極：
{ 1,  2,  3}   0
点(-1,0)を回る数：
N  0
閉ループ系の
不安定極の数：
Z   +N=0
安定
閉ループ系の極による安定性の確認
ナイキストの安定判別（例）
 1
K  0. 5 : N 1  0
Z 1   +N1=1
K  1. 0 : N 2  0
Z 2   +N2=1 安定限界
K  2. 0 : N 3   1
Z 3   +N3=0 安定
不安定
閉ループ系の極による安定性の確認
不安定
安定限界
安定
演習１：ナイキストの安定判別
• 開ループ伝達関数が以下のように与えられると
き、ナイキスト軌跡を描き、閉ループ系の安定性
を調べよ。また、閉ループ系の極を求め、安定
性を確認せよ。
(1)
100
L (s ) 
2
(s  1 ) (s  1 0 )
(2)
2
L (s ) 
3
(s  1) (s  1)
(3)
4(s  3)
L(s ) 
2
(s  1)(s  2s  2)
2
演習２：ナイキストの安定判別
• 開ループ伝達関数が以下のように与えられると
き、ナイキスト軌跡を描き、閉ループ系が安定と
なるゲイン（K＞０）の範囲を求めよ。
K
L(s ) 
(s  1)(s  2)(s  3)