近似アルゴリズム 第10章 終了時刻最小化スケジューリング
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Transcript 近似アルゴリズム 第10章 終了時刻最小化スケジューリング
近似アルゴリズム
第１０章
終了時刻最小化スケジューリング
徳山研究室
Ｂ４ 鈴木晶子
終了時刻最小化スケジューリング
• 入力
– 処理時間 p1 , p2 ,, pn の n 個のジョブ
p1
p3
p2
p7
p8
p6
p5
p4
p9
p10
– 整数 m
• ジョブを m 個の同一なマシーンに割り当てる
M1
M2
M3
M4
p10
p9
p8
p6
p5
p7
p3
p1
p2
p4
終了時刻
最小の終了時刻を実現するスケジュールを求める
発表の流れ
• ２近似アルゴリズム
• 終了時刻最小化スケジューリング問題に対する
PTAS
– ビンパッキング問題へのリダクション
– 制限されたビンパッキング問題
– コアアルゴリズム
• 定理10.8
終了時刻最小化スケジューリング問題に対するアルゴ
リズムは、終了時刻が高々 (1 ) 2 OPT (1 3 ) OPT
の正しいスケジュールを求める。
２近似アルゴリズム
（アルゴリズム10.2）
1. ジョブを勝手に順番付ける。
1
2
3
8
7
5
4
9
6
10
2. この順番でジョブをマシンにスケジュールする。
このとき、それまでに割り当てたジョブの負荷が
最も少ないマシンに次のジョブを割り当てる。
M1
M2
M3
M4
1
8
6
2
9
3
4
7
5
10
定理10.3
アルゴリズム10.2は、終了時刻最小化スケ
ジューリング問題に対して、近似保証２を達成す
る。
[証明]
最適終了時刻OPTに対する２つの下界
1
1. 平均終了時刻
pi
m
2. 最大処理時間
i
max { pi }
i
を用いる。
定理10.3の証明
start j
M1
Mi
1
pi
m i
pj
Mm
アルゴリズムで作られたスケジュールで、
• M i ：最後にジョブが終了するマシーン
• j ： M i の最後のジョブのインデックス
• start j ：ジョブ j の処理が開始された時間
とする。
定理10.3の証明
start j
M1
Mi
1
pi
m i
pj
Mm
•
start j の時刻まではどのマシーンも稼動中なので、
1
start j pi OPT
m i
• また、 p j OPT
したがって、このスケジュールの終了時刻は
start j p j 2 OPT
例題10.4
• アルゴリズム10.2のタイトな例
2
m
– 処理時間1の 個のジョブと、
処理時間 m の1個のジョブ
m
M1 1
M1
M2
M2 1
M3
M3
Mm
Mm
m個
終了時刻は 2m
m
m個
最適解 m 1
最小終了時刻の上界と下界
• 最小終了時刻の下界
1
LB max i pi , max { pi }
i
m
• 最小終了時刻の上界
定理10.3より、 start j p j 2 LB
最小終了時刻
最小終了時刻は、区間[LB, 2・LB]内に存在する
ビンパッキング問題へのリダクション
• 終了時刻 t のスケジューリングが存在するため
の必要十分条件
– n 個のサイズ p1 , p2 ,, pn の品物を
容量 t の m 個のビンにパッキングできること
• ビンパッキング問題へのリダクション
– n 個の品物のサイズ p1 , p2 ,, pn を I と表す
– サイズ t のビンに、 n 個の品物をパッキングする
– このとき、使用するビンの最小個数を bins( I, t ) とする
最小終了時刻は
min{ t | bins ( I , t ) m}
ビンパッキング問題へのリダクション
最小終了時刻 min{ t | bins ( I , t ) m} を
どのようにして求めるか
最小終了時刻の下界と上界はLBと2・LB
区間[LB, 2・LB]を２分探索することにより、
bins ( I , t ) m を満たす最小の t を求める
bins( I, t ) を求める必要があるが、
ビンパッキング問題はNP-困難
異なる品物のサイズが定数個のとき、
ビンパッキング問題は多項式時間で解ける
制限されたビンパッキング問題
• 異なる品物のサイズが定数個のときのパッキン
グを求める
– k ：異なる品物のサイズ（定数）
– ビンの容量は１とする
• 例：
k 4
ビン
容量１
0.8
0.4
0.5
0.2
0.4
動的計画法に基づくアルゴリズム
準備
• 品物のサイズを順番に並べる。
