Transcript T v - 東北大学電気・情報系

アルゴリズム，応用グラフ理論，グラフ描画
西関 隆夫
東北大学 大学院情報科学研究科
自己紹介
東北大学工学部通信工学科
「PCMパルス波形，FFT」
同 電気及通信工学修士修了
1971
「集中定数回路網合成に関する研究」
同 博士修了
1974
「回路網接続の位相幾何学的研究」
同 工学部通信工学科 助手
1974
グラフ理論，アルゴリズム
1976
同 助教授
線形時間アルゴリズム、グラフ描画、VLSIレイアウト
1977-78 Carnegie-Mellon 大学数学科客員研究員
東北大学工学部通信工学科 教授
1988
同 情報科学研究科 教授
1993
同 副研究科長、教育研究評議員
2005
1969
様々の理論的
辺素な道問題や
な結果
グラフ分割問題
近似
様々な問題に対し効
率のよい
逐次
アルゴリズム
並列 ・・・
彩色
近似
NP完
困難 ・・・
全
応用グラフ理論
VLSI設計
計算理論
直交描画
グラフ描画
可視化
分解
・・・
発表の流れ
研究内容の概要
主な研究テーマの紹介
今後の研究課題
研究内容の概要
平面グラフのアルゴリズムと理論
グラフ彩色に関するアルゴリズム
辺素な道に関するアルゴリズム
グラフ描画に関するアルゴリズム
アルゴリズム
応用グラフ理論
グラフ分割に関するアルゴリズム
計算理論
並列アルゴリズム
近似アルゴリズム
グラフ描画
平面グラフ
1
3
2
研究内容の概要
1
0
9
4
6
17
7
20
9
8
18
5
8
13
15
10
14
12
11
16
18
19
16
3
20
17
グラフ
19
2
15
4
13
10
0
7
14
11
5
12
6
平面描画
平面埋め込み，描画，5点彩色，辺素な道，多重
フロー，ハミルトン閉路問題等に対する線形時間
アルゴリズム
PQ-tree, JCSS, ’85
研究内容の概要
Kuratowskiの定理
平面グラフ
K5
K5, K3,3を含まない
K3,3
研究内容の概要
博士論文
3端子直並列縦続グラフ
を含まない
研究内容の概要
アルゴリズム
平面グラフのアルゴリズムと理論
グラフ彩色に関するアルゴリズム
地
図
彩
色
グラフの点を最小色数で彩色すれば，
県や海をグラフの点に，境界線をグラフの辺
県や海の色を対応する点の色にする
点彩色
に対応させる。最小色数の地図彩色が得られる。
すべての領域を彩色し，
東北の地図は海も含
境界線を共有している
4色
めて４色で彩色できる。
２つの領域は異なる色
にする。
研究内容の概要
4色
線形5-点彩色アルゴリズム[J. Algorithms 1981]
研究内容の概要
アルゴリズム
平面グラフのアルゴリズムと理論
グラフ彩色に関するアルゴリズム
点彩色
点彩色
辺彩色
全彩色
辺彩色
多重彩色
全彩色
リスト彩色
研究内容の概要
アルゴリズム
平面グラフのアルゴリズムと理論
グラフ彩色に関するアルゴリズム
辺素な道に関するアルゴリズム
入力
出力
研究内容の概要
折れ曲りが最小な直交描画を見
アルゴリズム
グラフの辺は水平線分と垂直線
配線層を２つ用いる２層配線で
つける線形時間アルゴリズムを
分からなる折れ線で描かれる
は，水平配線は１層目に，垂直
与えた。
グラフ彩色に関するアルゴリズム
配線は２層目に置かれる。
辺素な道に関するアルゴリズム
VLSI 配線
折れ曲りが
ない
グラフ描画に関するアルゴリズム
7個のピンを結ぶ
配線
平面グラフ
折れ曲り
直交描画
研究内容の概要
どの負荷区間も１つの発電所からしか電力の供給を受
電力網の配電計画を求めるアルゴリズムを与えた。
電力を消費する学校や
電力を供給する発電所
アルゴリズム
けることができない。
辺は送電線を表し，全て
送電線のスイッチを閉じたり，開いたりして，このグラ
負荷区間が必要とする
供給できる最大電力量
病院，住宅などの負荷区
の送電線には開閉器，ス
フをいくつかの連結成分に分割します。
電力量
間
イッチが付いている。
グラフ彩色に関するアルゴリズム
辺素な道に関するアルゴリズム
グラフ描画に関するアルゴリズム
グラフ分割に関するアルゴリズム
合計：
並列アルゴリズム
4
25
23
近似アルゴリズム
合計：
13
4
12
8
6
5
3
5
15
7
6
2
10
合計：12
