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計測工学10
データの補間
スプライン補間
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.復習 階差 近似多項式の次数の
決定法
• 等間隔階差
– 関数y=f(x)で、xの値
が等間隔の場合
等間隔：x0, x0+h, x0+2h・・・
yの値： y0 , y1 , y2 ・・・
• これらの階差は
– 第１階差：y1-y0=⊿01, y2-y1=⊿11, ・・・, ⊿i1, ・・・
– 第２階差：⊿11-⊿01=⊿02, ⊿21-⊿11=⊿12, ・・・
– 第３階差： ⊿12-⊿02=⊿03, ・・・
• 第N階差が同じくらいの値（第（N+1）階差が０くら
い）になれば、N次式で近似する
2
.復習 ラグランジュの補間公式
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
3
.復習 ラグランジュの補間公式
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式.
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式.
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式.
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式.
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式.
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式.
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式
• N+1点のデータを通るN次式を求め、この式で補
間する
• 例）N=3の場合
y
– 4点のデータを通る3次式を求めて補間する
x
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.復習 ラグランジュの補間公式
i ( x)
pN ( x)  
yi
i 0 i ( xi )
N
ただし、
( x)  ( x  x0 )(x  x1 )    ( x  xN )
( xi )  (xi  x0 )(xi  x1 )    (xi  xN )
( x)
i ( x) 
；　( x)から ( x  xi )を除いたもの
x  xi
( xi )
i ( xi ) 
；　( xi )から ( xi  xi )を除いたもの
xi  xi
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スプライン補間法
• 混合スプライン
– 連続した４点を１組にした補間公式を作成し、中央２点間のみを
用いる。
– デ－タ点を必ず通る。
– デ－タ点にて、両側の区間の２階微分係数が一致する。
– デ－タは等間隔でなくてはならない。
• ベーススプライン
–
–
–
–
デ－タ点は等間隔。
デ－タ点で、１階および２階微分が一致する。
補間が連続的になるが、デ－タ点を必ずしも通らない。
連続した４点から３次式を求め、中央２点間を補間。
• 雲形定規スプライン
– デ－タ点を必ず通る。
– デ－タ点にて、両側の区間の１階微分係数が一致する。
• ３次スプライン
– データ点を必ず通る。
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– データ点にて、両側区間の１階微分係数および２階微分係数が
一致する。
予備知識 Excelで行列の計算をする
• 配列数式を使う
– 配列数式とは複数の行と列（行列）に対する演算を行
うもの
• 行列積、逆行列のための関数の利用
– MMULT関数 行列の積
– MINVERSE関数 逆行列を求める
• 演習用Excelシートで行列の計算をやってみる
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.３次スプライン補間
• N+1個のデータのために
N個の区間のためのN個
の３次式を求める
y
５個のデータには４個の３次式
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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.３次スプライン補間
• N+1個のデータのために
N個の区間のためのN個
の３次式を求める
• 式には以下の条件をつけ
る
y
– 全てのデータ点を通る
それぞれの３次式は区間両側
の２点を通る
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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.３次スプライン補間
• N+1個のデータのために
N個の区間のためのN個
の３次式を求める
• 式には以下の条件をつけ
る
y
– 全てのデータ点を通る
– 各々の区分補間式は、境
界点の１次導関数は連続
データ点上で傾きが連続
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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.３次スプライン補間
• N+1個のデータのために
N個の区間のためのN個
の３次式を求める
• 式には以下の条件をつけ
る
y
– 全てのデータ点を通る
– 各々の区分補間式は、境
界点の１次導関数は連続
– 各々の区分補間式は、境
界点の２次導関数は連続
データ点上で傾きの変化が
連続
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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３次スプライン補間
• N+1個のデータのために
N個の区間のためのN個
の３次式を求める
• 式には以下の条件をつけ
る
y
– 全てのデータ点を通る
– 各々の区分補間式は、境
界点の１次導関数は連続
– 各々の区分補間式は、境
界点の２次導関数は連続
– 両端の２次導関数の値を０
（自然スプライン）
両端では直線
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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３次スプライン補間とラグラン
ジュの補間の比較
• ２点のデータ点間の補完のために
– ３次スプライン
• ２点を通る３次式
• 隣り合う区間で傾きと傾きの変化が連続
– ラグランジュ補間
• ４点を通る３次式
• 隣り合う区間で特に条件はない
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３次スプライン補間とラグラン
ジュの補間の比較
３次スプライン
y
y
ラグランジュの補間
ここで、傾きと傾
きの変化が連続
区間0
区間1
区間2
x
区間3
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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３次スプライン補間の計算法（計算
式の導出は省略）
• N+1個のデータに対しN個の区間でのN個
の３次式（jは区間の番号）
y  aj(x  xj )3  bj(x  xj )2  cj(x  xj )  dj
y
x
x0
x-x0
区間0
区間1
区間2
区間3
x
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３次スプライン補間の計算法（計算
式の導出は省略）
• x=xjにおける２次導関数の値をujとすると
h1
0
2(h0  h1 )

h1
2(h1  h2 )
h2


0
h2
2(h2  h3 )




hN  2

ただし
h j  x j1  x j (j  0,1,2,3)

  u1   v1 
 u   v 
 2   2 
  u3    v 3 

 

       
2(hN2  hN1 ) uN1  vN1 

v j  6 ((yj1  y j )/hj )  ((yj  y j1 )/hj1 )
• この連立方程式を解くことでujを求める。また条
件より、u0=uN=0とする。
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３次スプライン補間の計算法（計算
式の導出は省略）
• 求めたujより各区間の係数a,b,c,dを以下の
式で決定する
aj 
(uj1  u j )
6hj
uj
2
h
1
c j  (yj1  y j )  j (2uj  u j1 )
hj
6
bj 
dj  y j
• この係数を使い、各区間の補間を以下の
式で行う
y  aj(x  xj )3  bj(x  xj )2  cj(x  xj )  dj
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