• 各サイズの品物の個数をならべた k 組の数
(i1 , i2 ,, ik ) をビンパッキング問題のインスタンス
とする。
0.2
0.4 0.4
0.5
0.8
インスタンス(1, 2, 1, 1)
• インスタンス (i1 , i2 ,, ik ) の品物をパッキング
するのに必要な最小ビン数を BINS(i1 , i2 ,, ik ) と
する。
動的計画アルゴリズム
1. 与えられたインスタンス (n1 , n2 ,, nk ) に対して、
Q {( q1 , q2 ,, qk ) | BINS(q1 , q2 ,, qk ) 1, 0 qi ni , 1 i k}
を計算する。
容量１のビン１個の中に入る品物の個数
(q1 , q2 ,, qk ) の組を全て求め、その集合を Q とする。
0.2
0.4 0.4
0.5
0.8
Q {( 0,0,0,1), (0,0,1,0), (0,1,0,0), (0,1,1,0), (0,2,0,0),
(1,0,0,0), (1,0,0,1), (1,0,1,0), (1,1,0,0), (1,2,0,0)}
動的計画アルゴリズム
2. 各 (i1 , i2 ,, ik ) {0,n1}{0,n2 }{0,nk } に
対して、各 BINS(i1 , i2 ,, ik ) の値の表を作成する。
初期値 a. BINS(0, 0, 0) 0
b. q Q に対して、
BINS(q) 1
i1 i2
i3 i4
00
10
01
11
02
12
00
0
1
1
1
1
1
10
1
1
1
01
1
1
11
動的計画アルゴリズム
2. 各 (i1 , i2 ,, ik ) {0,n1}{0,n2 }{0,nk } に
対して、各 BINS(i1 , i2 ,, ik ) の値の表を作成する。
表の残りの要素の値を、
BINS(i1 , i2 ,, ik ) 1 min BINS(i1 q1 ,, ik qk )
qQ
から計算する。
i1 i2
i3 i4
00
10
01
11
02
12
00
0
1
1
1
1
1
10
1
1
1
01
1
1
11
2. 表の残りの要素の値を、
BINS(i1 , i2 ,, ik ) 1 min BINS(i1 q1 ,, ik qk )
qQ
から計算する。
i1 i2
i3 i4
00
10
01
11
02
12
00
0
1
1
1
1
1
10
1
1
1
2
2
2
01
1
1
2
2
2
2
11
2
2
2
2
3
3
BINS(1,1,1,0) 1 BINS(1 1, 1 1, 1 0, 0 0)
1 BINS(0,0,1,0)
(
1
,
1
,
0
,
0
)
Q
2
動的計画アルゴリズムの計算時間
パッキングする品物の数の合計を
n とする。 (i1 ni n)
k
1. 与えられたインスタンス (n1 , n2 ,, nk ) に対して
BINS(q1 , q2 ,, qk ) 1 を満たす集合 Q を計算する
全ての場合について当てはめてみればよいので、
Q の要素は高々 O(n k )個
2. 各 (i1 , i2 ,, ik ) {0,n1}{0,n2 }{0,nk }に対し
て BINS(i1 , i2 ,, ik ) の値の表を作成する
各要素の計算時間は
k
O( n )
時間
BINS(i1 , i2 ,, ik ) の表全体は O(n 2k ) 時間で計算できる
ビンパッキング問題へのリダクション
品物のサイズが定数個ならば、
最適なパッキングを求めることが可能
品物のサイズが定数個になるように補正すれば、
サイズが定数個でなくても
最適パッキングを求めることが可能
最小終了時刻の計算に誤差をある程度認めれば、
最小終了時刻スケジューリング問題は
ビンパッキング問題にリダクションできる
コアアルゴリズム
• 最小終了時刻を計算するPTASの中核となるア
ルゴリズム
• 入力
– インスタンス I
– ビンの容量 t
– 誤差パラメータε
• インスタンス I に対する、容量 t(1+ε) のビンへの
パッキングと、パッキングに必要なビンの数
(I , t, )
を求める
• 終了時刻 t(1+ε) のスケジュールと、それを実現
するために必要なマシンの数を求める
コアアルゴリズム
1. サイズ tε未満の品物を除く
2. サイズが定数個になるように、品物のサイズを補正する
3. 動的計画アルゴリズムを用いて、
補正した品物を容量 t のビンにパッキングする
4. ビンの容量を t(1+ε) とし、残りの小さい品物を
パッキングする
コアアルゴリズム
1.
