Transcript C02: 連続と離散の融合によるロバストアルゴリズム構築

C02: 連続と離散の融合による
ロバストアルゴリズム構築
杉原
室田
今井
松井
岩田
大石
寒野
西田
今堀
厚吉
一雄
浩
知己
覚
泰章
善博
徹志
慎治
(東京大学): 班代表
(東京大学)
(東京大学) 今回発表
(中央大学)
(京都大学)
(南山大学)
(東京大学)
(東京大学)
(東京大学)
担当分野：
量子情報科学での連続と離散による
ロバストアルゴリズム構築
• 研究遂行者
– 今井浩
(東大情報理工/ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構;
JST ERATO-SORST量子情報システムアーキテクチャ)
• 研究協力者
–
–
–
–
–
森山園子(東大コンピュータ科学助教)
尾張正樹(東大ナノ量子情報エレクトロニクス研究機構特任助教)
David Avis (McGill University)
伊藤剛志(国立情報学研究所特任研究員)
中山裕貴(慶應義塾大学JSPS特別研究員)
2007年3月まで
成果と展望
• 成果
– 量子非局所性に関する一連の研究成果
• カット凸多面体, 半定値計画との邂逅
– 有向マトロイド実現可能性判定
• 多項式計画の変現，半定値計画の適用
• 展望
– 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ
– 量子情報と対話証明・近似可能性
• 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture
– Grassmann-Plücker関係式を通した両テーマの融合
Correlation between 2 Events A,B
(P( A), P(B), P( AB)) - space
2 Events A, B
0 P( A),P(B),P( AB)1
P( AB)
 P( AB)
A, B
(1,1,1)
B
(0,1,0)
∅
P(B)
P( AB) P( A)
P( AB) P(B)
P( A) P(B)P( AB)1
Cut Polytope
Cor (K 2 )  Cut(K 2 )
□
(1,0,0)
P(A)
A
Correlation Polytope
also known as Boolean Quadratic Polytope
Correlation polytope ⇔ Cut polytope
covariance mapping
□
Cor (K 2 )
Cut (K 2 )
□
X
P(A)
A
K3  K 2
P(B)
P(AB)
B
suspension
Correlation of a bipartite system of
{A1, A2} and{B1, B2}
Correlation among ???
P( A1 ), P( A2 ),
P( B1 ), P( B2 )
P( A1B1 ), P( A1B2 ), P( A2 B1 ), P( A2 B2 )
(no P( A1 A2 ), P( B1B2 ))
P( A1B1)
A1
P( A1B2 )
A2
B1
P( A2 B1 )
P( A2 B2 )
B2
Correlation polytope ⇔ Cut polytope
□
Cor (K2,2 )
このFacet:
Bell不等式
(CHSH不等式)
covariance mapping
P(B1 )
P( A1 )
P( A1B1)
P( A1B2 )
A2
K1,2,2  K2,2
X
A1
Cut (K2,2 )
□
suspension
B1
P(B2 )
P( A2 B2 )
B2
EPR paradox and Bell inequalities
• Einstein, Podolsky, Rosen (1935)
– quantum entanglement vs. relativity theory
• Bell inequality (1964)
– Entanglement/Nonlocalit⇒violation
• CHSH inequality
(Clauser, Horne, Shimony, Holt 1969)
– applicable to a bipartite system
• Aspect et al. (1982)
– Experimental verification of violation of
CHSH inequality
• Tsirelson (1980): max. violation value
量子情報処理の力の源(の1つ)!!
entanglement
measure instantly
state
(local)faster than light change
A 2-Prover 1-Round Interactive Proof System
[Feige, Lovasz 1992]
Alice
2 Provers
• 事前戦略：回答を協力して練ってよい
• 質問開始後：通信不可(no-signaling)
事前戦略
古典：shared randomness
量子：entanglement
答a{0,1}
質問s{0,1}
答b{0,1}
質問t{0,1}
2つの質問の内の
1つをランダムに聞く
Victor (Verifier)
Bob
[Tsirelson 1993]
Geometrical of 3 convex sets of behaviors
Set of all (no-signaling) behaviors
4
⊆
Convex polytope by definition
⊆
set Q
Set of quantum behaviors 〈A1B1〉+〈A1B2〉+〈A2B1〉-〈A2B2〉 ≤ 2
Convex set [Tsirelson 1993]
Bell inequalities
Set of classical behaviors
Convex polytope [Froissart 1981]
(correlation polytope)
(Dimension=8 for m=n=2;
Dim=mn+m+n in general)
bridge
Quantum information
Combinatorial optimization
Represented by expectation values
Rooted semimetric polytope
Set of all behaviors
＝
RMet(∇Km,n)
⊇
⊆
⊆
[Padberg 1989] [M.Deza, Laurent 1997]
Set of classical behaviors ＝
Bn
⊆
Am
⊆
・・・
[Avis, Imai, Ito,
Sasaki 2005]
・・・
⊆
Elliptope E(∇Km,n)
Set of quantum behaviors
[Goemans, Williamson 1995]
⊆
Q=QCut(m,n)
[Laurent, Poljak 1995]
Projection π
π
Linear
Set of quantum
＝ Elliptope E(Km,n)
relaxation
X
correlation functions
A1
B1 Semidefinite
[Tsirelson 1980]
B2 relaxation
∇ Km,n m A2
n
Cut polytope Cut(∇Km,n)
[M.Deza 1960] [Barahona 1983]
Our results
Quantum information
Represented by expectation values
＝
Rooted semimetric polytope
RMet(∇Km,n)
⊆
⊆
Set of all behaviors
Combinatorial optimization
⊆
⊆
⊆
Set of quantum behaviors
E (∇Km,n) ∩ RMet(∇Km,n)
QCut(m,n)
π
Projection π
Set of quantum
correlation functions ＝ Elliptope E(Km,n)
[Tsirelson 1980]
Set of classical behaviors
＝
[Avis, Imai, Ito,
Sasaki 2005]
Cut polytope Cut(∇Km,n)
量子非局所性関係発表論文
1. David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito, Yuuya Sasaki: Two-party Bell inequalities
derived from combinatorics via triangular elimination.