合計：12
13
研究内容の概要
辺彩色
最大次数
Δ ＝３
彩色問題
最小色数の上界
一般グラフに対し、 Δ ＋１個の色
で辺彩色可能
[Vizing 1965]
直並列グラフ（ｋ=2）や部分ｋ木（ｋ端子）：
アルゴリズム
応用グラフ理論
Δ≧２ｋであるならば、
計算理論
Δ色で辺彩色可能
一般のグラフを辺彩色するには，最大次
色々な彩色について，彩色できるため
木グラフ描画
(k=1)
点に接続している辺の本数を次数という。
辺彩色の一般化であるｆ-彩色、[g,f]-彩色
数Δ以上の色がどうしても必要です。
などについても同様な上界を求めることに
直並列グラフ（k=2)
成功した。
部分k木（k=定数)
部分３木グラフ
直並列グラフ
グラフ全体(任意のk)
=3端子直並列グラフ
分解
辺彩色
研究内容の概要
２ｋ≦
Δ （Gi ）
Σ Δ （ Gi ）
≦３ｋ
＝Δ（G）
i
Gi
最大
次数Δ
が大き
いとき
辺集合をいくつかの部分集合に
分解する。
部分ｋ木G
研究内容の概要
既知
応用グラフ理論
計算理論
彩色問題
研究成果
辺素な道問題
直並列グラフ（ｋ=2）： NP-完全
木
(k=1)
入力
木（ｋ=1）：
多項式時間で解ける
出力
部分ｋ木：
端子の配置がある条件を
木に対しては，同じ色の
満たしたとき
端子間の道は１本しかな
直並列グラフ（k=2)
多項式時間で解ける
い
木に対し多項式時間で解けて，直並列グラフに対
しNP困難である自然な問題はいままで知られてい
部分k木（k=定数)
なかった
グラフ全体(任意のk)
研究内容の概要
研究成果
応用グラフ理論
(計算量理論)
木：
NP困難
近似可能（FPTAS)
彩色問題
辺素な道問題
一般グラフ：
近似困難（MAX
SNP-hard）
極めてよい近似
アルゴリズム
グラフ分割問題
合計：
23
合計：
13
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
合計：12
合計：12
13
P=NPでない限り，
近似アルゴリズ
ムすら存在しそ
うもない
グラフ描画
グラフをできるだけ“見やすく”描画したい
応用により要求される
“見やすさ”が異なる
様々な描画法
凸描画
格子凸描画
矩形勢力描画
etc…
研究内容の概要
折れ
曲り
個数：
４
直交描画
bend
グラフ描画
bend
bend
bend
最大次数が3以下の直並列グラフGが与えられたときに、
本研究では，最小折れ曲り
直交描画はよくVLSI
二
Gの直交描画で折れ曲がりの個数が最小なものを線形時間で
の直交描画を見つけるアル
見つけるアルゴリズムを与えた。
層配線に応用される。
アルゴリズム
応用グラフ理論
ゴリズムを研究開発した。
VLSI 設計
折れ曲り
計算理論
ビアホール
平面グラフを交差なしで，辺を水平線分と垂直線
スルーホール
グラフ描画
分で描画する。
点以外のところでの水平線分と垂直線分の交点は
折れ曲がり（bend）という。
最小にしたい
発表の流れ
研究内容の概要
アルゴリズム
応用グラフ理論
主な研究テーマの紹介
計算理論
今後の研究課題
グラフ描画
便宜上これら３つに分類しまし
たが，個々の研究テーマはこ
れら３つのいくつにまたがりま
す。
主な研究テーマの紹介
主な研究テーマの紹介
グラフ分割
25
4
8
6
5
グラフ
15
7
4
12
25
グラフ描画
4
3
5
8
グラフ彩色
直交描画
6
2
10
13
アルゴリズム
6
5
4
12
3
5
辺彩色
応用グラフ理論 10
計算理論
15
グラフ描画
7
6
2
13
主な研究テーマの紹介
主な研究テーマの紹介
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
25
4
8
6
グラフ直交描画15
7
グラフ分割
13
グラフ彩色
近似
アルゴリズム
ＮＰ困難
応用グラフ理論
計算理論
近似困難
4
12
5
3
5
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
電力網
フィーダ
負荷区間
電力を消費する病院や学校や住宅などの負荷区間を
電力を供給するフィーダを四角で表す。
丸で表す。
主な研究テーマの紹介
電力網
送電線の開閉器
フィーダ
負荷区間
オレンジのフィーダは電力をオレンジの負荷区間に送っている。
