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第2回
•微分方程式表現に基づくブロック線図作成
•伝達関数
抵抗回路の方程式表現
R1
u
関係式:
u(t) i(t) (R1 R2)
y(t) i(t) R2
i
R2
y
R2
y(t)
u(t)
R1 R2
抵抗回路のブロック線図
R2
y(t)
u(t), R1 30, R2 10
R1 R2
u(t)
y(t)
抵抗回路のステップ応答
RC回路(微分方程式表現)
R
関係式:
u
i
C
y
i(t) Cy(t)
u(t) Ri(t) y(t)
RCy(t) y(t) u(t)
y(t) y(t) u(t) / RC
微分方程式に基づくブロック線図の作成
1. 入力・出力を配置
(変数名を設定)
2. 積分器を配置
(微分・積分に着目。変数名を設定)
3. 定数を配置
(変数名を設定)
4. ブロックを接続
(乗除算を直列結合)
5. ブロックを接続
(加減算を並列・フィードバック結合)
6. ブロックを整理(整列、反転、移動)
RC回路のブロック線図(1/4)
y(t) y(t) u(t) / RC, RC 2
1.入力・出力を配置
2.積分器を配置
RC回路のブロック線図(2/4)
y(t) y(t) u(t) / RC, RC 2
3.定数を配置
RC回路のブロック線図(3/4)
y(t) y(t) u(t) / RC, RC 2
4.乗除算を直列結合
RC回路のブロック線図(4/4)
y(t) y(t) u(t) / RC, RC 2
u(t)
y(t)
y(t)
5.加減算を並列・フィードバック結合
RC回路のステップ応答
初期条件: y(0) 0
積分器のパラメータ設定
質量・ばね・ダンパ系(微分方程式表現)
y
K
C
u
M
関係式:
My(t) Cy(t) Ky(t) u(t)
y(t) Cy(t) Ky(t) u(t) / M
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(1/4)
y(t) Cy(t) Ky(t) u(t) / M
1.入力・出力を配置
2.積分器を配置
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(2/4)
y(t) Cy(t) Ky(t) u(t) / M
3.定数を配置
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(3/4)
y(t) Cy(t) Ky(t) u(t) / M
4.乗除算を直列結合
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図(4/4)
y(t) Cy(t) Ky(t) u(t) / M
u(t)
y(t) y(t) y(t)
5.加減算を並列・フィードバック結合
質量・ばね・ダンパ系のステップ応答
初期条件: y(0) 0, y(0) 0
積分器のパラメータ設定
DCサーボモータ
L
R
i
u
逆起電力:
モータートルク:
J C
(t) K2i(t)
v1(t) Ky(t)
1
電気回路の関係式:
u(t) Ri(t) Li(t) v1(t)
y
回転運動の関係式:
Jy(t) (t) Cy(t)
DCサーボモータの微分方程式表現
L
R
i
u
J C
y
y(t) K2i(t) Cy(t) / J
i(t) Ri(t) K1y(t) u(t) / L
DCサーボモータのブロック線図(1/4)
y(t) (K2i(t) Cy(t))/ J
i(t) (Ri(t) K1y(t) u(t))/ L
1.入力・出力を配置
2.積分器を配置
DCサーボモータのブロック線図(2/4)
y(t) (K2i(t) Cy(t))/ J
i(t) (Ri(t) K1y(t) u(t))/ L
3.定数を配置
DCサーボモータのブロック線図(3/4)
y(t) (K2i(t) Cy(t))/ J
i(t) (Ri(t) K1y(t) u(t))/ L
4.乗除算を直列結合
DCサーボモータのブロック線図(4/4)
y(t) (K2i(t) Cy(t))/ J
i(t) (Ri(t) K1y(t) u(t))/ L
u(t)
i(t) i(t)
y(t) y(t) y(t)
5.加減算を並列・フィードバック結合
DCサーボモータのステップ応答
初期条件: y(0) 0, y(0) 0, i(0) 0
積分器のパラメータ設定
ラプラス変換
ラプラス変換:
F(s) L[f(t)] : f(t)e dt
st
0
時間微分のラプラス変換:
dnf(t) n
L n s F(s)
dt
f(0)
f(0)
のとき
時間積分のラプラス変換:
1
L f()d F(s)
0
s
t
f
(n1)
0
ラプラス変換表(1)
f(t)
