Transcript 第8部(数理談話会)
九大数理談話会
複雑ネットワークと制御理論
阿久津 達也
京都大学 化学研究所
バイオインフォマティクスセンター
内容
スケールフリーネットワーク
スケールフリーネットワークの構造的可制御性
最小支配集合(MDS)
MDSサイズの理論解析
計算機シミュレーションによる解析
データベース解析
生物情報ネットワーク解析への応用
MDSの拡張
結論
共同研究者:
Jose Nacher [Toho U.]
スケールフリーネットワーク
スケールフリーネットワーク (1)
頂点の次数
P(k)
次数=5
その頂点につながっ
ている辺の個数
次数分布
次数 k の頂点の頻
度
次数=2
スケールフリーネッ
トワーク
P(k) がべき乗則に
従う
P( k ) k
次数=3
代謝マップ, グラフ, 次数
A
D
F
G
H
I
J
次数1の頂点: J
次数2の頂点: B, C, D, F, G, H
次数3の頂点: E, I, A
次数分布: P(k)
C
E
次数
B
P(1)=0.1, P(2)=0.6, P(3)=0.3, P(4)=P(5)=P(6)=…=0
スケールフリーネットワーク (2)
次数=5
次数=2
頂
点
数
頂点数 ∝ (次数)-3
次数
次数=3
スケールフリーネットワークの
構造的可制御性
[Liu, Slotine, Barabasi: Nature, 2011]
線形システムの可制御性 (1)
入力:
dx(t )
Ax(t ) Bu(t )
線形システム:
dt
初期状態: x0
目標状態: xF
出力:
有限時間で、システムの状態を
く制御 u(t) (tの関数)
x(t): N-dim. real vector (internal nodes)
u(t): M-dim. real vector (control nodes)
A: N×N real matrix
B: N×M real matrx
x0 から xF へ導
x1
x2
x
N
x1
u1
x2
u2
A B
u
x
M
N
線形システムの可制御性 (2)
定理. システムが可制御 iff
N×NM 行列 C=(B,AB,A2B,…,AN-1B) のランクがN
(i.e., rank(C)=N).
0
a21
A
a
31
a
41
0
b11 0
0 0 0
0 b22
B
0 0 a34
0
0
0 0 0
0
0
0 0
b11 0
0 b22
C
0
0
0
0
0
0
0
0
a21b11
a31b11
0
0
0 a34 a41b11
0
0
a41b11
0
0
0
ほとんど係数について rank(C)=4 ⇒ 構造的可制御性
0 0
0 0
0 0
0 0
構造的可制御性
GB(VL,VR;EB) : G(V,E) から以下により構成した二部グラフ
V L {xiL | xi V }, V R {xiR | xi V }, ( xi , x j ) E ( xiL , x Rj ) EB
定理. [Liu et al. 2011]
M* を GB の最大マッチングのサイズ(辺数)とする時。
システムを構造的可制御とするために必要な制御頂点(driver
nodes)の最小数は max {N-M*,1}
driver
nodes
スケールフリーネットワークの構造的可制御性
構造的可制御のための driver nodes 数 [Liu et al. 2011]
ランダムなネットワーク
ND n e
スケールフリーネットワーク
k / 2
ND n exp 12 1 11 k
⇒ γ<2 の場合、多くの driver nodes が必要
n: ネットワークの頂点数
最小支配集合(MDS)
最小支配集合 (1)
VD が無向グラフ G(V,E) の支配集合(dominating
set) ⇔ (∀v∈V)(v ∈VD∨(∃u∈VD)({u,v}∈E))
最小支配集合(MDS: minimum dominating set):
要素数最小の支配集合
最小支配集合 (2)
NP困難であるが、線形計画法+分枝限定法に基
づく実用的ソフトが存在
人工ネットワークの設計・制御への既存応用
mobile ad-hoc networks (MANET)
transportation routing
computer communication networks
MDSと可制御性の関係
定理. [Nacher & Akutsu, 2012]
ネットワークの各辺は両方向性であり、MDSの各頂点はすべて
の接続辺を個別に制御可能であると仮定。すると、MDSを
driver nodes として選択すれば、システムは構造的可制御。
MDSサイズの理論解析
解析結果 (近似的な解析)
γ>2
上限: trivially O(n)
下限: O(n) (to be shown)
γ<2
上限: O(n1-(2-γ)(γ-1))
下限: ?