主な研究テーマの紹介
電力網
開いている状態のスイッチを消す。
故障各連結成分にちょうど１つ供給点
負荷区間
フィーダ
停電
赤いフィーダは電力を赤い負荷区間に送っている。
緑のフィーダは電力を緑の負荷区間に送っている。
主な研究テーマの紹介
例
The New York City Blackout(2003)
東京大停電（２００６）
電力網
一刻も早く復旧させたい
フィーダ
周りで
余って
いた電
力を停
電区間
に送り
ます．
開閉器をON-OFFしなおす
負荷区間
主な研究テーマの紹介
主な研究テーマの紹介
現在の電力網において
余った電力の送り方により復旧方法：
現在はオペレータの経験則に基づき復旧
・時間がかかり過ぎる
・余力の良い送り方がなかなか見つけられない
グラフを用いて定式化
よい送り方を見つけることに成功した
主な研究テーマの紹介
グラフ
供給点 と需要点
グラフの点が2種類ある。
供給点
需要点
主な研究テーマの紹介
グラフ
グラフの辺は開閉器がある送電線を表す。
開閉器
供給量
25
4
8
6
15
7
供給点
4
12
5
3
5
6
2
10
需要量
13
需要点
主な研究テーマの紹介
分割
次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する．
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
分割
次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する．
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
分割
次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する．
(a) : 各連結成分はちょうど1つの供給点を含む．
スイッチが開いている送電線は灰色で描かれてい
(b) : 供給点を含む連結成分において，
る。
その供給量が需要量の合計以上となる．
合計：
23
合計：
13
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
合計：12
合計：12
13
主な研究テーマの紹介
最大分割
分割
需要量の合計：６０
その代わりに，次のような最大分割を求めます．
供給量の合計：５８
分割が存在しない
20
4
8
6
15
7
4
10
5
3
5
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
最大分割
次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する．
(a) : 各連結成分は高々1つの供給点を含む．
(b) : 供給点を含む連結成分において，
その供給量が需要量の合計以上となる．
供給点を含まない
4
20
4
10
供給点１個だけを含む
8
6
5
3
5
15
7
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
最大分割
充足量が最大となる分割を求めたい
次の条件 (a) , (b) を満たすようにグラフを分割する．
供給された電力量の合計
(a) : 各連結成分は
高々1つの供給点を含む．
(b) : 供給点を含む連結成分において，
その供給量が需要量の合計以上となる．
合計：
17
合計：
7
20
4
8
6
15
7
4
10
合計： 5
5
3
5
合計：12
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
最大分割
充足量が最大となる分割を求めたい
この分割の充足量
17 + 5 + 12 + 7 = 41
合計：
17
合計：
7
20
4
8
6
15
7
4
10
合計： 5
5
3
5
合計：12
6
2
10
13
主な研究テーマの紹介
最大分割
充足量が最大となる分割を求めたい
停電量を最小にしたい
この分割の充足量
19 + 8 + 12 + 15 = 54
最大充足量
合計：
19
合計：
15
20
4
8
6
15
7
4
10
合計： 8
5
3
5
合計：12
6
2
10
13
分割問題の計算量
