Transcript プレゼンデータ
GRAPESで学ぶ
フーリエ級数
立命館高等学校 早苗雅史
1
はじめに
フーリエ級数
n
n
k 1
k 1
f ( x) a0 ak cos k x bk sin k x
1 T
a0 f ( x)dx
T 0
1 T
an f ( x)cos nxdx
T 0
1 T
bn f ( x)sin nxdx
T 0
2
1.1 sin波とcos波
デモ
3
1.1 sin波とcos波
振幅
sin波
cos波
問題1
4
1.2 周期・周波数・角速度
デモ
5
1.2 周期・周波数・角速度
y
1秒
O
周期 = 0.5 秒
T 0.5 (秒)
f 2(Hz)
y
1秒
O
周期 = 0.25 秒
T 0.25 (秒) f 4(Hz)
6
1.2 周期・周波数・角速度
角速度の定義
角度( )
角速度( ) =
時間( t)
7
1.2 周期・周波数・角速度
【問題2】
周期 T 周波数 f 角速度ω
(Hz)
(sec)
(°/sec)
グラフ
y
(1)
1秒
O
1/3
3
6π
1/5
5
10π
2
0.5
π
y
(2)
1秒
O
y
(3)
1秒
O
8
1.2 周期・周波数・角速度
周期Tと周波数の関係
1
T
f
2 f
または
1
f
T
または
2
T
sin波,cos波の一般形
f (t ) a sin t a sin 2 ft
f (t ) a cos t a cos2 ft
9
1.2 周期・周波数・角速度
【問題3】
f ( x) 3sin8 x
f ( x) 2sin5 x
10
1.3 波の合成
y
A
B
x
f ( x) 3sin 4 x
x
f ( x) 2sin8 x
x
f ( x) sin12 x
x
f ( x) 3sin16 x
1秒
O
1秒
O
y
C
1秒
O
y
D
1秒
O
デモ
11
1.3 波の合成
y
E
1秒
O
x
f ( x) 3sin 4 x 2sin8 x sin12 x 3sin16 x
12
1.3 波の合成
sin波の合成(1)
f ( x)
a1 sin 1 x a2 sin 2 x a3 sin 3 x
an sin n x
n
ak sin k x
k 1
問題4
13
周波数 f
(Hz)
グラフ
1.4 合成された波の規則性
y
A
1秒
O
y
B
x
2
x
4
x
6
x
8
x
2
y =3 sin 8πx
1秒
O
y
C
y =2 sin 4πx
y = sin 12πx
1秒
O
周波数に着目
y
何か関係はないか?
D
y =3 sin 16πx
1秒
O
y
E
1秒
O
14
1.4 合成された波の規則性
【問題5】
(1) f (t ) 2sin 2 x 3sin 4 x sin 6 x 3sin8 x
(2) f (t ) sin3 x 2sin 6 x 3sin 4 x sin12 x
(3) f (t )
2sin5.4 x 3sin 2.4 x sin3 x 3sin 4.2 x
A
B
C
D
E
(1)
1
2
3
4
1
問題5-1
(2)
1.5
3
2
6
0.5
問題5-2
1.2
1.5
2.1
0.3
問題5-3
(3)
2.7
15
1.4 合成された波の規則性
合成される波の角速度は
合成された波の角速度の整数倍
sin波の合成(2)
f (t )
a1 sin 1 x a2 sin 2 x a3 sin 3 x an sin n x
a1 sin x a2 sin 2 x a3 sin 3 x an sin n x
n
ak sin k x
k 1
16
1.5 フーリエ級数式
y
1秒
f ( x) 1
1秒
f ( x) 3cos2 x
1秒
f ( x) 2cos4 x
1秒
f ( x) 2sin 6 x
O
y
O
y
O
y
O
デモ
17
1.5 フーリエ級数式
y
1秒
O
t
f ( x) 1 3cos2 x 2sin 4 x 2sin6 x
18
1.5 フーリエ級数式
【問題6】
(1) f (t ) 3 3cos4 x 2cos8 x 2sin12 x
問題6-1
(2) f (t ) 2 cos6 x 3sin12 x 3sin8 x
問題6-2
19
1.5 フーリエ級数式
フーリエ級数式
f (t )
a0
a1 cos x a2 cos 2 x a3 cos3 x an cos nx
b1 sin x b2 sin 2 x b3 sin3 x bn sin n x
n
n
k 1
k 1
a0 ak cos k x bk sin k x
20
2.1 a0を求める
デモ
21
2.1 a0を求める
