Transcript ある科学歴史家の 微分の言いぬけ説

ある科学歴史家の
微分の言いぬけ説
Berkley のNewtonのFluxionと
LeibnitzのDifference批判との比較
北村 正直
The Analyst
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George Berkley
Newtonと同時代の哲学者
微分法（Method of Fluxion） の批判
彼はニュートン力学、万有引力の法則も批判
Du Motu （運動について On Motion）
彼の哲学は相対主義的
The Analyst Ⅲ節
• The Method of Fluxions is the general Key, ・・
• ・・ And such Velocities are called Fluxions: and
the Quantities generated are called flowing
Quantities. These Fluxions are said to be nearly
as the Increments of the flowing Quantities,
generated in the least equal Particles of time;
and to be accurately in the first Proportion of the
nascent, or in the last of the evanescent,
Increments. Sometimes, instead of Velocities,
the momentaneous Increments or Decrements
of undetermined flowing Quantities are
considered, under the Appellation of Moments.
The Analyst Ⅳ節
• By Moments we are not to understand finite
Particles. These are said not to be Moments,
but Quantities generated from Moments,
which last are only the nascent Principles of
finite Quantities. It is said, that the minutest
Errors are not to be neglected in Mathematics:
that the Fluxions are Celerities, not
proportional to the finite Increments though
ever so small; but only to the Moments or
nascent Increments, whereof the Proportion
alone, and not the Magnitude, is considered.
The Analyst Ⅴ節
• The foreign Mathematicians are supposed by some,
even of our own, to proceed in a manner, less accurate
perhaps and geometrical, yet more intelligible.
Instead of flowing Quantities and their Fluxions, they
consider the variable finite Quantities, as increasing
or diminishing by the continual Addition or
Subduction of infinitely small Quantities. Instead of
the Velocities wherewith Increments are generated,
they consider the Increments or Decrements
themselves, which they call Differences, and which
are supposed to be infinitely small.
Infinitesimal
• 無限小とは
• △t → 0 という極限操作の中で現れる
• △t は極限が実現されて０となる。これが
moment、瞬間であるとBerkleyは考えた
• Leibnitz：
• 無限小は数ではない、傾向である
村上の微分の言い抜け説
私たちは、時間幅のない時刻に設定される
「速度」を「瞬間速度」などと呼んで、あたかも
実質的に存在する何ものかであるかのように
考えているが、かつては、この概念を「速さ」
もしくは「速度」と呼ぶことはできないと考えら
れ、「速度の度合い」などという判ったような
判らないような名前で呼んでいた。ガリレオの
時代でもそうであった。
村上 － 続き
• 私たちは、微分という算法を使ってこの難関を切り
抜ける。小さな「時間幅」――それをΔtと置く――を
設定し、その間は「速さ」が変わらないものとする。
僅かでも時間幅が与えられれば、その間に動いた
距離も算定できるから、「速さ」も意味を持つことが
できる。こうしておいて、そのΔtを次第にゼロに近づ
ける。この、ゼロではないが、しかし無限にゼロに
「近づける」という操作 (考えてみると、見事な三百
代言流のペテンとしか言いようがない) を主張する
ことこそが微分のみそであり、そこから「瞬間速度」
という概念が可能になる。
村上 ー 続き
• 中学校では微分のこのトリックが使えないの
で、仕方なく言葉の魔術で切り抜けるのが常
道である。今この瞬間の速さで一時間動くと
六〇キロになるとき、その瞬間の速さを「時速
六〇キロという速度」であった、と表現するの
だ、というのがその説明である。まともに考え
ると、これは実はひどい言い抜けでしかない。
• (村上陽一郎、科学哲学の窓：時間を巡って、
『図書』1999年2月号、34-35頁より)
村上 ー 続き
•
瞬間速度という概念が、微分という便宜的
な算法を使わずには成り立たない、あるいは
概念上の困難がある、ということを前回に述
べた。日常的な考えに従えば、速さという概
念は、あくまで一定の時間が定義されたとき、
その時間内に移動する距離との比によって
与えられるものだからであり、「瞬間」である
限り、そこには一定の値を持つ「時間」が定義
できないからである。
村上 ー 続き
•
それを微分を使って切り抜けて、見事に成
功をおさめたのが、近代力学であった。しかし、
そこに争い難い問題が残ることも確かである。
• それは結局時間幅をゼロに近付ければ移
動距離もゼロに近付くはずなのに、移動距離
のほうだけはゼロにならない、という微分の
言い抜けである。
• (村上陽一郎、科学哲学の窓：時間を巡って
(承前)、『図書』1999年3月号、58-59頁より)
村上の誤解（曲解？）
• ゼロに近づく △t → 0 と
• ゼロになる △t ＝ 0 とを同じと見る
• 収斂する数列｛a1,a2, a3, a4, a5, a6,・・ ｝の
一要素と極限値とを同じレベルで見ることに
相当する。
• 無限小は正の実数 R＋上のゼロに収斂する
Cauchy数列
• 各要素はゼロではない