F(s) L[f(t)]
(t)
1
us(t)( 1)
1
s
t
sin t
cos t
1
2
s
2
2
s
s
2
2
s
ラプラス変換表(2)
f(t)
e
at
e sin t
at
e cos t
at
F(s) L[f(t)]
1
sa
(s a)2 2
sa
2
2
(s a)
伝達関数
出力のラ
プラ
ス変換
伝達関数:
入力のラ プラ ス変換
「すべての初期値を0とする」
Y(s)
G(s) :
U(s)
( 入力 : u(t), 出力: y( t ) )
Y(s) G(s)U(s)
抵抗回路の伝達関数
R1
u
関係式:
u(t) i(t) (R1 R2)
y(t) i(t) R2
i
R2
y
ラプラス変換
Y(s) I(s) (R1 R2)
Y(s) I(s) R2
R2
Y(s)
G(s) :
U(s) R1 R2
抵抗回路のブロック線図
R2
G(s)
R1 R2
u(t)
y(t)
RC回路の伝達関数
R
u
関係式:
i(t) Cy(t)
u(t) Ri(t) y(t)
i
C
y
ラプラス変換
I(s) CsY(s)
U(s) RI(s) Y(s)
Y(s)
1
G(s) :
U(s) RCs 1
RC回路のブロック線図
1
G(s)
, RC 2
RCs 1
u(t)
y(t)
伝達関数ブロックのパラメータ設定
1
G(s)
2s 1
初期条件: y(0) 0
質量・ばね・ダンパ系の伝達関数
関係式:
My(t) Cy(t) Ky(t) u(t)
ラプラス変換
Ms Y(s) CsY(s) KY(s) U(s)
2
Y(s)
1
G(s) :
2
U(s) Ms Cs K
質量・ばね・ダンパ系のブロック線図
1
G(s) 2
M 1, K 2,C 3
Ms Cs K
u(t)
y(t)
伝達関数ブロックのパラメータ設定
1
M 1, K 2,C 3
G(s) 2
Ms Cs K
初期条件:
y(0) 0, y(0) 0
積分器の数だけ設定
(=分母多項式の次数)
DCサーボモータの伝達関数
u(t) Ri(t) Li(t) v1(t), v1(t) K1y(t)
Jy(t) (t) Cy(t), (t) K2i(t)
ラプラス変換
U(s) RI(s) LsI(s) V(s)
, V(s)
K1sY(s)
1
1
2
Js Y(s) (s) CsY(s), (s) K2I(s)
K2
Y(s)
G(s) :
U(s) (JLs2 (JR LC)s RC KK
)s
1 2
DCサーボモータのブロック線図
K2
G(s)
2
(JLs (JR LC)s (RC KK
))s
1 2
u(t)
y(t) y(t)
J 1, L 1, K1 1, K2 1, R 2, C 3
伝達関数ブロックのパラメータ設定
K2
G(s)
2
(JLs (JR LC)s (RC KK
))s
1 2
初期条件: i(0) 0, y(0) 0
積分器の数だけ設定
(=分母多項式の次数)
J 1, L 1, K1 1, K2 1, R 2, C 3
演習1:RL回路の応答
L
R
u
y
• 微分方程式表現からブ
ロック線図を作成し、ス
テップ応答を求めよ。
(適当にパラメータ設定)
• 伝達関数を求めよ。
関係式:
u(t) Ry(t) Ly(t)
• 伝達関数からブロック線
図を作成し、ステップ応答
を求めよ。
(適当にパラメータ設定)
演習2:RLC回路の応答
L
R
i
u
C
y
• 微分方程式表現からブ
ロック線図を作成し、ス
テップ応答を求めよ。
(適当にパラメータ設定)
• 伝達関数を求めよ。
関係式:
• 伝達関数からブロック線
図を作成し、ステップ応
答を求めよ。
(適当にパラメータ設定)
i(t) Cy(t)
d
u(t) Ri(t) L i(t) y(t)
dt
演習3:初期状態の変更
• テキスト中の各システムについて、初期状態を
変更しながらステップ応答を求め、初期状態に
ついて考察せよ。
演習4:質量×2・ばね・ダンパ系の応答
u M
1
関係式:
x
y
K
C
M2
Mx(t)
u(t) C(y(t) x(t)) K(y(t) x(t))
1
My(t)
C(y(t) x(t)) K(y(t) x(t))
2
• 微分方程式表現からブロック線図を作成し、
ステップ応答を求めよ。
• 伝達関数を求めよ。
• 伝達関数からブロック線図を作成し、
ステップ応答を求めよ。
演習5:RCRC型回路の応答
R2
R1
• 微分方程式表現から
u
C1
i1
e1
C2
i2
u(t) Ri
(t) e1(t)
11
ブロック線図を作成し、
ステップ応答を求めよ。
y•
伝達関数を求めよ。
• 伝達関数からブロック
線図を作成し、ステッ
プ応答を求めよ。
t
1
R2i2(t) y(t) e1(t) 0 y(t) 0 i2()d
C2
t
1
e1(t) (i1() i2())d
C1 0