Transcript 任意線分の 交点列挙アルゴリズム

平面走査法を使った
一般線分の
交点列挙アルゴリズム
プログラミングIII
磯 直行
y
７
平面走査法による
一般線分集合の
交点列挙
６
５
計算機にとっては
大変時間のかかる
処理
４
３
単純法なら
O(n2)
２
↓
効率の良い
アルゴリズムだと
１
０
１
２
３
４
５
６
７
x
O(n log n)
高速！
高速に実行するための基礎知識
• データ構造「ヒープ」
2分木の親子方向（y軸方向）に大小関係を
小
形状に関する条件：
保持したデータ構造
高さー１までは完全2分木
葉は左寄せ
大
• データ構造「2分探索木」
2分木の横方向（ｘ軸方向）に大小関係を
保持したデータ構造
形状に関する条件：なし
小
大
Point1
走査線
（スイープライン）
y
７
走査線を移動させ
y座標の小さい順に
図面を走査
６
５
交差発見！
走査線の
次の停止位置は
候補の中でもっとも
y座標の小さいもの
４
３
↓
交差発見！
たくさんの候補の中から
走査線が次に停止する
y座標をすぐに答えることの
できる
２
交差発見！
１
データ構造
「ヒープ」を利用
０
１
２
３
４
５
６
７
x
高速！
y
Point2
交差の探索
７
走査線が停止するごとに
走査線と交差する多くの
線分から交差するものを
高速に調査する必要あり
６
５
走査線と交差する
線分の位置関係を保持
↓
x軸方向に高速探索ができる
４
データ構造
「２分探索木」を利用
３
高速！
２
１
０
１
２
３
４
５
６
７
x
効率の良い
一般線分の交差列挙アルゴリズム
1.
2.
3.
線分の端点をy座標をキーとしてヒープHに挿入
2分探索木Tを空にする
While Hが空でない do
a. Hから最小要素pを取り出す
b. pが線分ｌ の下端点ならば，l をTに挿入する．Tにおいてl と隣接する2本の
線分との間に交点があれば，それらを報告する．交点を新しい線分の下端点
としてHに挿入する
c． pが線分l の上端点ならば，ｌ をTから削除する．l の削除によってはじめて
隣接する（それまでl の両隣に位置していた）線分の間に交点があれば，
それを報告する．交点を新しい線分の下端点としてHに挿入する．
用意するデータ構造
ヒープ H
（必要な操作：「データの挿入」と「最小データの探索･削除」）
2分探索木 T
（必要な操作：「データの挿入」と「削除」，および「隣接データの探索」）
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
「空」でスタート
３
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
(4,1)
４
「空」でスタート
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l1の下端点（１，２）を追加
２
完了！
（l1下）
３
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l1の上端点（6，7）を追加
２
完了！
（l1下）
７
（l1上）
３
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l2の下端点（４，１）を追加
２
７
３
l2
l3
(1,2)
(7,2)
１
（l２下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l1上）
大小（上下）関係不整合
→親子で要素を交換
(5,3)
２
（l1下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l2の下端点（４，１）を追加
１
完了！
（l２下）
７
（l1上）
２
（l1下）
３
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l2の上端点（１，４）を追加
１
７
３
４
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l1上）
２
（l1下）
（l2上）
大小（上下）関係不整合
→親子で要素を交換
（場合によっては，さらに上方向へ交換することもある）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l２下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l2の上端点（１，４）を追加
１
完了！
（l２下）
４
３
７
(5,3)
l2
２
(7,2)
（l1下）
（l1上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２
（場合によっては，さらに上方向へ交換することもある）
l3
(1,2)
（l2上）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l3の下端点（３，１）を追加
１
７
３
４
(5,3)
l2
２
(7,2)
（l2上）
１
２
（l1下）
（l３下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l1上）
大小（上下）関係不整合
→親子で要素を交換
l3
(1,2)
（l２下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l3の下端点（３，１）を追加
１
完了！
（l２下）
１
３
４
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l２上）
７
２
（l1下）
（l1上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l3下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l3の上端点（５，３）を追加
１
完了！
（l２下）
１
３
４
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l2上）
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２
（l3下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l4の下端点（７，２）を追加
１
完了！
（l２下）
１
３
４
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l2上）
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２
（l４下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２
（l3下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
探索のための準備
(6,7)
７
(3,6)
６
１．線分の端点をy座標をキーとして
ヒープ H に挿入する．
２．2分探索木 T を空にする．
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
どの順でも良いので，Hへ挿入
例えば，各線分の下端点，上端点の順で挿入
l4
(1,4)
l1
l4の上端点（３，６）を追加
根(root)は最小値→ １
完了！
（l２下）
１
３
４
(5,3)
６
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２
（l４下）
ヒープ完成！
データの最小値は根(root)に保存される
（次に走査線を停止させる座標値がわかる）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l2上）
（l4上）
２
（l3下）
１
２
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
(6,7)
７
(3,6)
６
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
１
最後の要素を
強制的に根へ
３
４
(5,3)
６
l2
２
l3
(1,2)
１
２
２
（l3下）
（l2上）
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２
（l４下）
（l4上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
１
（l２下）
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
l4
(1,4)
l1
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
１
３
４
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
１
２
（l４上）
２
（l3下）
（l2上）
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２
（l４下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
６
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
l4
(1,4)
l1
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
