Transcript 発表資料

1
ひとりにしてくれ数
東北大学 大学院情報科学研究科
◎鈴木 顕 内澤 啓
国立情報学研究所 情報学プリンシプル研究系
宇野 毅明
ひとりにしてくれ
2
1990年，パズル通信ニコリ29号で発表される．
不人気（難しすぎる，解いていて面白くない．）
1998年頃，人気上昇．
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ニコリ10号
ニコリ133号
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数独(ニコリ・ 1984年)
ひとりにしてくれ
1990年，パズル通信ニコリ29号で発表される．
不人気（難しすぎる，解いていて面白くない．）
1998年頃，人気上昇．
1999年，1冊全部ひとりにしてくれの本が発行される．
ニコリ10号
ニコリ133号
ひとりにしてくれ１
3
ひとりにしてくれのルール
4
次の３つのルールを満たすように
盤面に並んでいる数字のうち，いくつかを黒く塗る．
(1) 同じ行，列に同じ数字が重複しない．
(2) 黒マスはタテヨコに連続しない．
(3) 白マスは黒マスに分断されない．
問題
1
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1
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解答
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ひとりにしてくれのルール
5
次の３つのルールを満たすように
盤面に並んでいる数字のうち，いくつかを黒く塗る．
(1) 同じ行，列に同じ数字が重複しない．
(2) 黒マスはタテヨコに連続しない．
(3) 白マスは黒マスに分断されない．
問題
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解答
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ひとりにしてくれのルール
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次の３つのルールを満たすように
盤面に並んでいる数字のうち，いくつかを黒く塗る．
(1) 同じ行，列に同じ数字が重複しない．
(2) 黒マスはタテヨコに連続しない．
(3) 白マスは黒マスに分断されない．
問題
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解答
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ひとりにしてくれのルール
次の３つのルールを満たすように
盤面に並んでいる数字のうち，いくつかを黒く塗る．
(1) 同じ行，列に同じ数字が重複しない．
(2) 黒マスはタテヨコに連続しない．
(3) 白マスは黒マスに分断されない．
問題
1
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1
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解答
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7
ひとりにしてくれの例題
問題
1
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3
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8
ひとりにしてくれの例題
問題
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9
ひとりにしてくれの例題
問題
1
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1
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3
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10
ひとりにしてくれの例題
問題
1
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11
ひとりにしてくれの例題
問題
解答
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1
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1
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3
2
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3
4
2
2
(1) 同じ行，列に同じ数字が重複しない．
(2) 黒マスはタテヨコに連続しない．
(3) 白マスは黒マスに分断されない．
12
ひとりにしてくれの難しさ
n×nのひとりにしてくれの問題が与えられたときに，
解があるかどうか判定するのはNP完全[HD09]．
n
n
13
ひとりにしてくれ数
今回私たちはひとりにしてくれ数を提案した
ひとりにしてくれの問題で使われる
数字の種類数に深く関係する数
1
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1
3
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4種類
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問題に使う数字の種類
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4種類
5種類
8種類
3種類
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9 10 11 12
1
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1
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3 11 5 12
13 14 15 16
12種類
16種類
1種類
2種類
唯一の解
唯一の解
唯一の解
問題に使う数字の種類
唯一の解
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3
1
1
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1
3
4種類
解がない
5種類
解がない
8種類
唯一の解
3種類
複数の解
1
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1
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9 10 11 12
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3 11 5 12
13 14 15 16
12種類
16種類
1種類
2種類
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問題に使う数字の種類
4×4のひとりにしてくれ
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18
問題に使う数字の種類
4×4のひとりにしてくれ
1
1
1
1
1種類
1
1
1
1
2種類
1
1
1
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3種類
1
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1
4種類
1種類
5種類
6種類
4
1
2
7
7種類
3
1
5
1
8種類
6
1
4
6
9種類
3
4
1
4
10種類
11種類
7種類
12種類
1
1
2
3
13種類
4
5
6
5
14種類
7
8
8
9
15種類
16種類
10
11
12
13
1
2
1
2
3
1
2
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1
1
3
1
1
1
3
3
4
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5
2
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2
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3
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2
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3
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1
3
