Transcript PowerPoint - 千葉大学数学・情報数理学科

非周期的なタイル張りについて
千葉大学
理学部数学・情報数理学科
松井宏樹
タイル張り（タイリング tiling）
多角形などの図形を重ならないよう
に配置し、平面を隙間なく敷き詰める
こと。
ペンローズタイリング（Penrose tiling）
周期的でないタイル張りの代表例
各辺が色で塗られた正方形を色付き正方形と
呼ぼう。
色付き正方形を並べて、平面をタイル張りす
ることを考えよう。
ただし、隣り合う辺は必ず同じ色で塗られてい
ないといけない、としよう。
←こんな並べ方ならOKだが
こっちは駄目→
正方形を、回転させたり、裏返
したりするのは禁止！！
何種類かの色付き正方形の組み合わせが、
ひとつ与えられたとする。
この例だと、
5色を使った４種類の色付き正方形
この４種類の色付き正方形だけを使って、
平面全体をタイル張り出来るだろうか。
使えるタイル
a
b
c
d
b
d
a
b
a
b
c
a
d
b
実はこの例だと、どんなに頑張っても平面全体
をタイル張りすることは出来ない、という事がわ
かる。
使えるタイル
a
b
c
c
a
b
b
c
a
a
b
c
d
このパターンを繰り返せば、平面全体を周期的に
タイル張りすることが出来る！！
最初の例では、平面全体をタイル張りすることは
出来なかった。
2番目の例では、平面全体を周期的にタイル張
りすることが出来た。
問題 （１９６１年 Hao Wang）
「平面全体をタイル張りすることは可能だが、
周期的にタイル張りすることは不可能である」
というような、色付き正方形の組み合わせは
存在するだろうか？
？？？？
答えは………？
存在する！！
すなわち、平面全体をタイル張りすることは可
能だが、決して周期的にはタイル張りすること
は出来ない、というような色付き正方形の組み
合わせが存在する。
１９６６年 Robert Berger
20426種類の色付き正方形
１９９６年 Karel Culik
１３種類の色付き正方形
１９９６年にCulikが発見した、13種類から
なる色付き正方形の組み合わせ
宿題
1次元空間（つまり、ただの直線）の場合に
今の問題を考察せよ。
色付き線分による、直線の「タイル張り」
おしまい