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コストのついたグラフの探索
分枝限定法
A*アルゴリズム
組み合わせ最適化問題
• 目的関数： f(x)
• 制約条件： x ∈ S
S： 有限個，または，可算無限個の要素を持
つ離散集合
このf(x) を最小化する問題（最大化でもかま
わないが，以降は最小化問題を扱う）
例1：ナップザック問題
• 容量 C のナップサックが
一つと、n 個の品物（各々、
価値 pi, 容積 ci）が与えら
れたとき、ナップサックの
容量 C を超えない範囲で
いくつかの品物をナップ
サックに詰め、ナップサッ
クに入れた品物の価値の
和を最大化するにはどの
品物を選べばよいか
例2：巡回セールスマン問題
• 都市の集合と各2都市間の移
動コストが与えられたとき、全て
の都市をちょうど一度ずつ巡り
出発地に戻る巡回路のコストす
なわち総移動距離が最小のも
のを求める（セールスマンが所
定の数の都市を1回だけ巡回す
る場合の最短経路を求める）組
合せ最適化問題
例３：オープンスペースでの経路計画
• 障害物が少ない迷路での経路
探索問題
• Dijkstraのアルゴリズムは出発
点から等距離にある球面に最も
近い点を取りこみながら膨張す
るアルゴリズム
S
• ゴールによるガイドを受けない
ため効率が悪い
G
その他ほとんどの組み合わせ最適化
問題で使える．
• 最小全域木
• 8パズルなどのパズル
• ゲーム
• 最近傍探索
• 他，諸々
分枝と限定＝分枝限定法
• 分枝：与えられた問題 P0 を，それらを解くこと
で等価的に P0 が解かれるような部分問題Pi（i
= 1，2，･･･） に分解する操作
f(P0) = min
f(P
)
f(P
)：
問題P
の最適値
i
i
i
i
となるような部分問題 Pi（i = 1，2，･･･）に分
解する操作
• 限定：部分問題 Pi を終端させる操作
分枝操作
• 最適化問題 Pi は，以下に示す問題とする．
目的関数： f(x)
制約条件： x ∈ Si
• 例：2次元の経路探索問題で
は，S=（x0,y0）から， G=
（xN,yN）までの経路を求める
問題になる．これを， Mi=
（xi,yi）を経由してゴールに至
る問題Piに分解する．
S
Mi
G
限定操作の方法
• 部分問題 Pi よりも制約条件が緩く，解きやす
い問題を考えて P’i と表す．このような問題を
緩和問題と呼び，問題 Pi の緩和問題 P’i は，
以下のように定義されます．
目的関数： g(x)
制約条件： x ∈ S’i， Si ⊂ S’i
• 制約条件が緩いため，一般に，x ∈ Si となる x
に対しては，g(x) ≦ f(x)が成り立つ．
緩和問題の例
• g(P’i):Miまでの実距離と，
MiからGまでの障害物を度
外視したユークリッド距離
• ｆ(Pi): Mi経由の実距離
S
Mi
G
暫定値とそれを用いた限定操作
• g(P’i)を緩和問題P’iの最適値（下界値） と呼ぶ．
• ある時点で，部分問題Piへの分解によって元の
問題 P0 の許容解とその値f(Pi)が複数求められ
ているとする．また，これらf(Pi) の中の最小値を
暫定値と呼び，z で表わす．
• g(P’i) ≧ z なる関係があるとき，部分問題 Pi，及
び，それから生成される部分問題に対する許容
解は 最適解とはならない．
限定操作の実際
• これまでの探索で求められた，
ゴールまで到達可能な許容解
（実経路）のうちで最短のもの
（図中緑線）の長さをｚとする．
• 現在探索中の経路の緩和解
での長さg(P’i) （図中赤線）が z
の長さを超えると，点Mi を経
由した経路は調べなくて良い
ことになる．
Mi
S
G
分枝限定法アルゴリズム
1. 初期設定： A := {P0}, z := ∞
2. A = φ ならば終了．
 z = ∞： 問題 P0 は解を持たない
 z < ∞： f(P0) = z
3. 集合 A の中から，部分問題 Pi を選択
4. もし，緩和問題 P’i が解を持たなければ，
 A := A - {Pi} として，2 へ戻る
そうでなけでば，
 もし，Pi のf(Pi)が得られたら， z := min {z, f(Pi)}， A := A - {Pi}
として，2 へ戻る．
 そうでない場合
• もし，g(P’i) ≧ z ならば A = A - {Pi} として，2 へ戻る．
• そうでなければ 問題 Pi を，部分問題 Pi1，･･･，Pik に分
解し， A = (A - {Pi}) ∪ {Pi1，･･･，Pik} として，2 へ戻る．
部分問題への分解の方法
• 横型探索
• 縦型探索
• Best first Search: g(P’i)の値が最も小さいものから
優先的に展開する．
迷路の問題では，最初の中継点 M0 を出発点S
とすれば，P’0=P0となる．
次に可能な展開は， M0 +(0,1), M0 +(1,1) ， M0
+(1,0), M0 +(1,-1), M0 +(0,-1) , M0 +(-1,-1) , M0 +(1,0) , M0 +(-1,1)の8通り，これらを対象に展開を
行う．
結局コスト付きグラフの探索問題
• グラフの各辺にはコストが
付けられている．
• この状態で出発点Sから
ゴールGへの最短路を求め
る問題になっている．
S
G