木
2
3
3
7
最大部分集合和問題
(Knapsack問題の簡単化)
25
4
主な研究テーマの紹介
6
9
4
5
15
NP-困難
b = 13
3 4 5 7 11
集合 A
最大部分集合和問題(NP-困難)
木に対してすら，最大分割問題はＮＰ
-困難であることを
入力: 整数集合 A と 整数 b
既にＮＰ-困難であることが分かっている
証明しました。
出力: A の部分集合C：
問題
Cの要素の合計はb以下かつ最大である。
主な研究テーマの紹介
計算量
木
最大部分集合和問題
(Knapsack問題の簡単化)
25
4
2
3
3
7
6
9
4
5
15
NP-困難
b = 13
C
3 4 5 7 11
集合 A
最大部分集合和問題(NP-困難)
明らかに，最大部分集合和問題は最大分割問題
グラフがスターであり，しかも供給点が１つしかなく，
の極めて特殊な場合
入力:
整数集合 A と 整数 b
木の中心にある場合です。
よい近似アルゴリズムは存在するのか？
出力: A の部分集合C ：.
Cの要素の合計はb以下かつ最大である。
主な研究テーマの紹介
関連結果
最大部分集合和問題
13
3
4
5
7 11
完全近似スキーム
Fully Polynomial-Time
Approximation Scheme
(FPTAS)
[Ibarra and Kim ’75]
完全近似スキーム（FPTAS）:
極めてよい近似アルゴリズム
任意の
e（0 < e < 1）に対し, n と 1/ e の多項式時間で
APPRO > (1–e ) OPT
を満たす近似解APPROを見つけるアルゴリズム
主な研究テーマの紹介
関連結果
最大部分集合和問題
13
3
4
5
7 11
最大分割問題
の特殊な場合
一般グラフのクラス
に対し、いい近似
アルゴリズム
完全近似スキーム
Fully Polynomial-Time
Approximation Scheme
(FPTAS)
[Ibarra and Kim ’75]
予想
?
研究成果（最大分割問題）
一般のグラフ
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
主な研究テーマの紹介
(1) MAXSNP-困難
(近似困難)
13
P=NP ではない限り、
PTASが存在しない
P=NP ではない限り、
FPTASも存在しない
最大分割を見つけるい
い近似アルゴリズムが
（1/e :定数）
存在しそうもないことを
近似スキーム（PTAS）:
証明しました．
任意のe（0 < e < 1）に対し, n の多項式時間で
APPRO > (1–e ) OPT
を満たす近似解APPROを見つけるアルゴリズム
研究成果（最大分割問題）
一般のグラフ
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
木
主な研究テーマの紹介
(1) MAXSNP-困難
(近似困難)
13
P=NP ではない限り、
PTASが存在しない
NP-困難
25
4
2
3
3
7
6
9
4
5
15
(2)完全近似スキーム
FPTAS
主な研究テーマの紹介
(2)完全近似スキーム （FPTAS）
階段, 非増加関数
FPTASのアイデア
動的計画法
余った電力量
5
2
Tv
20
v 10
5
9
3
Tv
20
充足量: 18
Tv
20
v10
5
9
3
充足量: 13
v 10
5
9
3
充足量: 10
5
7
5
10
Tv
20
5
5
v10
5
3
2
1
9
0
各充足量の値ご
とに根から外側
に供給できる最
大電力量を計算
F
する
1 2 3
充足量
3
充足量: 15
F points
(2)完全近似スキーム （FPTAS）
階段,
非減少関数
FPTASのアイデア
動的計画法
足りない電力量
5
T
15
v5
v
3
8
5
T
3
5
T
5
v
3
4
5
5
12
15
v5
4
充足量: 8
充足量: 5
9
15
v5
v
4
5
T
v
5
充足量: 9
15
v5
3
4
5
充足量: 12
3
2
1
0
各充足量の値ごと
にその充足量を達
成するために外側
からもらわないとい
けない最小電力量 F
1 2を計算する
3
充足量
F points
主な研究テーマの紹介
