卒業研究発表会パワーポイント sotsuron1
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Transcript 卒業研究発表会パワーポイント sotsuron1
カオス水車のシミュレーションと
その現象解析
数理情報科学コース
中山研究室
北 いづみ
はじめに
カオスとは、簡単な規則にしたがって起こるのに、不規
則に揺れ動いて先の予測ができない動きのことである。
複雑な動きをするもの
水車モデル
水車モデ
ル
参考文献 科学シミュレーション研究会:「パソコンで見る
複雑系・カオス・量子」 より導出
問題点
導出されている式に疑問がある
カオス性の証明がない
研究目的
水車モデルの解析を詳しく行い、カオス性を検証する。
Java による現実水車のシミュレーション
回転速度、回転の減衰率、かごの穴の直径、注水量を初期値
として与える。
回転速度のグラフを表示
左回りを正、右回りを負の回転とし、時間推移による
速度の動きを表す。
回転の減衰率・・・水車の回転が遅くなる割合。
かごの穴の直径・・・かごの底には穴が開いていて
水はそこから抜け落ちている。
現実水車数学モデル
d
dt
d N
dt
I
i (t ) (t )
7
7
i 0
i 0
4
i (i 0 ~ 7)
gl mi (t ) cosi (t ) k(I f l 2 mi (t ))
I f l
7
2
m (t)
i
i 0
dmi (t )
p mi (t ) (i番目のかごに注水中)
dt
各かごの慣性モーメント
2
dm
(
t
)
l cosi (t)
I
(
t
)
l
mim(t()t ) (注水していないと
i
i
mi (t)gl cos
i (t)
き) i
dt
力のモーメント
l : 水車の回転角 : 回転速度
Nip(t:)注水量 mi (t)gd: 穴の直径 l cosi (t)
mi (t)g
(t)
S : かごの底面積
mi (t ) : 各かごの水量 k : 回転の減衰率
2 g i
2
d
I f : 空の水車の慣性モーメント
S
4
現実水車モデルの問題点
かごに注水が行われるかどうかによって
水の変化量の微分方程式が切り替わって
しまい、解析が難しい。
かごの中の水の総和を一定にできない。
理想的現実水車モデルを立てる
理想的現実水車モデルのしくみ
かごの数はn個
注水は高さに比例してすべてのかご
に行われる。
Java による理想的現実水車のシミュレーション
回転速度、回転の減衰率、かごの穴の直径、注水量を初期値として与
える。
回転速度のグラフを表示
左回りを正、右回りを負の回転とし、時間推移による
速度の動きを表す。
シミュレーションにおいてはかごの数は8個とする。
回転の減衰率・・・水車の回転が遅くなる割合。
かごの穴の直径・・・かごの底には穴が開いていて
水はそこから抜け落ちている。
理想的現実水車数学モデル
n1
n1
d
gl mi (t ) cos i (t ) k( I f l 2 mi (t ))
d d
n1
i 0
n1 i 0
dt
dt
dt
gl mi (t ) cos i (t ) k2( Inf 1 l 2 mi (t ))
I f l
mi (ti)0
d
i 0
i 0
n1
dt
dmi (t )
2
I
l
mi (t )
p
m
(
t
)
f
i
dmi i 0(t )
dt
A 2B sin i (t ) hmi (t )
dmi (t )
dthmi (t )
dm
(
t
)
A
2
B
sin
(
t
)
i
i
m
(
t
)
dt
i
dt
n1
水量の総和
An
n1
n1
n1
d n1 mi (t )
An
h
m
(
t
)
A
2
B
sin
(
t
)
hmi (t ) An hmi (t )
i
i
m
(
t
)
i
0
i
dt i 0
h
i 0
i 0
i 0
0
理想的現実水車の問題点
変数の数が多くなってしまうことから
解析が難しい。
かごが無限個あるとする理想水車を考える
理想水車数学モデル(W.Malkusモデル)
新しい関数を定義する
d
mi (t ) if ( y, t ) i (t ), t
m( y,dtt )
22A
2
2 2A
gl m( (t ) x, t ) cos( (t ) x)dx kl
( y, t )dy
0 md
0 h
h
dt
2 2nA1
2
l