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4
3
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3
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2
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3
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4
3
6
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2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
1
2
3
4
6
5
6
9
1
1
2
3
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10
8
8
6
3
8
8
2
2
10
10
4
3
8
9
10
11
3
11
5
12
8種類
9種類 10種類 11種類 12種類
1
1
2
2
1
1
2
3
1
2
3
4
3
4
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6
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5
6
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13
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15
16
13種類 14種類 15種類 16種類
問題に使う数字の種類
4×4のひとりにしてくれ
1種類 ・・・
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
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15種類
16種類
解がない
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1種類
19
問題に使う数字の種類
4×4のひとりにしてくれ
1種類 ・・・
2種類 ・・・
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
解がない
1
12
21
12
21
12
12
21
12
21
21
2
2
12
2
12
2種類
20
問題に使う数字の種類
解がない
複数の解
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
唯一の解
1
1
1
1
2
1
3
2
2
2
2
2
1
2
2
3
3
3
3
3
3
2
2
1
1
1
1
1
2
3
1
2
唯一の解
3種類
唯一の解
3種類
3
1
2
3
1
1
1
3
1
1
1
3
3
2
2
1
3
2
1
4
3
2
5
4
1
1
3
2
4
3
2
2
5
3
2
2
3
3
1
3
3
4
2
2
3
4
2
2
3種類
4種類
5種類
21
問題に使う数字の種類
唯一の解
唯一の解
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
3
4
2
5
4
1
2
7
1
1
1
2
3
1
5
1
1
4
3
6
6
1
4
6
4
3
6
4
3
4
1
4
唯一の解
6種類
唯一の解
7種類
1
2
3
4
6
5
6
9
1
2
5
6
3
1
7
9
8
7
5
4
1
4
2
2
8
8
6
3
8
8
2
2
8種類
9種類
22
問題に使う数字の種類
唯一の解
唯一の解
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
1
1
2
3
1
2
3
4
4
4
5
6
1
5
2
4
7
8
8
9
1
6
7
4
10 10 4
3
8
9 10 11
唯一の解
10種類
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
3 11 5 12
12種類
11種類
23
問題に使う数字の種類
複数の解
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
1
1
2
3
4
5
6
5
7
8
8
9
10 11 12 13
13種類
24
問題に使う数字の種類
複数の解
複数の解
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
1
1
2
3
1
1
2
2
4
5
6
5
3
4
5
6
7
8
8
9
7
8
9 10
10 11 12 13
11 12 13 14
複数の解
13種類
複数の解
14種類
1
1
2
3
1
2
3
4
4
5
6
7
5
6
7
8
8
9 10 11
9 10 11 12
12 13 14 15
13 14 15 16
15種類
16種類
25
問題に使う数字の種類
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
唯一の解が存在する問題を作れる．
26
問題に使う数字の種類
12×12のひとりにしてくれ
1
1
2
3
3
4
5
5
6
7
7
8
4
5
23
6
4
7
4
8
4
9
24
25
1
2
1
3
4
3
5
6
5
7
8
7
22
10
10
26
27
15
15
28
29
1
1
30
2
1
1
4
3
3
6
5
5
8
7
7
31
5
32
33
34
7
35
36
37
2
2
38
9
3
4
5
5
6
7
7
8
1
1
2
39
40
41
6
42
43
44
8
45
46
47
3
3
4
9
5
6
5
7
8
7
1
2
1
22
48
49
13
13
50
51
18
18
52
53
54
4
3
3
6
9
5
8
7
7
2
1
1
55
11
11
56
57
16
16
58
59
20
20
3
5
5
6
7
7
8
9
1
2
3
3
4
60
5
61
62
63
7
64
65
66
9
67
68
5
6
5
7
8
7
1
2
9
3
4
3
69
70
71
6
72
73
74
8
75
76
77
3
6
5
5
8
7
7
2
1
1
4
3
3
22
78
79
14
14
80
81
19
19
82
83
84
7
7
8
1
1
2
3
3
4
9
5
6
85
12
12
86
87
17
17
88
89
21
21
90
7
8
7
1
2
1
3
4
3
5
6
5
91
5
92
93
94
7
95
96
97
9
98
99
8
7
7
2
1
1
4
3
3
6
9
5
100
101
102
6
103
104
105
8
106
107
108
3
9種類
108種類
問題に使う数字の種類
唯一の解
唯一の解
12×12のひとりにしてくれ
1
1
2
3
3
4
5
5
6
7
7
8
4
5
23
6
4
7
4
8
4
9
24
25
1
2
1
3
4
3
5
6
5
7
8
7
22
10
10
26
27
15
15
28
29
1
1
30
2
1
1
4
3
3
6
5
5
8
7
7
31
5
32
33
34
7
35
36
37
2
2
38
9
3
4
5
5
6
7
7
8
1
1
2
39
40
41
6
42
43
44
8
45
46
47
3
3
4
9
5
6
5
7
8
7
1
2
1
22
48
49
13
13
50
51
18
18
52
53
54
4
3
3
6
9
5
8
7
7
2
1
1
55
11
11
56
57
16
16
58
59
20
20
3
5
5
6
7
7
8
9
1
2
3
3
4
60
5
61
62
63
7
64
65
66
9
67
68
5
6
5
7
8
7
1
2
9
3
4
3
69
70
71
6
72
73
74
8
75
76
77
3
6
5
5
8
7
7
2
1
1
4
3
3
22
78
79
14
14
80
81
19
19
82
83
84
7
7
8
1
1
2
3
3
4
9
5
6
85
12
12
86
87
17
17
88
89
21
21
90
7
8
7
1
2
1
3
4
3
5
6
5
91
5
92
93
94
7
95
96
97
9
98
99
8
7
7
2
1
1
4
3
3
6
9
5
100
101
102
6
103
104
105
8
106
107
108
3
9種類
108種類
どちらもユニークな解を持つ！
ひとりにしてくれ数
定義： 唯一の解が存在するn×nのひとりにしてくれの
問題を作るのに，必要な数字の種類の数．
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
←4×4のとき最小値は 3
唯一の解が存在する問題を作れる．
4×4のひとりにしてくれの，
ひとりにしてくれ数は 3．
n×nのひとりにしてくれの，
ひとりにしてくれ数は？
29
本研究の結果
30
n×nのひとりにしてくれの，ひとりにしてくれ数
n2
下界
上界
 2n  1
 3 


