Miyazaki-PBV200409
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Transcript Miyazaki-PBV200409
東大生研
池内研究室
ウェーブレットによる
信号処理と画像処理
宮崎大輔
2004年9月17日(金)
PBVセミナー
東大生研
池内研究室
ウェーブレットによる信号処理と画像処理
中野宏毅,山本鎭男,吉田
靖夫
1999
共立出版
ISBN4-320-08549-3
ソースコード
2004/Sep/17
http://homepage3.nifty.com/
wavelet/
10th Physics Based Vision Seminar
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東大生研
池内研究室
第1章
信号のフーリエ級数,複素フーリエ級数展
開とフーリエ変換
東大生研
池内研究室
フーリエ級数展開(Fourier series expansion)
周期Tの周期関数: f (t ) f (t T )
この関数のフーリエ級数展開:
1
0 2 T
f (t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
2
n 1
2 T
a0 f (t )dt
T 0
2 T
an f (t ) cos n0tdt
T 0
2 T
bn f (t ) sin n0tdt
T 0
(n 1,2,)
(n 1,2,)
aとbはf(t)とcos,sinとが似ている度合いを表す
aやbが1に近いと良く似てる
1ならf(t)はcosやsinそのもの
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東大生研
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コサイン波のフーリエ級数展開
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矩形パルス列のフーリエ級数展開
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パルス列のフーリエ級数展開
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複素フーリエ級数
先程のフーリエ級数
1
f (t ) a0 an cos n0t bn sin n0t
2
n 1
のcos,sinを複素形で表す
f (t )
in0t
c
e
n
n
1 T2
cn f (t )e in0t dt
T T 2
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(n ,1,0,1,)
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東大生研
フーリエ変換(Fourier transform)と
フーリエ逆変換(Fourier inverse transform)
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フーリエ変換
フーリエ逆変換
F ( ) f (t )e
it
1
f (t )
2
dt
F ( )eit d
周期TだったのがT→∞となったもの
-∞~∞でe-iωtとの類似度を計算する
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無限に続くコサイン波のフーリエ変換
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有効幅dのコサイン波のフーリエ変換
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矩形パルスのフーリエ変換
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インパルスのフーリエ変換
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インパルス列のフーリエ変換
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第2章
信号の窓フーリエ変換,ウェーブレット変
換
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矩形窓フーリエ変換(rectangular window
Fourier transform)
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矩形窓Rd
矩形窓フーリエ変換
( Fp f )(b, ) Rd (t b) f (t )eit dt
時間-周波数解析
コサイン波
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カサ形窓(umbrella window)adによる窓フーリ
エ変換
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カサ形窓ad
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ガボール変換(Gabor transform),ガウス関数
を用いた窓フーリエ変換
(Gb f )( ) f (t )Gb, (t )dt
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ガボール関数:
b ,
it
G (t ) e g (t b)
ガウス関数gα:
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2Hz→
さ数窓
れ分幅
る解を
は狭
山全く
と域す
谷でる
が定
一数デ
番 ル
エエタ
ネネ
ルル関
ギギ数
ーーに
がのな
大みる
きが
い検周
出波
窓
幅
が
大
き
い
と
周
波
数
の
分
解
能
が
良
く
な
る
→
→
→
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→
連
続
し
た
コ
サ
イ
ン
波
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
東大生研
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東大生研
振
幅
が
断
続
し
た
コ
サ
イ
ン
波
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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周
波
数
が
断
続
し
た
コ
サ
イ
ン
波
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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の周
窓波
フ数
ーが
リ連
エ続
変し
換て
変
わ
る
コ
サ
イ
ン
波
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横
長
の
矩
形
パ
ル
ス
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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縦
長
の
矩
形
パ
ル
ス
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
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東大生研
の矩
窓形
フパ
ール
リス
エの
変組
換合
(
横せ
に
長よ
のり
矩合
形成
波し
)た
孤
立
波
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の矩
窓形
フパ
ール
リス
エの
変組
換合
(
縦せ
に
長よ
のり
矩合
形成
波し
)た
孤
立
波
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東大生研
周
期
1
秒
の
パ
ル
ス
列
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
え( (
る(
中
右
左
ら
れ端 央 細端
)
)
な)
窓 パ か上
い幅 ル いの
ス間
が は 隔2
十 全 でつ
で
分 領 窓は
広 域 を捕
く の シ捉
な 周 フで
く 波 トき
, 数 すな
周をる
波 持 必い
パ
数 つ 要ル
を がス
と あが
ら るあ
→
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周
期
02
.