2.
3.
4.
サイズtε未満の品物を除く
サイズが定数個になるように、品物のサイズを補正する
補正した品物を容量 t のビンにパッキングする
ビンの容量を t(1+ε) とし、残りの小さい品物を パッキングする
• εを誤差パラメータとする
• t は区間[LB, 2・LB]内にあるとする
t
最初、サイズ tε未満の品物は無視する
コアアルゴリズム
1.
2.
3.
4.
サイズtε未満の品物を除く
サイズが定数個になるように、品物のサイズを補正する
補正した品物を容量 t のビンにパッキングする
ビンの容量を t(1+ε) とし、残りの小さい品物を パッキングする
各 i 0 に対して、区間 [t (1 )i , t (1 )i 1 ) に
属するサイズ p j を、 pj t (1 )i で置き換える。
もとのサイズ p j
t p j t (1 )
t (1 ) p j t (1 ) 2
t (1 )i p j t (1 )i 1
補正後のサイズ p j
t
t (1 )
t (1 )i
コアアルゴリズム
1.
2.
3.
4.
サイズtε未満の品物を除く
サイズが定数個になるように、品物のサイズを補正する
補正した品物を容量 t のビンにパッキングする
ビンの容量を t(1+ε) とし、残りの小さい品物を パッキングする
補正後のサイズ p j
もとのサイズ p j
t
t p j t (1 )
t (1 ) p j t (1 )
i
t (1 )i
i 1
各品物は、高々1 の割合でサイズを縮小されている
異なる品物のサイズの個数 k は
t (1 )k p j t t (1 )k 1 より
(1 ) k 1
k log 1
1
コアアルゴリズム
1.
2.
3.
4.
サイズtε未満の品物を除く
サイズが定数個になるように、品物のサイズを補正する
補正した品物を容量 t のビンにパッキングする
ビンの容量を t(1+ε) とし、残りの小さい品物を パッキングする
• 異なるサイズが k 個の品物について、サイズ t のビン
に対する最適パッキングを決定する。
• 動的計画アルゴリズムを用いる
各品物は、高々1 の割合でサイズを縮小されている
ビンの容量を t (1 ) とすれば、サイズをもとに戻しても
正しいパッキングになる
コアアルゴリズム
サイズtε未満の品物を除く
サイズが定数個になるように、品物のサイズを補正する
補正した品物を容量 t のビンにパッキングする
ビンの容量を t(1+ε) とし、残りの小さい品物を パッキングする
1.
2.
3.
4.
