区分線形凸計画問題に対する内点法
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Transcript 区分線形凸計画問題に対する内点法
区分線形凸計画問題に対する
内点法
東京工業大学経営工学専攻
小崎 敏寛
2006 5/28 S@CO 筑波大学
考える問題
• 区分線形凸計画問題
(piecewise linear convex problem)
min max(ci T x di )
x
i 1,...,l
( P) s.t. Ax b
x 0.
max(ciT x di )
i 1,...,l
定数A mn , b m , ci n , di ,
変数x n .
関数max(ci x di )は凸関数であるから
T
i 1,...,l
この問題は凸計画問題．
2006 5/28 S@CO 筑波大学
発表の構成
1. 区分線形凸計画問題を線形計画問題に変
形する．
2. 線形計画問題を標準形の問題で解ける用
に変換する．
3. 区分線形凸計画問題に対する多項式オー
ダーの内点法を提案する．
4. 凸関数の性質を使って解ける問題を考える．
5. 内点法の性質を使って解ける問題を考える．
2006 5/28 S@CO 筑波大学
１．線形計画問題への変換
• 問題(P)は変数 t を使うと次の問題に書ける．
min max(ci x di ) min t
x i 1,...,l
T
s
.
t
.
c
x
d
t
i
1
,
,
l
i
i
(P) s.t. Ax b
Ax b
x 0.
x 0.
T
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• 標準形にすると次のようになる．
min t t
T
s
.
t
.
Ax
b
s.t. ci x di t i 1,, l
T
ci x t t si di i 1,, l
Ax b
x 0 t 0 t 0 si 0 i 1,, l.
x 0.
min t
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• 双対問題は次のようになる．
l
maxb y diui
min t t
s.t. Ax b
T
i 1
l
ciT x t t si di i 1,, l
x 0 t 0 t 0 si 0 i 1,, l.
s.t. A y ciui z 0
T
i 1
l
u
i
i 1
l
u
i 1
i
1
1
ui 0 i 1,, l
z 0.
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• 整理すると次のようになる．
l
l
maxb y diui
maxb y diui
T
T
i 1
l
i 1
s.t. AT y ciui z 0
i 1
l
u 1
i
i 1
l
u 1
i 1
i
ui 0 i 1,, l
z 0.
l
( D)s.t. AT y ciui z 0
i 1
l
u
i 1
i
1
ui 0 i 1,, l
z 0.
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２．標準形の問題で解けるような変換
• 内点法を適用するために等式制約を解き代入する
変換を行う．
ul 1 ui ( 0)として目的関数，制約 式に代入すると，
i l
l
b y diui bT y diui dl (1 ui )
T
i 1
i l
i l
bT y (dl di )ui dl ,
i l
l
A y ciui AT y ciui cl (1 ui )
T
i 1
i l
AT y (ci cl )ui cl .
i l
i l
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• 問題(D)は次のように書ける．
max bT y (dl di )ui dl
i l
s.t. AT y (ci cl )ui vx cl
i l
ui vsl 1
i l
ui vsi 0 i 1,, l 1
vx 0 vsl 0 vsi 0 i 1,, l 1
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• 対応する主問題は次のようになる．
min cl x sl dl
s.t. Ax b
T
(ci cl )T x si sl dl di i 1,, l 1
x 0 si 0 i 1,, l.
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• 最適条件は次のようになる．
Ax b,
(ci cl )T x si sl dl di i 1,, l 1,
x 0 si 0 i 1,, l,
主実行性
AT y (ci cl )ui vx cl ,
i l
ui vsl 1,
双対実行性
i l
ui vsi 0 i 1,, l 1,
vx 0 vsl 0 vsi 0 i 1,, l 1,
xT vx 0,
si vsi 0 i 1,, l.
相補性条件
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• 変換後の問題の最適解からもとの問題の最適解
を得ることができる．
• 変換後の主問題の解を ( x* , s1* ,, sl * )として，
もとの主問題の解は
( x, t, s1,, sl ) ( x , cl x sl dl , s ,, sl )
*
•
T *
*
*
1
*
*
*
*
(
y
,
u
,
,
u
)として，
1
l
1
変換後の双対問題の解を
もとの双対問題の解は
( y, u1 ,, ul ) ( y* , u1* ,,1 ui* )
i l
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３．多項式オーダーの解法
• 問題のサイズから主双対内点法のショートス
テップ法で O( n l L) 反復で解ける．
min cl x sl dl
s.t. Ax b
T
(ci cl )T x si sl dl di i 1,, l 1
x 0 si 0 i 1,, l.
変数x , si i 1,, l.
n
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• 主双対内点法は，センターパスを近似し，最
適解に近づく反復解法．
センターパス
最適解
実行可能領域
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と表す．
sl
と表す．
と表す．
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アルゴリズム
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2006 5/28 S@CO 筑波大学
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4.凸関数の性質を使うと
• 区分線形凸関数の非負結合は凸関数である
ことから，次の問題も同様に解ける．
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制約式に区分線形凸関数がある問題
• この問題は標準形の線形計画問題に帰着で
きるので，内点法で解ける．
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制約式に区分線形凸関数の
非負結合がある問題
• 区分線形凸関数の非負結合は凸関数．
• この問題は変換を使い内点法で解ける．
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5.内点法の性質を使うと
• 半正定値制約を持つ区分線形凸計画問題
• この問題は変換を使って，内点法で解ける．
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• 二次錐制約を持つ区分線形凸計画問題
• この問題は変換を使って，内点法で解ける．
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今後の課題
• 応用を考える．
• 変換を用いないで，直接ニュートン法を適用
する内点法を考える．
• 自由変数を持つ線形計画問題に対する内点
法を考える．
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参考文献
• D.Bertsimas and J.N.Tsitsiklis, Introduction to
Linear Optimization.
• S.Boyd and L.Vandenberghe,
Convex Optimization.
• K.Kobayashi, K.Nakata and M.Kojima,
A Conversion of an SDP Having Free Variables
into the Standard Form SDP.
• S.J.Wright,
Primal-Dual Interior-Point Method.
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