(2)完全近似スキーム （FPTAS）
余った電力量
足りない電力量
全体でO(F 2n) 時間
3
4
7
2 8 2
Fがnの多項式
厳密解
とは限りません。
20 5
7
4
2
F
0 1 2 3 充足量
0 1 2 3 充足量
3
0 12 3
充足量
6
3 20 9
15
余った電力量
F
F
O(F 2) 時間
4
5 25
足りない電力量
F
0 123 充足量
余った電力量
足りない電力量
F
F
0 1 2 3 充足量
0 12 3
充足量
研究成果（最大分割問題）
一般のグラフ
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
木
主な研究テーマの紹介
(1) MAXSNP-困難
(近似困難)
13
P=NP ではない限り、
PTASが存在しない
NP-困難
25
4
2
3
3
7
6
9
4
5
15
(2)完全近似スキーム
FPTAS
研究成果（最大分割問題）
明電舎との共同研究
地方都市規模の電力網
主な研究テーマの紹介
環境
AMD Opteron Processor
252 (2.6GHz)×2
約1時間
配電融通システム
北海道電力に納入予定
特許申請中
150
250
200
開発した
近似方法
1秒以内
近似率：98%以上
主な研究テーマの紹介
以下の3つの主な研究テーマ
グラフ分割
グラフ直交描画
グラフ彩色
直交描画
応用グラフ理論
アルゴリズム
計算理論
グラフ描画
主な研究テーマの紹介
直交描画
辺の交差がないように、辺を水平線分や垂直線分
の折れ線で描く
入力
出力
折れ曲り：１
bend
直交描画
平面グラフ
折れ曲り
主な研究テーマの紹介
直交描画
辺の交差がないように、辺を水平線分や垂直線分
の列で描く
VLSI 設計
折れ曲り
ビアホール
スルーホール
出力
折れ曲り：１
bend
直交描画
折れ曲り
主な研究テーマの紹介
直交描画
違う平面埋め込み
辺の交差がないように、辺を水平線分や垂直線分
の列で描く
入力
出力
折れ曲り：0
bend
平面グラフ
直交描画
主な研究テーマの紹介
直交描画
問題
辺の交差がないように、辺を水平線分や垂直線分
の列で描く
入力
出力
折れ曲り：最小
bend
平面グラフ
直交描画
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
bend
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
bend
bend
bend
bend
折れ曲り数：最小?
折れ曲り数：
４
No
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
bend
埋め込み
反転
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
bend
埋め込み
反転
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
bend
埋め込み
反転
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
bend
埋め込み
反転
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
埋め込み
bend
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
例
主な研究テーマの紹介
直交描画
描画
埋め込み
描画
bend
bend
bend
折れ曲り数：
４
bend
折れ曲り数： 0
最適
主な研究テーマの紹介
既知の結果 （直交描画問題）
直並列グラフに対して
Δ≦4のとき,
Δ≦3のとき,
O(n4) time
O(n3) time
D. Battista, et al. 1998
D. Battista, et al. 1998
研究成果：直並列グラフに対し
Δ≦3のとき,
O(n) 時間
？
主な研究テーマの紹介
アルゴリズム(G)
入力グラフG ： 最大次数 Δ≦3の直並列グラフ.
If ∃ 菱形
見つける
Thenアルゴリズム(
例
描画
),
最適
主な研究テーマの紹介
アルゴリズム(G)
入力グラフG ： 最大次数 Δ≦3の直並列グラフ.