n
2   1
3
これより少ない種類で
唯一の解をもつ問題を作れない
これだけの種類使えば
唯一の解をもつ問題を作れる
本研究の結果
31
n×nのひとりにしてくれの，ひとりにしてくれ数
n2
下界
上界
 2n  1
 3 


n
2   1
3
どんなにnが大きくても差は２以下
n=100
67
69
n=30000
20000
20001
ひとりにしてくれ数の上界
32
実際に問題を構成することで証明
使う数字の種類のなるべく少ない問題
唯一の解
1
1
2
1
3
4
1
5
6
1
1
2
1
3
4
1
5
6
1
2
1
3
4
1
5
6
1
1
2
1
3
4
1
5
6
1
2
1
3
4
3
5
6
5
1
2
1
3
4
3
5
6
5
1
7
3
4
3
5
6
5
1
2
7
3
4
3
5
6
5
1
2
3
4
7
5
6
4
1
2
6
3
4
7
5
6
4
1
2
6
4
1
5
6
7
1
2
5
3
4
1
5
6
7
1
2
5
3
1
5
6
3
1
2
7
3
4
1
5
6
3
1
2
7
3
4
5
6
2
1
2
4
3
4
6
5
6
2
1
2
4
3
4
6
6
1
1
2
3
3
4
7
5
6
1
1
2
3
3
4
7
5
本研究の結果
33
n×nのひとりにしてくれの，ひとりにしてくれ数
n2
下界
上界
 2n  1
 3 


n
2   1
3
どんなにnが大きくても差は２以下
n=100
67
69
n=30000
20000
20001
ひとりにしてくれ数
定義： 唯一の解が存在するn×nのひとりにしてくれの
問題を作るのに，必要な数字の種類の数．
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
←最小値
唯一の解が存在する問題を作れる．
←最大値
34
逆ひとりにしてくれ数
35
定義： 唯一の解が存在するn×nのひとりにしてくれの
問題を作れる，最も多い数字の種類の数．
4×4のひとりにしてくれ
1種類
2種類
3種類
4種類
5種類
6種類
7種類
8種類
9種類
10種類
11種類
12種類
13種類
14種類
15種類
16種類
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
・・・
←最小値
唯一の解が存在する問題を作れる．
4×4のひとりにしてくれの，
←最大値 逆ひとりにしてくれ数は 12．
n×nのひとりにしてくれの，
逆ひとりにしてくれ数は？
いまのところの結果
36
n×nのひとりにしてくれの，逆ひとりにしてくれ数
n2
下界
上界
3 2
4 n 


n  2
n 

3


3 2
≒ n
4
8 2
≒ n
9
2
2
n=100
7500
8976
n=3000
6750000
8001999
逆ひとりにしてくれ数の下界
実際に問題を構成することで証明
使う数字の種類の
なるべく少ない問題
唯一の解
4
5
23
6
4
7
4
8
4
9
24
25
22
10
10
26
27
15
15
28
29
1
1
30
31
5
32
33
34
7
35
36
37
2
2
38
39
40
41
6
42
43
44
8
45
46
47
3
22
48
49
13
13
50
51
18
18
52
53
54
55
11
11
56
57
16
16
58
59
20
20
3
60
5
61
62
63
7
64
65
66
9
67
68
69
70
71
6
72
73
74
8
75
76
77
3
22
78
79
14
14
80
81
19
19
82
83
84
85
12
12
86
87
17
17
88
89
21
21
90
91
5
92
93
94
7
95
96
97
9
98
99
100
101
102
6
103
104
105
8
106
107
108
3
108種類
逆ひとりにしてくれ数の上界
唯一の解である塗りわけの２つの性質を利用
(1) 問題で使用される数字の種類は
高々白マスの個数である．
各数字が1つずつ白マスのときに一致
(2) 3×3の白マスの塊は存在しない．
いまのところの結果
39
n×nのひとりにしてくれの，逆ひとりにしてくれ数
n2
下界
上界
3 2
4 n 


n  2
n 

3


3 2
≒ n
4
8 2
≒ n
9
2
2
n=100
7500
8976
n=3000
6750000
8001999