m (t ) x, t cos (t ) xdx h mi (t ) cosi (t )
0
n
i 0
2
n1
dm( (t )n21x, t )
) cos
A 2B(tsin(
(t()I x)l2 hm(m
(2(tt)A
x, t )
2
gl
m
(
t
)
k
))
gldt m(i (t ) x, t )i cos( (t ) xf )dx kl i
d
0i 0
h
i 0
n1
dt
222A
I f ll h mi (t )
i 0
Java による理想水車のシミュレーション
初期値として、回転速度、注水量の高さに関する
定数を入力する。
回転速度のグラフを表示
左回りを正、右回りを負とし、時間推移による速さの動きを
表す。
ローレンツ方程式の導出
dm( (t ) x, t )
A 2B sin( (t ) x) hm( (t ) x, t ) より導出
dt
d 2
m (t ) x, t sin (t ) xdx
dt 0
m (t ) x, t cos (t ) xdx h m (t ) x, t sin (t ) xdx 2B
2
2
0
0
2
m (t) x, t cos (t) xdx
m (t ) x, t sin (t ) xdx h m (t ) x, t cos (t ) xdx
d
dt
0
2
2
0
0
d
dt
gl
2
0
m( (t ) x, t ) cos( (t ) x)dx kl 2
l2
2A
h
2A
h
ローレンツ方程式の導出
2
x, m (t ) x, t cos (t ) xdx y,
0
2
0
m (t ) x, t sin (t ) xdx z
2B
h
線形変換
ローレンツ方程式
dx
dt ( y x)
dy
xz rx y
dt
dz
dt xy bz
h 1
k
2B
h
b 1
r
gh
2lA
ローレンツアトラクタ
dx
dt ( y x)
dy
xz rx y
dt
dz
dt xy bz
10.398, r 28.274, b 1
まとめ
現実水車モデルから導出した微分方程式系
よりローレンツ方程式が導かれ、そのローレンツ
アトラクタがバタフライのように描かれた。
水車はカオス的な振る舞いをすると考えられる。
終わり
角速度の変化量(角加速度)
質点の運動
回転運動
F(力の大きさ)
N(力のモーメント)
m(質量)
d
N I
dt
I(慣性モーメント)
d
角加速度
dt
加速度
I I f l2
l cosi (t)
i (t)
l
7
mi (t)gl cosNi(t)gl
mi (t)g
各かごの慣性モーメント
I (i) l mi (t )
2
力のモーメント
Ni (t) mi (t)g l cosi (t)
i 0
d N
dt I
8
m (t)
i
i 1
mi (t ) cosi (t ) kw(I f l 2
7
gl
7
m (t))
i
i 0
mi (t ) cos i (t ) kw(I f l 2
i 0
7
m (t))
i
i 0
I f l2
8
m(i)
i 1
m(i) : 各かごの水量 I f : 空の水車の慣性モーメント
l : 水車の半径 g : 重力加速度 k : 回転の減衰率
理想水車数学モデル
水の変化量
注水量
注水量
水量
A 2Bsin
m( , t )
a
点θでの水の変化量
dm( , t )
( A 2B sin ) hm
dt
水車全体の水の変化量
d m d 2
md 2A hm
dt dt 0
θθ
基準の高さ
水車全体の水量
2
m m( , t )d
0
: 左回りにはかった回転 角
A, B : 注水量に対する比例定数
h : 抜け落ちる水に対する比例定数
2A e htC
(2A hm 0)
h
2A e htC
m
(2A hm 0)
h
2A
h (特異解) (C : 積分定数)
特異解より、水車全体の質量は一定とする。
角速度の変化量
水車全体の角運動量
θにおける力のモーメント
N( ) (mg a cos )
a m
2
a cos
角運動量を時間tで微分したものは
力のモーメントに等しい
a
d (a2 m)
gam cos ka2 m
dt
θθ
m( , t)g
水車全体の水量は一定のため、
d
gh
k
m cos dt
2Aa
2A
m
h
水車全体の力のモーメント
2
mg a cos d gamcos
0
d
: 角速度
dt
a : 水車の半径
k : 回転の減衰率