If ∃ 菱形
最適
見つける
Thenアルゴリズム(
),
Else If∃ 互い隣接している次数２の２点u,v
Then u
v
u v
Else∃ 三角形 K3.
最適
主な研究テーマの紹介
研究成果 （直交描画問題）
直並列グラフに対し
Δ≦3のとき,
O(n) 時間
直並列グラフ
直交描画
主な研究テーマの紹介
主な研究テーマの紹介
グラフ分割
グラフ描画
グラフ
グラフ彩色
応用グラフ理論
アルゴリズム
計算理論
グラフ描画
辺彩色
点彩色
地図の彩色
主な研究テーマの紹介
4色
4色
主な研究テーマの紹介
辺彩色
５色
時間帯： 1時間目 2時間目 3時間目 4時間目 5時間目
転送時間：５
file 1
file 2
もっと速い転
file 6
送方法？
file 7
file 3
file 4
file 5
辺彩色
ファイル転送問題
主な研究テーマの紹介
辺彩色
４色
時間帯： 1時間目 2時間目 3時間目 4時間目 5時間目
転送時間：４
file 1
file 2
file 7
file 6
file 3
file 4
file 5
辺彩色
ファイル転送問題
色数
ファイル転送時間
主な研究テーマの紹介
∈
NP困難
点彩色問題
分割
辺型の問題について 動的計画法
最大次数が定数のとき
ｋ個の端子
1 2
k
入力：グラフG
出力：最小色数で Gの点彩色
JACM’82の結果 ２
色数ｘｋ
容易
ＤＰ表のサイズ：
入力サイズの指数関数
入力サイズの多項式
ｋ端子グラフ
直並列グラフに対して、
木に対して、
∃ 線形時間アルゴリズム
点型の問題：
∃ ＤＰ表（動的計画法）
多項式時間アルゴリズム
点型の問題について
木
(k=1)
動的計画法
辺型の問題：
∃ 多項式時間アルゴリズム
？
ｋ個の端子
1 2
k
直並列グラフ（k=2)
ｋ
辺彩色問題
色数
ｋ端子グラフ
部分k木（k=定数)
グラフ全体(任意のk)
容易
ＤＰ表のサイズ：
入力サイズの多項式
分解
辺彩色
主な研究テーマの紹介
各部分グラフGi
２ｋ≦
≦３ｋ
の最大次数
Σ
Gi
Giの最大次数 ＝Gの最大次数
Giの彩色指数 ＝Giの最大次数
部分ｋ木Gの ＝ G の彩色指数
Σ
i
彩色指数
＝Gの最大次数
最大
次数
が大き
いとき
部分ｋ木G
発表の流れ
研究内容の概要
主な研究テーマの紹介
今後の研究課題
今後の研究課題
グラフ分割
合計：
17
最大問題
20
20
44
88
66
15
15
77
合計：7
最小問題
合計：
合計：
19
アルゴリズム
44
今後の研究課題
10
10
33
55 ？ 合計：12
∃55 FPTAS
近似困難？
10
13
66
22
10
13
応用グラフ理論
直並列グラフ
計算理論
グラフ描画
合計： 5
平面グラフ
木
部分ｋ木
今後の研究課題
グラフ分割
直交描画
今後の研究課題
∃ 線形時間アルゴリズム？
最大次数が４以下の
直並列グラフ
最大次数：４
直並列グラフ
二次元直交描画
今後の研究課題
今後の研究課題
グラフ分割
直交描画
三次元描画 ？
最大次数：４
直並列グラフ
二次元直交描画
折れ曲り：３
三次元直交描画
折れ曲り：１
今後の研究課題
グラフ分割
直交描画
グラフ彩色
今後の研究課題
今後の研究課題
今後の研究課題
グラフ分割
直交描画
Graph Coloring Algorithms
グラフ彩色
Part 1: Introduction
道彩色
彩色アルゴリズム
に関する本の執筆
多重彩色
リスト彩色
Part 2: Vertex-Coloring
Part 3: Edge-Coloring
Part 4: Total Coloring
Part 5: List Coloring
Part 6: Cost Coloring
今後の研究課題
Ｗｅｂ
Web情報検索アルゴリズム
アルゴリズム
グラフアルゴリズム
応用グラフ理論
Web情報圧縮アルゴリズム
計算理論
グラフ描画
今後の研究課題
検索エンジン
入力 ： キーワード（ユーザの欲しい情報）
出力 ： Webページ