デモ
22
2.1 a0を求める
S a0T
S 0
S 0
23
2.1 a0を求める
S a0T
S 0
S 0
S 0
S f ( x)dx
T
0
24
2.1 a0を求める
定数波の値
a0T f ( x)dx
T
0
1 T
a0 f ( x)dx
T 0
25
2.2 波のかけ算
y
2
A
T
O
y
2
B
y =2
x
+
y =2 cos 4 x
T
O
x
y
y
C
T
O
x
y = cos 6 x
T
O
2
x
+
f ( x) cos4 x
y =2 sin 8 x
T
O
x
=
D
+
1
y
×
y = cos 4 x
1
yy
E
T
O
x
デモ
26
2.2.1 cos波×cos波,sin波×sin波
【問題7】
y cos6 x
(1) y 3cos 2 x
面積=0
(3) y 2cos6 x
面積 +
(5) y 2cos2.5 x
面積=0
(2) y 2cos4 x
面積=0
(4) y cos8 x
面積=0
(6) y 2cos3.5 x
面積=0
問題7
27
2.2.1 cos波×cos波,sin波×sin波
cos波×cos波,sin波×sin波の面積
周波数が同じとき
+
周波数が違うとき
0
28
2.2.2 sin波×cos波
【問題8】
y cos6 x
(1) y 3sin 2 x
(2) y 2sin 4 x
(3) y 2sin 6 x
(4) y sin8 x
(5) y 2sin 2.5 x
(6) y 2sin3.5 x
問題8
29
2.2.2 sin波×cos波
cos波×sin波の面積
cos波×sin波の面積 = 0
面積を残すには
同じ周波数のcos波(またはsin波)をかけ合わせる
とよい
30
2.3 anを求める
y
2
A
2
T
O
+
y =2 cos 4
x
y
x
2
T
T
=
+
y = cos 6
x
y
x
×
+
y =2 sin 8
y
x
面積=0
1
T
O
y
O
x
1
2
1
O
x
面積=0
2
T
O
x
T
y
x
T
O
y = cos 4 x
T
x
O
x
=
D
2
x
O
y
C
面積=0
T
O
y
B
y
y =2
yy
y
E
T
O
T
x
O
x
31
2.3 anを求める
=
y
T
O
T
T
a1 f ( x)cos2xdx
2 0
x
2 T
a1 f ( x)cos2xdx
T 0
32
2.4 フーリエ展開
f ( x)
a0
a1 cos x a2 cos 2 x an cos n x
b1 sin x b2 sin 2 x bn sin n x
f ( x) cos n x
a0 cos n x
a1 cos x cos n x a2 cos 2 x cos n x an cos n x cos n x
b1 sin x cos n x b2 sin 2 x cos n x bn sin n x cos n x
33
2.4 フーリエ展開
T
0
f ( x) cos n x dx
a0 cos n x dx
T
0
面積=0
a1 cos x cos n x dx a2 cos 2 x cos n x dx
T
T
0
0
面積=0
面積=0
b1 sin x cos n x dx b2 sin 2 x cos n x dx
T
T
0
0
面積=0
面積=0
an cos n x cos n x dx
T
0
bn sin n x cos n x dx
T
0
面積=0
34
2.4 フーリエ展開
T
0
f ( x) cos n x dx an cos n x cos n x dx
T
0
T
an
2
2 T
an f ( x) cos nxdx
T 0
35
2.4 フーリエ展開
フーリエ展開
1 T
a0 f ( x)dx
T 0
2 T
an f ( x)cos nxdx
T 0
2 T
bn f ( x)sin nxdx
T 0
36
2.5 波の分解
y
T
O
x
この波を分解してみよう
「教材フォルダ/H1/数学」
「Fourie_ Question_1.gps」
問題
37
2.5.1 a0 を決定する
1 T
S
a0 f ( x)dx
T 0
T
y
T
O
x
問題9
38
2.5.2 an を決定する
2 T
2S
an f ( x)cos nxdx
T 0
T
y
T
O
x
問題10
39
2.5.3 bn を決定する
2 T
2S
bn f ( x)sin nxdx
T 0
T
y
T
問題11
40
2.6 スペクトル
振幅
10
cos
sin
5
0
周波数
0
1
2
3
41