Transcript PowerPoint

IT入門B2
ー 連立一次方程式 ー
授 業 内 容
• 行列，ベクトルの表現法と行列の演算
• 連立一次方程式の解法
• ガウスの消去法
– 具体例
– 前進消去
– 後退代入
– ピボット選択
• 演習
行列，ベクトルの表現法
C言語で，行列やベクトルを表現するには？
• ベクトル：配列の利用
double x[N];
⇒ x[0]～x[N-1]のN個の要素を確保
• 行列：2次元配列の利用
double a[N][N];
⇒ a[0][0], a[0][1], … , a[0][N-1],
a[1][0], a[1][1], … , a[1][N-1],
……
a[N-1][0], a[N-1][1], … , a[N-1][N-1]
の(N×N)個の要素を確保
行列，ベクトルの表現
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int i, j;
double x[3] = {-33.0, 9.0, 6.0};
double a[3][3] = {{2.0, 4.0, 6.0},
{3.0, 8.0, 7.0},
{5.0, 7.0, 21.0}};
printf("a = \n");
for (i=0; i<3; i++) {
for (j=0; j<3; j++) {
printf(" %.2f", a[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("x = \n");
for (i=0; i<3; i++) {
printf("%6.2f\n", x[i]);
}
return 0;
}
行列の演算
n×n行列 A と n次元ベクトル x の積を計算するプログラムを
作ってみよう．
計算結果を n次元ベクトル y に代入することにすると，
y  A x
これを具体的に記述すると，
a01
 y0   a00
 y   a
a11
 1    10

    
 y  a
 n1   n1,0 an1,1
 a0n1  x0 
 a1n1  x1 

   
 an1,n1  xn1 
ベクトル y の各成分は
yi  ai0 x0  ai1x1  ai,n1xn1　(i  0, 1, , n 1)
と記述できる．
ベクトル y の計算
for(i = 0; i < n; i++){
yiの計算
}
各成分 yi の計算： yi  ai 0 x0  ai1x1  ai,n1xn1
各項 aij x j( j 0,1,…,n1)の総和を計算する．
成分 yi の計算
y[i] = 0.0;
for(j = 0; j < n; j++){
y[i] += a[i][j]*x[j];
}
y[i] += a[i][j]*x[j];
は
y[i] = y[i] + a[i][j]*x[j];
と同じ意味．
まとめると，行列 A とベクトル x の積 y を計算するプログラ
ムは以下のようにして実現できる：
ベクトル y の計算
for(i = 0; i < n; i++){
y[i] = 0.0;
for(j = 0; j < n; j++){
y[i] += a[i][j]*x[j];
}
}
演 習
以下の行列 A とベクトル x の積（ A x ）を計算するプログラ
ムを作ってみよう：
2 4 6 
  33
A   3 8 7 , x   9 
 5 7 21
 6 




連立一次方程式の解法
• 直接解法
– ガウスの消去法
– LU分解法
…
• 反復解法
– ヤコビ法
– ガウス・ザイデル法
…
ガウスの消去法を用いて連立一次方程式の解を計算する
プログラムを作成しよう
ガウスの消去法
まず，具体例として3元連立方程式
2x  4 y  6z  6

3x  8 y  7 z  15
5x  7 y  21z  24

を解くことを考えよう．
[第1列消去]
2 x  4 y  6 z  6

3x  8 y  7 z  15
5x  7 y  21z  24

①
②
③
②，③からxを消去：
②①×3/2
2 x  4 y  6 z  6

0 x  2 y  2 z  6
5x  7 y  21z  24

③①×5/2
2x  4 y  6z  6

0x  2 y  2z  6
0x  3 y  6z  9

①
②’
③
①
②’
③’
[第2列消去]
2x  4 y  6z  6

0x  2 y  2z  6
0x  3 y  6z  9

①
②’
③’
③’からyを消去：
③’②’×(-3/2)
2 x  4 y  6z  6

0 x  2 y  2z  6
0 x  0 y  3z  18

①
②’
③”
各列の係数を順次消去していく：前進消去
2 x  4 y  6z  6

0 x  2 y  2z  6
0 x  0 y  3z  18

①
②’
③”
③”から
z6
zの値を②’に代入し
y 9
y, zの値を①に代入し
x  33
求まった変数の値を順次代入しながら
解を計算する：後退代入
ガウスの消去法
前進消去と後退代入の組み合わせにより連立一次方程式の
解を求める手法
以下，連立一次方程式
 a00

 a10
 

a
 n1,0
a01
a11

an1,1
 a0,n1  x0   b0 

 

 a1,n1  x1   b1 







 