1） Webから数十億のWebページを集める．
2） 各Webページを解析してリンクデータを作る．
3)
リンクデータを元に出力するWebページを判断する．
Web上の
Webページとリンクの例
検索エンジン
入力 ： キーワード（ユーザの欲しい情報）
出力 ： Webページ
1） Webから数十億のWebページを集める．
2） 各Webページを解析してリンクデータを作る．
①Webページにページ番号を振る．
0
1
②リンクデータを作成．
2
3
4
5
Web上の
Webページとリンクの例
この際，Webを
Webページを点
リンクを有向辺
としたWebグラフで表す．
検索エンジン
入力 ： キーワード（ユーザの欲しい情報）
出力 ： Webページ
1） Webから数十億のWebページを集める．
2） 各Webページを解析してリンクデータを作る．
①Webページにページ番号を振る．
1
②リンクデータを作成．
0
2
3
4
Webグラフの例
5
この際，Webを
Webページを点
リンクを有向辺
としたWebグラフで表す．
リンクは始点と終点の対で表される → (5, 4)
検索エンジン
入力 ： キーワード（ユーザの欲しい情報）
出力 ： Webページ
1） Webから数十億のWebページを集める．
2） 各Webページを解析してリンクデータを作る．
①Webページにページ番号を振る．
1
②リンクデータを作成．
0
2
始点番号
0
3
4
Webグラフの例
5
終点番号の集合
1, 4
検索エンジン
入力 ： キーワード（ユーザの欲しい情報）
出力 ： Webページ
1） Webから数十億のWebページを集める．
2） 各Webページを解析してリンクデータを作る．
①Webページにページ番号を振る．
1
②リンクデータを作成．
0
2
3
4
Webグラフの例
5
始点番号
0
終点番号の集合
1, 4
1
4
2
3, 4
…..
…..
検索エンジン
入力 ： キーワード（ユーザの欲しい情報）
出力 ： Webページ
1） Webから数十億のWebページを集める．
2） 各Webページを解析してリンクデータを作る．
①Webページにページ番号を振る．
検索エンジンでは
このような
リンクデータを使って
出力するページを
計算している
②リンクデータを作成．
始点番号
0
終点番号の集合
1, 4
1
4
2
3, 4
…..
…..
リンクデータの巨大さ
リンクデータ
1
0
2
3
4
9,000,000,000
5
始点番号
0
終点番号の集合
1, 4 , 9000000000
1
4
2
3, 4
…..
…..
リンク1本あたりにかかる
bit数を小さく（圧縮）したい
単純な方法では，整数1つごとに64bit必要．
よって，リンク1本あたり64bit（8 byte）程度が必要になり，
リンクデータ全体（約100億本の辺）には80GBが必要となる．
End
今後の研究課題
今後の研究課題
Ｗｅｂ
分散するコンピュータの余剰CPUパワーを活用して仮
想的にスーパーコンピュータを実現するアルゴリズム
アルゴリズム
Web情報検索アルゴリズム
Web情報圧縮アルゴリズム
Web計算アルゴリズム
今後の研究課題
Ｗｅｂ
アルゴリズム
Web情報検索アルゴリズム
Web情報圧縮アルゴリズム
Web計算アルゴリズム
Web可視化アルゴリズム
今後の研究課題
今後の研究課題
Ｗｅｂ
アルゴリズム
Web情報検索アルゴリズム
Web情報圧縮アルゴリズム
Web可視化アルゴリズム
今後の研究課題
発表の流れ
研究内容の概要
主な研究テーマの紹介
今後の研究課題
End
End
今後の研究課題
Ｗｅｂ
アルゴリズム
Web情報検索アルゴリズム
Web情報圧縮アルゴリズム
Web計算アルゴリズム
Web可視化アルゴリズム
今後の研究課題
今後の研究課題
固定パラメータアルゴリズム
f(k)  nO(1)時間アルゴリズム
今後の研究課題
ここで、
k：パラメータ
f(k) ：k に関する関数
n：問題の入力サイズ
地図の彩色
6色
5色?
