Transcript 3次・4次関数の極値に関する高専1年生の発見

３次関数・４次関数の極値に
関する高専１年生の発見
一関工業高等専門学校
梅野 善雄
２００４年数学教育の会、夏の集会 Ｈ１６．９．５
関数の授業と数式処理電卓
平成１５年度の1年関数の授業で使用
 夏季休業前に貸与
 グラフ機能の利用法を説明
 学生は、主に、グラフの確認に使用
 試験時の使用は認めない

自由研究
幾つかの課題の中から一つを選択させ
 数式処理電卓を利用して、
各自の考察結果をまとめさせた
 定型的な問題解法とは異なり、
どのような問題意識のもとに、
何を、どのように考えるかが重要となる

学生に課した自由研究の一例
次の関数のグラフは、
がどのような
ときに、どのようなグラフになるかを調べよ。
 考察期間は、１ヶ月を与えた。

まとめ方に関する注意
まとめ方は各自の自由でよい。
 どのような操作をしたら、
 どのような結果が表示されて、
 そのことからどのようなことを思い、
 どのようなことを予想し、
 その予想をどのようにして確かめたか、
 あるいは確かめようとしたが、
 何が障害になって確かめられなかったか、
という各自の思考の経過をまとめればよい。
こちらの意図したこと
こちらの意図は、以下のことにあった

のとき等による、
グラフの基本パターンの場合分け
 （１）（３）は、
軸との共有点が
であることへの気づき
 （２）（４）は、グラフの形状変化と判別式
の符号との関係への気づき
を得させよう、ということ。
指摘されてきた事項（１）
は、 軸との共有点である。
 グラフの基本パターンの場合分け。

を同じ数だけ変えると、
グラフは横にずれる
山や谷の 座標は変わらない

のどれか1つが0だと、原点を通る

指摘されてきた事項（２）
の符号が逆だと原点に関して対称

で
のとき、
山や谷の 座標の絶対値は等しい

で
が複素数のとき、
が
以外のときグラフは表示されない

のどれか2つが等しいと、そこで
軸と接する

熊谷一生君のレポート
軸との交点が
なので、交点が２重、３重になって
いるため 軸と交わる点が減っているのではないかと思った
３次関数の平行移動
3次関数でも
の平行移動で、グラフ
の求め方が簡単になるのではないか？
 2次関数の標準形を求めるようにすれば
求まるのではないか。
 そこで、
から始めて同様の変形をしてみた。

変形結果（１）
変形結果（２）
個々のグラフを描いてみる
グラフから分かること





の の部分に の1次式が
含まれているのでグラフが違う
③の波の打ち方には、1次式②が関係している
1次式②の傾きが0のときは、③グラフは
のグラフと同じ形になる
③のグラフの形は、1次式②の傾きが関係する
の の部分に が含まれて
はいけないので、 を含む項を
に含めて
考えることにした
平行移動に関する結論
のグラフは
を、 軸方向に
だけ平行移動したものである。
軸方向には
のグラフ
波の打ち方は
の が関係
する

の場合は、波は打たなかった

も
も増加関数だからと考えられる

の場合は、波を打ち始めた

は増加、
は減少だからと考えられる

ある不等式の発見

のグラフで波を
打たないものはなかったので、
と予想したが、証明できなかった
極大値と極小値
自由研究は、やっているうちにどんどんおもしろくなり、
めちゃくちゃ頑張りました。
自由研究の感想（１）





数学は奥が深いなあと思いました。
問題を解くのではなく、自分で発見するところが
苦労でもあり楽しかった。
通常の課題の倍以上の時間がかかった。その分、
自分で何かを発見できたりするとうれしかった
考えても疑問がまた出てきて、またそれについて
考えるのが楽しかった。
数学とは、調べてみると沢山のことが発見できる
んだと思いました。
自由研究の感想（２）




普段あまりしない「良く見て考える」といったことを
する機会になったと思う。
ただの式だけだとやる気がしない課題でも、
数ナビのグラフ機能を使うと分かりやすいし、
楽しいのでやりがいがあった。
解説プリントでは、すごい発見をしている人が
いることが分かって、自分ももう少し頑張れば
良かったと思った。
まったくできなかったので、とてもつらかった。
今後、検討されるべきこと
自由な発想を引き出す研究テーマの設定
 提出されたレポートの評価方法
 提出後の学生へのレスポンスの仕方
 テクノロジー利用で、誤った理解を得る
場合がある
 課題をこなしきれない学生への配慮
 いずれも、今後の課題としたい

テクノロジー利用による誤理解