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Mathematics that the professor loved
徳山 豪
東北大学
Coloring that professors love
博士たちの愛する彩色
彩色問題
• 有限集合Vを種別（色塗り）する。
–
–
–
–
色塗りはVに対して与えられた離散構造に依存
グラフの彩色
平面の三角形分割の頂点彩色 （今日のテーマ）
地図の領域の彩色： 四色問題
• グラフ G＝（V, E) 頂点と辺からなる離散構造
– 様々な情報構造を記述できる
• 計算構造、VLSI、WEB、ネットワーク、データベース
• グラフの頂点彩色： 頂点に色を与える
–
–
通常の条件： 隣り合った頂点には違う色を塗る
今日は、ちょっと変わった彩色問題を利用します。
トピック 1： 組合せ論の美の典型
• Brouwerの不動点定理(1912)
– 「中間値の定理」 の一般化
– 幾何、解析、プログラム基礎理論、情報理論な
どの基本定理
• Ｄ次元の球BからBへの連続写像ｆは必ず不
動点（ｆ（ｘ）＝ｘである点ｘ）を持つ。
• オリジナルの証明：高等な解析と幾何を利用
• 天才Sperner(23歳）の初等的証明（１９２８）
– 二次元の場合を講義で紹介
不動点定理(1次元）
• [0,1]上で定義され、[0,1]に値を取る任意の連
続関数 y = f(x) は、y=xと必ず交わる
不動点定理とトポロジー
• 単位円周上で定義され、単位円周に値を取
る連続関数で不動点を持たないものがある
しかし、円の内部まで考えて、円盤から円盤への写像は、必ず不動点を持つ。
Spernerの彩色定理
3
三角形分割の頂点を3
色に塗る。 （１，２，３）
の数字をつける。
ただし、辺上は対頂点
の色はつけない
すみません、
先週のプリント
で条件が抜け
ていました
1
2
Spernerの彩色定理
3
3色を頂点に持つ三角形
が無いように出来るか？
3
1
出来ない！
１
2
3
1
1
1
(証明は黒板で）
1
3
１
3
1
2
1
3
2
2
2
1
2
Brouwerの定理(二次元）の証明
•
•
•
•
•
BからBへの連続写像 F
三角形TからTへの連続写像Fとしてよい。
T： 3次元空間で(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)を頂点とする正三角形
Tの三角形分割を考える
p=(x,y,z), f(p)=(x’,y’,z’)とすると: x’>x なら１、x’≦x, y’>yなら２、
x’≦x, y’≦ｙ,z’>z なら３を塗る
– ぬれない点があれば、不動点である (なぜか？）
• どこかに１，２，３を頂点とする三色三角形が出来る
• 細分で三角形分割を無限に小さくする。
• 三色三角形の中心点の列は集積点を持つ。
–
Weierstrauss の定理： 有界な無限点列には集積点が存在する。 （注
意：点列が収束するとは言っていません）
• このとき、ｖが不動点になる。
三角形の細分
3
1
2
課題
• Spernerの定理をｄ次元に拡張し、証明せよ
• Brouwerの不動点定理をｄ次元で証明せよ
トピック2：美術館問題
（V. Klee, 1973)
• 美術館に警備員を数人配置する。
• 警備員は椅子に座って、動かない
• 各々の警備員は周囲を見回し（距離は問わな
い）、不審者がいれば警報を出す
• 警備員全員から影になる場所があると、まずい
• 美術館が穴のないN角形であるとき、何人の警
備員を雇えば良いか？
– なぜグラフや彩色と関係するのだろうか？？？
一人の警備員で済む美術館
• 凸N角形なら一人でOK
• 一人でOKなN角形： 星型N角形
沢山の警備員が必要な美術館
n/3 （端数切捨て）の警備員が必要
１
２
Ｍ
明らかな事実： どんな多角形もN人警備員がいればOK
（全ての頂点に配備する）
美術館定理（V. Chvatal 1975)
どんな（穴のない）N角形でもN/3人以下の警
備員で完全に警備できる。
証明の道具：
•N角形はN-2個の三角形に三角形分割できる
•N角形の三角形分割をグラフと思うと、これは3つ
の色に彩色し、全ての3角形が3つの色の頂点を持
つように出来る。
•どれかの色はN/3個以下の頂点に塗られている。
三角形分割と彩色
三角形分割と彩色
三角形分割と彩色
赤： 7点
青： 10点
黄： 8点
トピック３：リスト彩色（Dinitzの問題）
• N2個の小正方形からなる、正方格子を考える。
C(i,j)というN個の色からなる色リストから一つ
色を選んで、(i,j）位置の正方形に塗る。この
とき、同じ色が同列または同行に塗られない
ような配色を「適合配色」と呼ぶ。
• 問題： 必ず適合配色が存在するか？
– 注意：全てのC(i,j)が同一なら簡単：
• 最初の行を適当に塗って、後は循環させる
– （ラテン方陣という）
１ ２ ３
３ １ ２
２ ３ １
グラフのリスト彩色
• グラフとの関係
１ ２ ３
３ １ ２
２ ３ １
隣接頂点に
同色を塗ら
ない
リスト彩色の難しさ
赤
青
青
黄
赤
青
青
黄
赤
黄
青
黄
赤
黄
青
黄
赤
青
青
黄
赤
黄
青
黄