•
•
ビンのサイズを t (1 ) として、最初に除いた小さい品物
をグリーディーにビンの隙間へ入れていく。
必要ならば新しいビンを開けて用いる。
t
t
補題10.5
コアアルゴリズムで使用されるビンの個数を
(とおく。このとき、
I , t, )
( I , t , ) bins ( I , t )
インスタンス I をサイズ t のビンにパッキング
する時に使用する、ビンの最小個数
[証明]
アルゴリズムで小さい品物を入れるとき
• 新しいビンが使用されない場合
• 新しいビンが使用された場合
に分けて証明する。
補題10.5の証明
• 新しいビンが使用されない場合
– 小さく補正された品物は、サイズ t のビンに最適に
パッキングされている
– もとのインスタンスには、アルゴリズムでパッキングさ
れた品物よりも大きな品物が含まれている
– もとのインスタンスをサイズ t のビンにパッキングする
には、少なくとも ( I , t , ) 個のビンが必要
補題10.5の証明
• 新しいビンが使用される場合
– 最後のビンを除いて、どのビンにも t を越えて品物が
入れられている
t
……
– これらの品物をサイズ t のビンに入れようとすると、少
なくとも ( I , t , ) 個のビンが必要となる
したがって、
サイズtのビンへのIの品物の最適パッキングは、
ビンを少なくとも ( I , t , ) 個用いる
系10.6
• 補題10.5より、 ( I , t , ) bins ( I , t )
• OPT min{ t | bins ( I , t ) m}
これらより、
min{ t | ( I , t , ) m} OPT
min{ t | ( I , t , ) m} を決定することができると…
コアアルゴリズムの出力より、容量 t(1+ε) のビンへの
パッキングを求めることができる
終了時刻 t(1+ε) のスケジュールを求めることができる
終了時刻 (1+ε)OPT 以内のスケジュールを求めることが
できる
２分探索
min{ t | ( I , t , ) m} を求める
• 区間[LB, 2・LB]を２分探索することにより求める
• 一度２分探索が行われるごとに、探索区間の範
囲は半分になる
ε・LB以下→探索終了
LB
min{ t | ( I , t , ) m}
2・LB
• 探索を多項式時間内で終了するために、探索区間
の範囲が LB 以下になったら探索を終了する
探索の回数は log 2 1 回
補題10.7
２分探索において、終了時点での区間の右側の点をTと
する。
T
LB
2・LB
終了時点での探索区間
このとき、 T (1 ) OPT が成り立つ。
[証明]
• min{ t | ( I , t , ) m} は区間[LB, 2・LB]に含まれるので、
T min{ t | ( I , t , ) m} LB
•
min{ t | ( I , t , ) m} OPT
•
LB OPT
（OPTの下界）
これらより、 T (1 ) OPT
（系10.6）
終了時刻最小化スケジューリング問題
に対するアルゴリズム
T
LB
min{ t | ( I , t , ) m}
2・LB
• 区間[LB, 2・LB]を２分探索
• 探索区間の中点 t について、コアアルゴリズムを
用いて ( I , t , ) を求める
–
–
( I , t , ) m なら t の右側を探索
( I , t , ) m なら t の左側を探索
• 探索区間の範囲が LB になったら探索を終了
– 終了時点での区間の右側の点を T とする
• t = T に対するコアアルゴリズムの出力から、スケ
ジュールを得る
定理10.8
このアルゴリズムは、終了時刻が高々
(1 ) OPT (1 3 ) OPT
2
の正しいスケジュールを求める。
[証明]
• t = T に対するコアアルゴリズムの出力は、終了
時刻が高々 T (1 ) のスケジュール
• T (1 ) OPT
（補題10.7）
よって終了時刻は高々 (1 3 ) OPT
アルゴリズムの計算時間
• 制限されたビンパッキング問題に対する動的計
画アルゴリズムの計算時間： O(n 2k )
• コアアルゴリズムの計算時間： O(n 2k )
• 異なる品物のサイズの数 k ： k log 1
• ２分探索の回数： log 2
1
1
回
これらを合わせると、計算時間は
O(n 2 k log 2 1 )
ただし、 k log 1
1
おわり