 

 an1,n1  xn1   bn1 
の解を計算するプログラムを作成することを目標とする．
前進消去のプログラムでの実現
 a00x0  a01x1   a0,n1xn1  b0
 a10x0  a11x1   a1,n1xn1  b1



an1,0 x0  an1,1x1   an1,n1xn1  bk
に対し，第0列消去，第1列消去，… と繰り返し，
同じ解を持つ以下の方程式へと変形する：
a00x0  a01x1   a0,n1 xn1  b0

a11x1   a1,n1 xn1  b1





an2,n2 xn2  an2,n1 xn1  bn2


an1,n1 xn1  bn1
前進消去のプログラムでの実現
 a00x0  a01x1   a0,n1xn1  b0
 a10x0  a11x1   a1,n1xn1  b1



an1,0 x0  an1,1x1   an1,n1xn1  bk
に対し，第k列消去を，k  0, 1, 2, … , (n2) について
繰り返し行えばよい．
前進消去
for(k=0; k<=n-2; k++){
第k列消去
}
前進消去のプログラムでの実現
[第k列消去]
a00x0  a01x1  a02x2   a0,n1xn1  b0
a11x1  a12x2   a1,n1xn1  b1

akk xk  ak ,k 1xk 1   ak ,n1xn1  bk
ak 1,k xk  ak 1,k 1xk 1   ak 1,n1xn1  bk 1

an1,k xk  an1,k 1xk 1   an1,n1xn1  bn1
akk xk  ak ,k 1 xk 1   ak ,n1 xn1  bk
ak 1,k 1 xk 1   ak 1,n1 xn1  bk 1

an1,k 1 xk 1   an1,n1 xn1  bn1
[第k列消去]
akk xk  ak ,k 1xk 1   ak ,n1xn1  bk
ak 1,k xk  ak 1,k 1xk 1   ak 1,n1xn1  bk 1

an1,k xk  an1,k 1xk 1   an1,n1xn1  bn1
ak 1,k
(k  1)式 
 (k )式
akk

an1,k
(n 1)式 
 (k )式
akk







(k )
(k  1)

(n  1)
aik
(i)式   (k )式
akk
(k 1  i  n 1)


a 
a 
a
 ai,k 1  ak ,k 1  ik  xk 1    ai,n1  ak ,n1  ik  xn1  bi  bk  ik
akk 
akk 
akk


[第k列消去]
(k 1  i  n 1)


aik 
aik 
aik
 ai,k 1  ak ,k 1   xk 1    ai ,n1  ak ,n1   xn1  bi  bk 
akk 
akk 
akk















ai,k 1
ai ,n1
bi
第k列消去
for (i=k+1; i<=n-1; i++) {
r = a[i][k]/a[k][k];
for (j=k+1; j<=n-1; j++) {
a[i][j] = a[i][j] – a[k][j]*r;
}
b[i] = b[i] – b[k]*r;
}
後退代入のプログラムでの実現
a0,n1  x0   b0 
 a00 a01  a0,n2


  b 
a

a
a
x
11
1
,
n

2
1
,
n

1

 1   1 


       


an2,n2 an2,n1  xn2   bn2 

 x   b 
a
 n1 
n1,n1  n1 

an1,n1 xn1  bn1  xn1 
第(n1)行:
bn1
an1,n1
bn2  an2,n1 xn1
第(n2)行: an2,n2 xn2  an2,n1 xn1  bn2  xn2 
an2,n2
n1
第 i 行: aii xi 
n1
bi   aij x j
j i 1
aii
aij x j  bi  xi 
j i 1
(i  n 1, n  2,,1,0)
後退代入のプログラムでの実現
n1
xi 
bi   aij x j
j i 1
aii
(i  n 1, n  2,,1,0)
for (i=n-1; i>=0; i--) {
考えてみよう
}
演 習
ガウスの消去法を実現するプログラムを完成させて，下記の
連立一次方程式の解を計算してみよう：
Ax  b,
ただし
 4 12 8 4 
 4 
 1 7 18 9 
 5 
, b  
.
A
 2 9 20 20
  25
 3 11 15 14 
 18 