秒
の
パ
ル
ス
列
の
窓
フ
ー
リ
エ
変
換
(
左(
中 る(
右
端央 端
細
)
)
十 縦 か)
上
分 線 いの
に と 間2
周 横 隔つ
波 線 でで
数 が 窓は
を 混 を捕
分 ざ シ捉
解 っ フで
き
してト
す
てる な
い るい
る 必パ
要ル
がス
あが
るあ
→
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ウェーブレット変換(wavelet transform)
ウェーブレット変換: (W f )(b, a)
1 t b
基底: a ,b (t )
a a
R
t b
f (t )
dt
a
a:スケール
b:シフト
アナライジングウェーブレット/ウェーブレット:
{(W f )(b, a)} (t )db da
a ,b
0
a 2
2
ˆ ( )
ただし: C
d
2
f
(
t
)
逆変換:
C
1
a
なお, は の複素共役
また,ˆ は のフーリエ変換
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東大生研
ガボールウェーブレット変換(Gabor wavelet
transform)
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(t ) g (t ) e
i0t
e
( 0 ) 2
gはガウス関数
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2次元ガボールウェーブレット
x x0 y y0
a r j , j
a
a
j
r ( x, y) ( x, y )
x cos r sin r x
y sin cos y
r
r
( x, y) g ( x, y) e
iu0 x
e
i ( u0 ) 2
gは2次元ガウス関数
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ドベシィ(Daubechies),メイエ(Meyer),メキシカンハッ
ト(Mexican hat),ガボール(Gabor)ウェーブレット
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コサイン波のウェーブレット変換
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矩形パルスのウェーブレット変換
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パルス列のウェーブレット変換
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ハールウェーブレット(Haar wavelet)
ウェーブレットψを2進化(jはレベル):
j
2
j ,k (t ) 2 (2 j t k )
ハールウェーブレット:
信号f(t)は基底(ウェーブレット)の線形和で表せる:
f (t ) wk( j ) j ,k (t )
j
展開係数(信号とウェーブレットの似ている度合い):
( j)
k
w
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k
f (t ) j ,k (t )dt
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スケーリング関数
ハールのスケーリング関数φ:
スケーリング関数を2進化:
j
2
j ,k (t ) 2 (2 j t k )
レベルjの近似関数fj(t)をス
ケーリング関数の線形和で表
す: f j (t ) sk( j ) j ,k (t )
k
スケーリング係数:
s
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( j)
k
f j (t ) j ,k (t )dt
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多重解像度解析
f0=g1+g2+f2
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レベルjの近似関数fjにレベルj
のウェーブレット成分gjから1つ
精度の高いレベルj-1の近似関
数fj-1を合成する
f j 1 (t ) f j (t ) g j (t )
f j (t ) sk( j ) j ,k (t )
k
g j (t ) wk( j ) j ,k (t )
k
すなわち,一番精度の低いレ
ベルJの近似関数にレベル0~
Jのウェーブレット成分を足して
いくと信号f0(t)になる
f 0 (t ) g1 (t ) g 2 (t ) g J (t ) f J (t )
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東大生研
ツースケール関係とドベシィのウェーブレット
(Daubechies’ wavelet)
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ハールのスケーリング関数にお
けるツースケール関係(レベルj
のスケーリング関数はレベルj-1
のスケーリング関数の線形和で
表せる) j ,k (t ) pn2k j 1,n (t )
ドベシィのウェーブレットとスケー
リング関数
これのpkとqkは下表で与えられる
n
ハールウェーブレットにおける
ツースケール関係(レベルjの
ウェーブレットはレベルj-1のス
ケーリング関数の線形和で表せ
る)
j ,k (t ) qn2 k j 1,n (t )
pk
n
qk (1) k pk
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東大生研
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レベルj-1のスケーリング係数から,1レベル精度の低いレベルj
のウェーブレット展開係数およびスケーリング係数の導出
信号fとレベル0のスケーリング係数はほぼ同じ f (n) sn( 0)
レベルj-1のスケーリング係数からレベルjのスケーリング係数が求まる
sk( j ) pn 2 k sn( j 1)
n
レベルj-1のスケーリング係数からレベルjのウェーブレット展開係数が求
まる
wk( j ) qn2 k sn( j 1)
n
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レベルjのウェーブレット展開係数およびスケーリング係数から,
1レベル精度の高いレベルj-1のスケーリング係数の再構成
レベルjのウェーブレット展開係数とスケーリング係
数からレベルj-1のスケーリング係数が求まる
sn( j 1) pn2 k sk( j ) qn2 k wk( j )
k
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2次元離散ウェーブレット変換
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東大生研
池内研究室
終了
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次回
11月を予定
発表者2名+宮崎
宮崎はウェーブレットの後半をやる
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9月
ウェーブレット前半
11月
ウェーブレット後半
1月~ 以下のどれか
変分法と有限要素法
外積展開
テンソル積展開
レベルセット
リーマン幾何
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© Daisuke Miyazaki 2004
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