６
３
４
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
１
２
（l３下）
２
（l４上）
（l2上）
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２
（l４下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
１
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
１
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
７
（l1上）
３
（l３上）
２
（l４下）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
（l４上）
（l1下）
（場合によっては，さらに下方向へ交換することもある）
走査線
１
２
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l３下）
３
(4,1)
４
「空」のまま
５
６
７
x
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
１
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
（l1上）
３
（l３上）
２
（l４下）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
７
（l1下）
（場合によっては，さらに下方向へ交換することもある）
走査線
１
２
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l３下）
３
l2を追加
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
完了！
両隣の線分と交差の可能性あり
→チェック→交点をヒープに追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
１
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２
（l４下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
２
（l２上）
最後の要素を
強制的に根へ
l3
(1,2)
（l４上）
（l３下）
３
l2を追加
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
２
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
（l1上）
３
（l３上）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
７
（l1下）
（場合によっては，さらに下方向へ交換することもある）
走査線
１
２
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l4下）
３
l2を追加
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
交点が発見された場合はヒープに追加
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
1.5
４
３
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
１
２
（l4下）
（l４上）
２
（l２上）
７
（l1上）
３
（l1下）
（l３上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
２
（l2とl3）
３
l3を追加
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l3
完了！
両隣の線分と交差の可能性あり
→チェック→交点をヒープに追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
交点が発見された場合はヒープに追加
l4
(1,4)
l1
大小（上下）関係不整合
→親と交換
２
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
７
（l1上）
３
（l３上）
（l1下）
1.5
（l2とl3）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
２
（l２上）
（場合によっては，
さらに上方向へ交換することもある）
l3
(1,2)
（l４上）
（l4下）
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
交点が発見された場合はヒープに追加
l4
(1,4)
l1
さらに大小（上下）関係不整合
→さらに親と交換
２
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
７
（l1上）
３
1.5
（l2とl3）
（l３上）
２
（l1下）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
(7,2)
走査線
１
（l２上）
（場合によっては，さらに上方向へ交換することもある）
l3
(1,2)
（l４上）
（l4下）
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
交点が発見された場合はヒープに追加
l4
(1,4)
l1
1.5
４
３
６
(5,3)
l2
２
１
２
（l1上）
３
（l３上）
２
（l1下）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
(3,1)
０
７
（l4下）
（場合によっては，さらに下方向へ交換することもある）
走査線
１
２
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l2とl3）
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1.5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
1.5
４
３
６
(5,3)
２
(1,2) 走査線
l2
７
（l1上）
３
（l4下）
（l３上）
２
（l1下）
最後の要素を
強制的に根へ
l3
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
２
（l２上）
（l2とl3）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1.5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
２
４
３
６
(5,3)
２
(1,2) 走査線
l2
２
（l２上）
７
（l1上）
３
（l4下）
（l３上）
ヒープ再構成完了！
l3
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
（l１下）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
完了！
交点で線分の左右関係を入替
→隣接線分との交差チェック
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=1.5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
２
４
３
６
(5,3)
２
(1,2) 走査線
l2
２
（l２上）
７
（l1上）
３
（l4下）
（l３上）
ヒープ再構成完了！
l3
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
（l１下）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
完了！
交点で線分の左右関係を入替
→隣接線分との交差チェック
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
l3
(1,2)
(7,2)
７
（l1上）
３
（l1下）
２
（l4下）
最後の要素を
強制的に根へ
（l３上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
（l２上）
２
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
l4
(1,4)
l1
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
l3
(1,2)
(7,2)
（l４上）
（l3下）
２
（l２上）
７
（l4下）
（l1上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
３
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
２
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
７
（l3下）
（l1上）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
