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Bipartite Permutation Graphの ランダム生成と列挙 ○斎藤 大舘 山中 上原 寿樹(JAIST) 陽太(群馬大) 克久(電気通信大) 隆平(JAIST) 背景 計算機実験 偏りがない 一様ランダム 入力 出力 列挙 入力のグラフ Interval Graph Permutation Graph [Saitoh et al. 09] Proper Interval Graph Bipartite Permutation Graph ランダム生成・列挙 提案アルゴリズム 連結なBipartite Permutation Graphのランダム生成 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なBipartite Permutation Graph 一様ランダムに生成(ラベルなし：同型性を考慮) 数え上げを利用 演算回数がO(n)回 連結なBipartite Permutation Graphの列挙 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なBipartite Permutation Graphを列挙 漏れなく、重複なく（ラベルなし：同型性を考慮） 逆探索法を利用 1つあたりO(1)時間 Permutation Graph ライン表現を持つグラフクラス 1 2 3 4 5 6 1 6 4 3 3 6 4 1 5 ライン表現 2 2 5 Permutation Graph Bipartite Permutation Graph Bipartite Graph かつ Permutation Graph 1 2 3 4 5 6 7 8 3 5 6 1 2 8 ライン表現 4 7 6 3 4 2 1 8 7 5 Bipartite Permutation Graph ランダム生成や列挙を行う Bipartite Permutation Graph 補題1 連結なBipartite Permutation Graphのライン表現は Xの頂点に対応する線分（青線）：左上から右下へ Yの頂点に対応する線分（赤線）：右上から左下へ （同じ色の線分は交差しない） 1 4 2 12 03 41 50 60 71 80 13 15 61 01 20 81 40 70 ライン表現 6 3 0 1 8 7 5 (0, 0) BipartiteDyckパス Permutation Graph 0と1の文字列を視覚化 ⇒ Dyckパス 0と1の文字列で，ライン表現を表せる 0と1の文字列 ⇒ Dyckパス ライン表現を左からスイープ 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ラインを上下交互に見る 1 ⇒ 右に1、上に1 0 ⇒ 右に1、下に1 0 (0, 0) n頂点のBipartite Permutation Graph Dyckパスの特徴 最後の座標は(2n, 0) 上でn個, 下でn個 1と0の数が等しい 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 上で1は下で0, 上で0は下で1 x軸より上 y座標が0で囲まれた領域が コンポーネントに対応 0 (0, 0) (2n, 0) n頂点の連結なBipartite Permutation Graph 1 1 0 1 0 0 1 0 Dyckパスの特徴 最後の座標は(2n, 0) 上でn個, 下でn個 1と0の数が等しい 1 1 1 0 0 1 0 0 上で1は下で0, 上で0は下で1 x軸より上 (0, 0)と(2n, 0)を除くとy座標は1以上 1 0 n頂点の連結なBipartite Permutation Graph 1 1 0 1 0 0 1 0 Dyckパスの特徴 最後の座標は(2n, 0) 上でn個, 下でn個 1と0の数が等しい 1 1 1 0 0 1 0 0 上で1は下で0, 上で0は下で1 x軸より上 (0, 0)と(2n, 0)を除くとy座標は1以上 1 Dyckパスを一様ランダムに生成すればよい？ ダメな理由 Bipartite Permutation Graphとライン表現は 1対1対応ではない グラフによって対応するライン表現の数が 異なる 対応するライン表現 補題2 連結なBipartite Permutation Graphはライン表現を高々４つ持つ 左右反転 回転 上下 反転 上下 反転 この４つのライン表現しか持たない 左右反転 対応するライン表現 すべてのBipartite Permutation Graphが4つの ライン表現を持つわけではない 左右対称 左右反転 上下 反転 上下 2つのライン表現しかもたない 反転 左右対称 対応するライン表現 すべてのBipartite Permutation Graphが4つの ライン表現を持つわけではない 上下対称なライン表現 回転対称なライン表現 2つのライン表現しかもたない 対応するライン表現 すべてのBipartite Permutation Graphが4つの ライン表現を持つわけではない 1対1 上下・左右・回転対称なライン表現 Bipartite Permutation Graph ライン表現を一様ランダムに生成 ライン表現 左右対称 上下左右 回転対称 回転対称 上下対称 ライン表現を一様ランダムに生成すると ライン表現を4つ持つグラフが生成されやすい！ ライン表現を一様ランダムに生成 ライン表現 左右対称 上下左右 回転対称 回転対称 上下対称 解決するために ライン表現を複数持つグラフの生成確率を下げる 標準形のみを生成する うまくいかない！ 生起確率の正規化 ライン表現 左右対称 上下左右 回転対称 回転対称 上下対称 左右対称 上下左右 回転対称 上下対称 上下左右 回転対称 回転対称 上下左右 回転対称 ランダム生成アルゴリズム 対応する数が等しい 数を数えればよい 1. これら4つの中からどれかを選択 2. 選択したものをランダムに生成 数え上げ ライン表現全体 長さ2n-2のDyckパス 長さ2n-2のDyckパスの数=C(n-1) 1 2n カタラン数： C(n) n 1 n 1 0 数え上げ 回転対称 長さ2n-2のDyckパス Dyckパスが左右対称 回転対称なライン表現 長さ2n-2で左右対称な n 1 (n 1) / 2 Dyckパスの数 1 数え上げ 1 1 1 0 0 1 0 0 上下対称 上の文字列と下の文字 列が等しい 長さn-2のDyckパス 1 1 1 0 0 1 0 0 上下対称なライン表現 長さn-2のDyckパスの数=C(n/2-1) 1 2n カタラン数： C(n) n 1 n 1 上原財団による懸賞問題 数え上げ 回転対称と対応 1 1 1 0 1 0 0 0 左右対称 回転対称と対応 2-Motzkinパスと対応 1 1 0 0 1 1 0 0 左右対称なライン表現 n 1 左右対称の数 回転対称の数 (n 1) / 2 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 回転対称なライン表現 1 生起確率の正規化 ライン表現 左右対称 上下左右 回転対称 回転対称 上下対称 左右対称 上下左右 上下対称 上下左右 回転対称 回転対称 回転対称 上下左右 回転対称 ランダム生成アルゴリズム Proper Interval Graphのランダム 生成を参照 1. これら4つの中からどれかを選択 2. 選択したものをランダムに生成 O(n)回の演算 O(n)領域 Bipartite Permutation Graphの 列挙アルゴリズム（アウトライン） 単純な列挙アルゴリズム Bipartite Permutation Graphか? 出力されたグラフか? 1辺を 削除 重複を防ぐため 巨大なメモリが必要 とても遅い Not Bipartite Permutation 逆探索アルゴリズム 根 1辺を 削除 全域木 親子関係 提案アルゴリズム ライン表現（標準形） 逆探索アルゴリズム 根 1辺を 削除 全域木 親子関係 提案アルゴリズム ライン表現（標準形） O(1) 時間/グラフ まとめと今後の課題 連結なn頂点のBipartite Permutation Graph ランダム生成：O(n+m)時間 列挙：O(1)時間/Graph Permutation Graphのランダム生成と列挙 Interval Graphのランダム生成と列挙