Transcript 教材ファイル(Teaching material ppt)

”Economics Mathematics by Graphics”
Graphics10 PART2
2011年10月21日
学習院大学経済学部教授 白田由香利
千葉商科大学商経学部准教授 橋本隆子
学習院大学計算機センター准教授 久保山哲二
2011年度科研費 基盤研究（Ｃ） 22500231推論エンジン法による知識ベースの構築
(代表 白田由香利)および，学習院経済経営研究所GEMの補助金の一部をこの
サイトの開発に利用しています．
経済数学グラフィクス10個 PART2
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国民所得決定問題
(政府支出を増やすと，国民所得が増える）
• [問題1]
• 総需要モデルを， Yd＝C+I+Gとする．消費C=100+0.6Y
，投資I=40，とする．政府支出G が，40から60に増加し
た場合，均衡国民所得Yはどのように変化しますか？
• ヒント：
総需要Ydの平面の式は， Yd=140+0.6Y+G です．式を
変形してGについて解き，G＝G(Yd, Y)の3Dグラフィクス
を描いてみましょう．
G= Yd – 0.6Y - 140
G= Yd – 0.6Y – 140
G
Yd
Y
政府支出 40→60で，
均衡国民所得 450→500に増加
G=500のYd
G=450のYd
Yd
Ys
Ys=Y
IS-LM分析
(中央銀行がマネーサプライを増やすと，国民所得が増える）
• [問題2]
経済モデルが以下のように与えられた場合，マネーサ
プライが 580から 590 に増加されると，均衡高民所
得は増加するか減少するか？
• 財市場 Yd=C+I, C=0.7Y+200， I＝－100r + 100
• 貨幣市場 マネーサプライMs，貨幣需要Md
Md=0.2Y＋400－200r
• ヒント：連立方程式をMsについて解いて， Ms ＝ Ms(Y,
r)の3Dグラフィクスを描いてみましょう．財市場の金利
r=r(Y) との交点が均衡点となります．
IS-LM分析
(中央銀行がマネーサプライを増やすと，国民所得が増える）
Ms=(Y-1000*r+2000)/5
Ms
r
Y
マネーサプライ 580→590で，
均衡国民所得 975→987.5に増加
財市場からえられた
IS曲線 r=r(Y)
r
Ms=580
Ms=590
Y
需要と供給の分析
• [問題3a]
「あんこクロワッサン」の需要量Qdと，供給量Qs
は価格Pの関数として以下で与えられたとします．
• Qd＝ －0.5P＋40
• Qs＝ 1*P－20
均衡価格と，均衡取引量を求めなさい．
需要曲線と供給曲線の交点
P
Qs, Qd
需要と供給の分析
• [問題3b]
あんこクロワッサンの需要量Qdと，供給量Qsは
価格Pの関数として以下で与えられたとします．
• Qd＝ －0.5P＋40
• Qs＝ P－20
あんこクロワッサン1個に8円の税金がかけられ
ると，均衡価格と，均衡取引量はどのように変
化しますか？
Qs ＝（供給側が手にする金額）－20
(供給側が手にする金額): Pー（税金）
税金あり
P
Qd, Qs
[問題4] ネピアのeの意味
•
ya
x
この式で，aを２から３まで動かしながら，式とそ
の導関数を描いてみましょう．
• 式とその導関数が一致するところのaの値はい
くつでしょう？
• 2.71828…で一致しました．
• この値をｅと呼ぶことに，昔，決めたのです．
a=2.0の場合
導関数のほうが小さい
a=2.4の場合
導関数のほうが小さい
a=2.718の場合
ぴったり一致
a=2.8の場合
導関数のほうが大きい
a=3.2 の場合
導関数のほうが大きい
[問題5]ネピアのeを使ったモデル化
• ある国でのスマートフォン「ミネルバ」(実際に
はありません）の普及台数をモデル化しまし
た．どんなカーブになるでしょう．
• 変数ｘは，2010からの経過年数とします．
200000
M ( x) 
2 x 3
1 e
200000
M ( x) 
1  e3x3
Exp(-ax+b) の a を変化させて，
違いを比較する．
200000
M ( x) 
1  e2 x3
200000
M ( x) 
1  e2 x3
Exp(-ax+b) のb を変化させて，
違いを比較する．
200000
M ( x) 
1  e2 x4
問題６ 一次変換と平行移動
• これについての説明は，ビデオ教材を見てく
ださい．
1変数関数の最大化問題
（マージナルに関する公式）
• [問題7]： 利潤π＝π(Q) が最大値をもつならば，その点に
おいて，以下が成り立つ．これは公式です．(証明は，｢悩め
る学生のための経済・経営数学入門の121ページ参照）
dR dC

dQ dQ
これを　MR  MC　と書きます．
本当に，上記が成立するのか，以下の例で確かめてください．
• ある企業が独占ブランド品を生産販売しており，総費用関数
Cと，需要関数Qdは，以下で与えられる．
C  100  Q  300
Q  2P  400
Q の係数 100 の値を変えても
最大点では，いつも
MRとMCが交わる
ことを確認しましょう．
使う経済セオリー
• 利潤   R  C
• 収入 R  PQ
利潤最大点で常に，MR=MC
Q 係数 100 の値を変えても
最大点では，いつも
MR(赤）とMC(黄緑）が
交わることを確認しましょう．
1変数関数の最大化問題
（マージナルに関する公式）
• [問題8]： 利潤π＝π(Q) が最大値をもつならば，その点に
おいて，以下が成り立つ．これは公式です．(証明は，｢悩め
る学生のための経済・経営数学入門の121ページ参照）
dR dC

dQ dQ
本当に，上記が成立するのか，以下の例で確かめてください．
• ある企業が独占ブランド品を生産販売しており，総費用関数
Cと，需要関数Qは，以下で与えられる．
C  10Q  30
Q  400e
0.2 P
Q の係数 10 の値を変えても
最大点では，いつも
MRとMCが交わる
ことを確認しましょう．
Q=19.91で利潤最大
そこで，MR=MC
2変数関数の制約付き最大化問題
• [問題9]
コブ・ダグラス型生産関数
スーパーお掃除ロボットHyper Constellation ZEN (実在しま
せん）の生産量は以下の式の通りです．
Q  10K L
0.6 0.4
資本Kと，労働Lに関して，K+3L＝100 という制約があるとき，
生産量が最大となるKとLの値を求めなさい．
K+3L=100 → L= - K/3 + 100/3
2次元平面に投影することで，
最大点の(K,L)が読み取れる
K=60, L=13.33
2変数関数の制約付き最大化問題
• [問題10]
ジュースは100円，ハンバーガーは200円とします．所持金
がM円しかありません．ジュースをｘ個，ハンバーガーをｙ
個，購入したときの効用関数 u は以下で与えられるとし
ます．
u x y
この問題をラグランジェの未定乗数法で解くとします．効
用が最大となる点で，ラグランジェ乗数 λ とMの間の関
係が以下のようになります．この式の意味をグラフィクスで
見てみましょう．
u

M
M={1000, 1100, 1200}の平面で切断
Mが増加するにつれて，uも増加する．
その増加率がλ．
M=1000, 1100, 1200
終わり