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第二章 集合カバー
作： 牧山幸史
これまでのあらすじ
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現実で遭遇する最適化問題の多くは「ＮＰ困難」
厳密解を求めるのに、膨大な計算時間が必要
近似解ならば、求めることができるかも。
個々の問題に対する近似アルゴリズムを調査する
（第Ⅰ部）：
第1章： 個数版点カバー問題
（近似率2）
第2章： 集合カバー問題
第二章 集合カバー（目次）
• 集合カバー問題（グリーディアルゴリズム）
• 重み付き点カバー問題（層別化）
• 最短拡大ストリング問題
集合カバー問題
• n 個の要素からなる台集合 U, U の部分集合の族
S={S1,…,Sℓ} およびコスト関数 c:S→Q+ が入力
として与えられたとき、 U の要素をすべてカバーす
るコスト最小の S の部分族を求めよ。
集合カバー問題
コスト ５
U = { A, B, C, D, E, F }
コスト
S1
S2
S3
S4
２
３
４
１
集合カバー問題
コスト ４
U = { A, B, C, D, E, F }
コスト
S1
S2
S3
S4
２
３
４
１
グリーディアルゴリズム
• グリーディアルゴリズム（貪欲アルゴリズム，欲張り
アルゴリズムともいう）とは、現在の状況を改善させ
る現時点で最善の方策を選ぶという方針で設計さ
れたアルゴリズムの総称である。
• ここでは、最もコスト効果の良い集合を選び、その
集合でカバーされる要素を取り除いた集合で、再び
最もコスト効果の良い集合を選ぶ、というように繰り
返していき、すべての要素がカバーされたら終了す
るというアルゴリズムを考える。
集合カバー問題に対する
グリーディアルゴリズム
•
アルゴリズム2.2（グリーディ集合カバーアルゴリズ
ム）ｐ16
1. C ← 空集合；
2. While C ≠ U do:
現在の反復でもっともコスト効果 c(S)/|S-C| の
小さい集合を1つ見つけ S とする；
S を集合カバーに選ぶ；
（αを S のコスト効果、すなわちα= c(S)/|S-C| とする；
各 e ∈ S－C に対して price(e)=αとする；）
C ← C ∪S；
3. 集合カバーに選ばれた集合を出力する；
集合カバー問題に対する
グリーディアルゴリズム
U={ A, B, C, D, E, F }
コスト
コスト 効果
S1
S2
S3
S4
2
3
4
1
0.5
0.75
1.0
0.5
集合カバー問題に対する
グリーディアルゴリズム
U={ A, B, C, D, E, F }
コスト
コスト 効果
S1
S2
S3
S4
2
3 1.5
4 2.0
1 ∞
集合カバー問題に対する
グリーディアルゴリズム
アルゴリズム2.2は |U|=n の集合カバー問題に
対する Hn 近似アルゴリズムである。
ただし、Hn = 1 + 1/2 + ・・・ + 1/n．
• 証明：
1. 出力された集合カバー全体のコストは
∑k=1nprice(ek) に等しい。
2. ∑k=1nprice(ek) ≦ (1 + 1/2 + ・・・ + 1/n)OPT
という順に説明する。
•
price(e) って？
•
アルゴリズム2.2（グリーディ集合カバーアルゴリズ
ム）ｐ16
1. C ← 空集合；
2. While C ≠ U do:
現在の反復でもっともコスト効果 c(S)/|S-C| の
小さい集合を1つ見つけ S とする；
S を集合カバーに選ぶ；
（αを S のコスト効果、すなわちα= c(S)/|S-C| とする；
各 e ∈ S－C に対して price(e)=αとする；）
C ← C ∪S；
3. 集合カバーに選ばれた集合を出力する；
price(e) って？
• price(e) は
グリーディアルゴリズムの近似保証
• ∑k=1nprice(ek) ≦ (1 + 1/2 + ・・・ + 1/n)OPT
• 証明：
– U の要素をアルゴリズムでカバーされた順に並
べ番号を付ける。ただし、同時にカバーされた要
素は勝手に並べてよい。この番号付けを e1, …,
en とする。このとき、各k∈{1,…,n} に対して
price(ek) ≦ OPT/(n-k+1)
が成り立つ。したがって、成り立つ。
集合カバー問題に対する
グリーディアルゴリズム
アルゴリズム2.2は |U|=n の集合カバー問題に
対する Hn 近似アルゴリズムである。
ただし、Hn = 1 + 1/2 + ・・・ + 1/n．
• 証明：
1. 出力された集合カバー全体のコストは
∑k=1nprice(ek) に等しい。
2. ∑k=1nprice(ek) ≦ (1 + 1/2 + ・・・ + 1/n)OPT
という順に説明する。
•
集合カバー問題の近似保証の改善
•
集合カバー問題に対して、アルゴリズム2.2が Hn
近似アルゴリズムであることを示した。
1. アルゴリズム2.2の近似保証は、よりよい解析を
用いれば改善できるか？
答え： できない ⇒ タイトな例が存在する
2. 集合カバー問題に対して、よりよい近似保証を
持つアルゴリズムは存在するか？
タイトな例
U={ A1, A2, … , An }
コスト
アルゴリズム2.2で得られる解（コスト Hn ）
S1
S2
…
Sn
Sn+1
…
1/n
1/(n-1)
…
1
1+ε
最適解（コスト 1+ε） εはいくらでも小さい値にできる
集合カバー問題の近似保証の改善
•
集合カバー問題に対して、アルゴリズム2.2が Hn
近似アルゴリズムであることを示した。
1. アルゴリズム2.2の近似保証は、よりよい解析を
用いれば改善できるか？
答え： できない ⇒ タイトな例が存在する
2. 集合カバー問題に対して、よりよい近似保証を
持つアルゴリズムは存在するか？
答え： 存在しない ⇒ 第29章
第二章 集合カバー（目次）
• 集合カバー問題（グリーディアルゴリズム）
• 重み付き点カバー問題（層別化）
• 最短拡大ストリング問題