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剛体の運動方程式を考える。
1
振り子の問題
ℓ
問題１：長さℓの糸の端に質量Mの質点を付けて、振り子にする。
M
a) 運動方程式は、糸の張力をTとして、
下記のように書けることを示せ。（円筒座標の加速度を使う）
2
 m   mg cos  T ,

m   mg sin 
b) 微小振動(φが小さい）の場合に、角度方向の運動方程
式（aの２つめの式）が以下のようになることを示せ。

g
  

d
g
 
2
dt

2
または
c) bの運動方程式を解いて、φ(t)を求めよ。
振動の周期Ｔも求めよ。
2
剛体振り子の問題
2ℓ
φ
問題２ 長さ2ℓ、質量Mの一様な棒の端を固定して、振り子にする。
a) 運動方程式が次のようになることを説明せよ。
（角運動量の時間変化＝力のモーメントの式から出発する。）
d 2
I 2  Mg sin 
dt
Iは慣性モーメント。支点（棒の端）のまわり。
b) 微小振動の場合に運動方程式を解き、周期を求めよ。
c) 棒の支点のまわりの慣性モーメントを求めよ。
3
剛体と振り子の比較の問題
問題３ 長さ2ℓ、質量Mの一様な棒の端を固定して、振り子にしたものと、
質量Mのおもりを、糸(長さ2ℓまたはℓ）の先につけた場合を
比べて、微小振動の周期の長い順に並べよ。理由も書くこと。
2ℓ
2ℓ
φ
ℓ
M
M
(1)
(2)
(3)
4
ここから後は解答と補足
5
教科書p.18(角度方向のみ）
問題１(a)の解答
円筒座標を使った加速度

 



a  ( r  r  )er   r   2 r  e  z ez



2
ℓ
φ
m
２次元の場合はz=0とおけばよくて、

 


a  ( r  r  )er   r   2 r  e



2
T
振り子の場合、rは一定。
2

ar   , aφ  
mg
働く力は、重力mgと張力Tなので、運動方程式は、
2
 m   mg cos  T ,

m   mg sin 
6
問題１(b)の解答
ℓ
(b)角度方向の運動方程式

m   mg sin 
φが微小なら、 sin 

g
 



g
   sin 

(ほぼ等しい)
φ
m
問題１(c)の解答
(c)
d
2




2
dt
2
ℓ
g
 

φ
2
m
前期の最初の方の微分方程式で学んだように、
この微分方程式の一般解は、
  Asin t  B cost
あるいは
  Csint   
振動の周期は、
A,B,C,δは初期条件で
決まる定数
2

T
 2

g
8
sin   
補足
(ほぼ等しい)
説明その１
sin x
lim
1
x0
x
φ
数Ⅲ
xが小さい時に、sin xとxはほぼ等しい。
説明その２
グラフを使う。
次のページへ。
sin   
グラフを使った説明
y
y=x
y= sin x
0
π
2π
x
・原点でsinxの傾きは１, 接線はy=x
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問題2(a)の解答
a)
dL
N
dt
教科書p.69
2ℓ
ω  (0,0,)
L  Iˆω
z成分(紙面に垂直な方向）だけ考えればよくて、
φ
dLz
d
 I 2  Nz
dt
dt
2
支点から棒上にxの位置にある微小質量dm=ρdxに
かかる力はgdm=ρgdx。ρは長さ当たりの質量で、ρ=M/2ℓ
力のモーメントは、
N  r  F より、
 gdxx sin  
これをxについて積分すると、
N z   g sin 
2
0

22
xdx   g
sin   Mg sin 
2
重心上にMgがかかっているのと同じになる。
回転の運動方程式は、 d 2
I
dt
2
 Mg sin 
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問題2(b)の解答
b)
教科書p.70
d 2
I 2  Mg sin 
dt
φが小さい時に、sinφはφにほぼ等しい。
d 2
Mg


2
dt
I
  Asin t  B cost
2
I
Mg
T
 2


Mg
I
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問題2(c)の解答
I   r 2dm
x
x 

2
I   x dx     
0
3
 3 0
M
ρは単位長さ当たりの質量で、  
3
2

M 2 4
2
I
3
2
dm=ρdx
3
2
 M2
2 3
3
b)の周期に代入すると、
I
4
T  2
 2
Mg
3g
13
問題３の解答
2ℓ
(3)は問題１より、
単振り子(糸）の周期は、
T  2
2ℓ
M
φ

g
ℓ
M
(1)
(2)は糸の長さが倍なので、
T  2
2
g
4
(1)は問題２より、 T  2
3g
周期が大きい順に、(2),(1),(3)
(2)
(3)
問題３の解答：別解
方法２
慣性モーメントを求める。
2ℓ
2ℓ
ℓ
M
φ
M
(1)
(2)
(3)
1)は問題２で求めたように、
4
I  M2
3
3)は、 I  M2
次のページに補足あり。
2)は、
I  M 22  4M2
したがって、周期の長い順（回りにくい順に）
2) 1) 3)の順
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問題３の解答の補足
ℓ
質点の慣性モーメント I  M2 になる理由
M
慣性モーメントの定義は、
I   r 2dm
軸までの距離がいつも一定の値
I    dm  M
2
2
 なら、積分の外に出る。
問題３の解答の意味を考える
2ℓ
2ℓ
M
(2)
I  4M2
φ
(1)
4 2
I  M
3
ℓ
M
(3)
I  M2
糸が長い場合と短い場合の周期の関係はわかりやすい。
質量が全体にある場合と中央にある場合。
外側の方がモーメントに影響が大きい。（xの２乗）
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