Journal of Physics A: Mathematical and General 38(50):10971-10987, Dec.
2005.
2. Tsuyoshi Ito, Hiroshi Imai, David Avis: Bell inequalities stronger than the
Clauser-Horne-Shimony-Holt inequality for three-level isotropic states.
Physical Review A 73, 042109, Apr. 2006.
3. David Avis, Hiroshi Imai and Tsuyoshi Ito: Generating facets for the cut polytope
of a graph by triangular elimination.
Mathematical Programming, published online Aug. 2006.
4. David Avis, Hiroshi Imai, Tsuyoshi Ito: On the relationship between convex
bodies related to correlation experiments with dichotomic observables.
Journal of Physics A: Mathematical and General 39(36):11283-11299, Sept.
2006.
5. David Avis, Tsuyoshi Ito: New Classes of Facets of Cut Polytope and Tightness
of Imm22 Bell Inequalities. arXiv: math.CO/0505143, 2005; Discrete Applied
Mathematics, to appear.
有向マトロイド(chirotope版)の定義
ランクr、要素数nの有向マトロイド χ：
写像
が公理を満たすもの
ex. ベクトル集合から得られる有向マトロイド (r=3, n=6)
z v5 y
v2 v6
v3
v4
v1
x
これが有向マトロイドとなる
一方、有向マトロイドχに対応するベクトル配置は
基底
とおき、制約集合
の実行可能解となる（POPとして解く）
カイロトープが満たすべき性質（公理による定義）
以下を満たす
はすべて、かつそれのみが有向マトロイド
カイロトープの公理：
(B0)
(B1)
は交代性をみたす、つまり
(B2) 3項Grassmann-Plücker多項式の符号への抽象化：
3項Grassmann-Plückerの
恒等式（各vはベクトル）
有向マトロイド実現可能性判定を多項式計画で
Input: oriented matroid
base
(ex. r = 3, n = 9)
set vector configuration
each index
corresponds to constraints:
POP P(χ):
OM χ:
is realizable
is feasible
Universality theorem [Mnëv ’88]
実は逆も多項式時間で可能!
半定値計画による実現不可能性検証
[Miyata, Moriyama, Imai (2007)]
目標：既存手法より強力な実現不可能性判定法を作りたい。
⇒強力なBFP (Biquadratic Final Polynomial)に着目。
BFP :
恒等式を線形計画問題緩和
して、制約を作り、解を持たないことを示す。
条件緩和により、実現不
可能性判定の計算困難さ
を克服する。
恒等式を半正定値計画問題
本研究： 緩和して、制約を作り、解を持たないことを示す。
半正定値計画問題は線形計画問題より、
詳細な条件を記述できる
有向マトロイド関係発表論文
•
Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Yoshio Okamoto: The Holt-Klee
condition for oriented matroids. European Journal of Combinatorics,
almost accepted.
•
Komei Fukuda, Sonoko Moriyama and Hiroki Nakayama: Every nonEuclidean oriented matroid admits a biquadratic final polynomial,
submitted.
•
Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Realizations of
non-uniform oriented matroids using generalized mutation graphs, to be
submitted.
•
Hiroki Nakayama, Sonoko Moriyama, Komei Fukuda: Three
characteristic rank-4 oriented matroids, submitted.
•
Yoshitake Matsumoto, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Enumeration of
Matroids by Reverse Search and Its Applications, KyotoCGGT, 2007..
•
Hiroyuki Miyata, Sonoko Moriyama, Hiroshi Imai: Determining the nonrealizability of oriented matroids by semidefinite programming,
KyotoCGGT, 2007.
成果と展望(再掲)
• 成果
– 量子非局所性に関する一連の研究成果
• カット凸多面体, 半定値計画との邂逅
– 有向マトロイド実現可能性判定
• 多項式計画の変現，半定値計画の適用
• 展望
– 量子非局所性解析から量子情報処理プロトコルへ
– 量子情報と対話証明・近似可能性
• 2-Prover 1-Round Game, Unique Game Conjecture
– Grassmann-Plücker関係式を通した両テーマの融合