地図の彩色
5色
4色?
点彩色
地図の彩色
4色
3色?
４彩色定理
地図を4色で彩色可能
4色
提案：Francis Guthrie, 1852
最近の研究成果
証明：Appel と Haken,1976
平面グラフを4色で点彩色可能
ある条件を満たす点ラベリングが存在
する
課題
証明：Tait, 1880
全ての次数が３の平面グラフを
全ての次数が３の平面グラフに対
3色で辺彩色可能
して、上記のラベリングが存在する
4色
(2)完全近似スキーム （FPTAS）
計算時間
各点 ･･････････････ O(F 2)
グラフの点数： n
根
2
3
4
7
8
2
20 5
15
7
4
2
3
動的計画法
6
3 20 9
4
5 25
Pseudo-Polynomial-Time Algorithm
Computation time
for each vertex ･･････････････ O(F 2)
There are n vertices.
Computation time
O(F 2n)
The algorithm takes polynomial time if
F is bounded by a polynomial in n.
(2) FPTAS
Let all demands and supply be positive real numbers.
For any e, 0< e <1, the algorithm finds a partition
of a tree T such that
OPT – APPRO < e OPT
in time polynomial in both n and 1/e .
 n5 
O 2 
e 
n : # of vertices
(2) FPTAS
The algorithm is similar to the previous algorithm.
marginal
power
0
t
sampled fulfillment
(2) FPTAS
total
error
<
error/merge
×
#
of
merge
The algorithm is similar to the previous algorithm.
<
2t
×
n
marginal
OPT – APPRO < 2nt
power
OPT
0
t
sampled fulfillment
APPRO
(2) FPTAS
md: max demand
Error
t
OPT – APPRO < 2nt
e md
2n
7
4
2
3
3 15 9
6
4
5 25
md = 9
(2) FPTAS
md: max demand
Error
OPT – APPRO < 2nt
 e md
≦ e OPT
OPT – APPRO < e OPT
error OPT  APPRO
e
ratio
OPT
t
e md
2n
md ≦ OPT
(2) FPTAS
md: max demand
Error
OPT – APPRO < e OPT
marginal power
Computation time
5
 F  


n
O   n   O 2 
 t  


e 
2
t
e md
2n
, F  nmd
0
t
Sampled fulfillment
F
points
t
Conclusions
General graphs
25
4
8
6
15
7
4
12
5
3
5
6
2
10
Trees
(1) MAXSNP-hard
(APX-hard)
13
No PTAS unless P=NP
NP-hard
25
4
2
3
3
7
(2) FPTAS
6
9
4
5
15
時間帯： 1時間目 2時間目 3時間目 4時間目 5時間目
[1,2]
2色
[0,2]
[1,2]
[0,2]
file 1
file 2
[1,2]
file 6
[1,2]
file 7
file 3
file 4
[1,2]
[1,2]
[g,f]彩色
[1,2]
file 5
[1,2]
ファイル転送問題
辺彩色
[0,1]彩色
[0,1]
[0,1]
[0,1]
[0,1]
[0,1]
[g,f]彩色問題
分割
∈ NP困難
入力：グラフG
出力：最小色数でGの[g,f]彩色
研究成果
部分k木に対して、
線形時間アルゴリズム
全彩色問題
分割
以下の条件を満たすように点と辺を彩色することであ
る。
隣接点に異なる色
隣接辺に異なる色
隣接点と辺に異なる色
全彩色問題
分割
∈ NP困難
入力：グラフG
出力：最小色数でGの全彩色
研究成果
部分k木に対して、
線形時間アルゴリズム