γ>2 の時の下限 (1)
次数分布がαk-γに従うとして、 以下のようにαを決定
n
n k dk
1
n
(1 n 1 ) n 1
1
C(S) をS と V-S の間の辺の集合とすると、
|S|+|C(S)|<n であれば、 S は支配集合でない
S として次数 K 以上の頂点をすべて選ぶと
n
n
| C ( S ) | n k k dk n( 1) k 1dk
K
K
1 1
1 1
1
2 2 n
2
n
n
2 K
2 K
γ>2 の時の下限 (2)
|S|<n/2 を仮定できるので、
1 1
2 n / 2
n
2 K
よって、 |S| の下限は以下のように見積もれる
1
1
| S | n k dk n 1 1
K
n
K
n
1 1
n 1 2
K 2
1
2
n
これは γ についての増加関数になっている
γ<2 の場合の上限の解析 (1)
次数 K=nβ 以上の頂点集合を DS とする
その頂点数NDS は、
n
N DS n k dk n(n ( 1) n ( 1) ) O(n1 ( 1) )
n
一方、辺の総数 EG は、
n
EG n k k dk 2 1 n (n 2 1)
1
EDS (=DSに接続する辺の個数) は、
n
EDS n k k dk 2 1 n (n 2 n ( 2 ) )
n
よって、任意に選んだ辺が DS に接続しない確率は、
EG - EDS n b (2-g ) -1 ( b -1)(2-g )
= 2-g
»n
EG
n -1
γ<2 の場合の上限の解析 (2)
DSに接続しない辺があると、その頂点がDSにカバーされない可
能性 ⇒ DSにカバーされない頂点数の期待値 (NG-DS) は次式
以下
NGDS O(n n( 1)( 2 ) ) O(n1( 1)( 2 ) )
NG-DS と NDS をバランスさせると
1 ( 1) 1 ( 1)(2 )
より、β=2-γ を得る
よって、MDS の上限は
Î G - DS
O(n1( 2 )( 1) )
この式は 1<γ<2 において o(n)
さらに、γ=1.5 の時、最小オーダー (O(n0.75))となる
This analysis is a corrected version of one in our paper appeared in New Journal of Physics.
γ<2の時の説明
次数 nβ 以上の頂点数
1 ( 1)
NDS : O(n
次数
≥nβ
)
そこから出る辺でカバー
されない頂点数
1( 1)( 2 )
NGDS : O(n
以下を満たす β を選ぶ
n1 ( 1) n1( 1)( 2 )
カバー
されない
頂点
2
)
MDSのサイズ
O(n1( 2 )( 1) )
生物情報ネットワーク解析
への応用
MDS の生体ネットワーク解析への応用
実際の生物の制御は困難
でも、MDS は重要性の高いタンパク質や遺伝
子の検出には有効
タンパク質相互作用ネットワーク解析への応用
[Milenkovic et al. PLoS One, 2011] (before our work)
[Wuchty, PNAS, 2014]
[Khuri & Wuchty, BMC Bioinformatics, 2015]
[Wang et al., BIBM 2014]
代謝ネットワーク解析への応用
[Asgari et al., PLoS ONE, 2013]
タンパク質相互作用ネットワーク解析への応用
MDSは重要なタンパクの検出に有効 [Wuchty, PNAS 2014]
必須遺伝子、がん関連遺伝子、ウィルスの標的遺伝子などに
おいて、MDS 中のタンパク質の比率が高い.
These proteins are highly involved in regulatory functions,
showing high enrichment in transcription factors and
protein kinases, and participate in regulatory links,
phosphorylation events, and genetic interactions.
[Wuchty, PNAS 2014]
MDSの拡張
二部グラフ構造を持つネットワークの制御
多くのネットワークは二部グラフ構造を持つ
薬剤・標的、研究者・共著論文、遺伝子・疾患ネットワークなど
左側頂点のみが制御頂点となる
MDSは常にLiuらの手法以下の頂点数を与える
[Nacher & Akutsu: Sci. Rep. 2013]
必須・冗長頂点の計算
Jiaらにより提案された必須および冗長頂点 [Jia et al.: Nat. Comm. 2013]
の概念をMDSに適用(⇐MDSは一意とは限らない)
必須頂点: すべてのMDSにおいて出現
冗長頂点: どのMDSにも出現しない
必須頂点は単なるMDS頂点より重要性が高いと考えられる
[Nacher & Akutsu:
J. Comp. Net. 2015]
ロバストMDS
ロバストMDS (RMDS): 各頂点がC個以上の頂点によりカバ
ーされる (C=1 ⇒ MDS)
任意の C-1 個の辺の削除に対してロバスト
RMDS サイズの上限 (γ<2の時):
1 ((DDCC11)()(22 )()11)
O n
(D: 最小次数)
RMDSサイズは最小次数が D-C+1のMDSサイズとオーダーが一致
[Nacher & Akutsu:
PRE, 2015]
Molnarらによる研究
次数カットとMDSサイズの関連性 [Sci. Rep. 2013]
次数相関とMDSサイズの関連性 [Sci. Rep. 2014]
ランダム、および、恣意的なダメージに対して
ロバストなMDS [Sci. Rep. 2015]
結論
既存結果と矛盾しない理由
Liu et al.
Driver node の値のみが制御可能と仮定
提案手法(MDS法)
各 driver node は接続辺を個別に制御可能と仮定
⇒ 次数 k の頂点は、k 個の driver nodes に相当
結論
γ<2 であれば、MDSのサイズは小さい(o(n)) ⇒ 非一様性の高
いネットワーク(heterogeneous network)は制御が比較的容易
その傾向をシミュレーション解析およびデータベース解析により
検証
人工ネットワーク(e.g., mobile networks and computer
networks) では接続辺の個別な制御が可能であると思われる
ので、この結果が有効である可能性
しかし、生体内ネットワークではその仮定が成立しない
今後の課題
生体内ネットワークの制御を容易とする理論的枠組みの構築
MDSサイズのより精緻な解析