Transcript 相関分析

相関分析
2次元データと散布図
共分散
相関係数
２次元データ
身長と体重、生産と投資、収入と貯蓄などの二つ
の現象の間に非確実な照応関係が存在するが、
この２変数ｘ、ｙを観測して、2組のデータを得ると
き、そのデータを２次元データという。
２次元のデータをｎ個の点
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )    ( xn , yn )
として、図式すると、ｘ と ｙ の関係がはっきりする。
散布図（Scatter-gram,正の関
係）
GDPとMS(兆円)
MS
700
600
500
400
300
300
400
500
GDP
600
散布図（負の相関関係）
貯蓄と世帯数の関係
世帯数
1000
800
600
400
200
0
0
500
1000 1500 2000 2500 3000
貯蓄
無相関の例
統計学の前期と後期の試験点数(n=10)
後期
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
前期
60
80
散布図と相関係数の関係
ほとんど相関関係がない場合： ｒ＝０
右上がりの直線に一致するとき： ｒ＝１
右下がりの直線になる場合： ｒ＝-１となる.
Ｘの分散とYの分散
変数 x1 , x2 ,  xn と変数 y1, y2 ,   yn の
それぞれの分散が次のように定義される。
n
n
S 
2
x
2
(
x

x
)
 i
i 1
n
S y2 
2
(
y

y
)
 i
i 1
n
共分散（Covariance)
xi と yi
について
n
S xy 
( x  x)( y  y)
i 1
i
i
n
で定義される S xy を xi と yi の共分散
といい、Cov(x, y)と書く。
Ｘとyの変動と共分散の符号
Ｘとｙの増減変化の方向が一致であれば、
Sxy の値がプラスになり、ｘとｙが正の相関
関係が存在する。
Ｘとｙの増減変化の方向が逆であれば、
Sxy の値がマイナスになり、ｘとｙが負の相
関関係をもつ。
共分散と相関係数の関係①
共分散
偏差積和
SS xy (xi  x)( yi  y)
相関係数
 xy 
SSxy
S xxS yy
S xx   ( xi  x )
2
偏差平方和
S xy
( x  x)( y  y)


i
i
n
 xy 
S
2
x
S xy
S x2 S y2
( x

 x) 2
n
i
分散
共分散と相関係数の関係②
相関係数はｘとｙの共分散 Sxy を標準偏差
S x , S y 基準化したものである。
 xy
( x  x )( y  y)


i
i
nSx S y
xi  x yi  y
(
)(
)

Sx
Sy
i 1

n
n
相関係数の計算
相関係数は次式で定義される。
Sxy
 xy 

Sxx  S yy
Sx  S y
Sxy
n

(x  x)( y  y) / n
 ( x  x ) / n  ( y  y) / n
i 1
i
i
2
i
2
i
相関係数の性質と判断基準
相関係数  xyは共分散 S xyと同じ符号をもち、
常に 1   xy  1の範囲にある。
 xy ＝1ならば、すべての観測値が正の傾きを持つ
同一直線上に並ぶ。
 xy＝-1ならば、すべての観測値が負の傾きを持つ
同一直線上に並ぶ。
 xy は0に近ければ、XとYの間に相関はない。
|  xy | は1に近ければ、XとYの間に相関関係は強い。
相関係数の計算式
 xy 
n xi yi   xiΣyi
n x  ( x ) n y  ( y ) 
2
i
2
i
2
i
1   xy  1
2
i
練習問題
次回の予習：pp. 195-199