３
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l4下）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l3
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
３
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
l3
(1,2)
(7,2)
（l4下）
（l４上）
３
（l２上）
７
（l3下）
（l1上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２
（l１とl２）
１
２
３
l1を追加
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l1
l3
両隣の線分と交差の可能性あり
→チェック→交点をヒープに追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
２
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
７
（l1上）
３
（l3下）
（l１とl２）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
３
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l4下）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
l3
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
l3
(1,2)
(7,2)
７
（l1上）
３
（l４下）
３
（l3下）
最後の要素を
強制的に根へ
（l１とl２）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
（l２上）
２
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
l3
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
３
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
７
（l3下）
（l1上）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
３
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l１とl２）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
l3
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=2とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
３
４
３
６
(5,3)
走査線
２
l2
７
（l3下）
（l1上）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
３
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l４上）
（l１とl２）
１
２
３
l4を追加
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l1
l3
交点で線分の左右関係を入替 l４
→隣接線分との交差チェック
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
４
走査線
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
３
（l２上）
７
（l1上）
（l１とl２）
（l3下）
最後の要素を
強制的に根へ
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
３
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
l4
(1,4)
l1
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
４
走査線
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l1上）
３
（l２上）
（l3下）
（l４上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
７
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
３
４
走査線
６
(5,3)
l2
２
（l１下）
（l４上）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
７
（l２上）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l３上）
１
２
３
l2
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
３
４
走査線
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
７
（l２上）
（l１下）
（l４上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
l2
(4,1)
l1
０
（l３上）
１
２
３
４
５
６
７
l3
x
交点で線分の左右関係を入替 l４
→隣接線分との交差チェック
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
３
４
走査線
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
７
（l２上）
（l１下）
（l４上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l３上）
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l3
完了！
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
４
走査線
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l３下）
７
（l１下）
最後の要素を
強制的に根へ
（l４上）
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l２上）
３
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
l4
(1,4)
l1
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
６
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
４
走査線
（l４上）
７
（l２上）
（l１下）
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
l4
(1,4)
l1
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
６
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
４
走査線
（l４上）
７
（l２上）
（l１下）
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
４
６
走査線
（l２上）
７
（l４上）
（l１下）
(5,3)
l2
２
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l3
l４
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
交点のy座標を追加
５
４
（l２上）
（l１とl４）
６
走査線
７
（l４上）
（l１下）
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l3を削除
(4,1)
４
５
x
l1
l2
×
l3
l４
上端点なのでl3を削除
隣接線分の交差チェック→l1とl4の交点をヒープへ追加
６
７
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
４
６
走査線
５
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
７
（l４上）
（l１とl４）
（l１下）
大小（上下）関係不整合
→親と交換
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l２上）
１
２
３
l3を削除
(4,1)
４
５
x
l1
l2
×
l3
l４
上端点なのでl3を削除
隣接線分の交差チェック→l1とl4の交点をヒープへ追加
６
７
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
４
５
走査線
６
(5,3)
l2
２
（l１下）
（l４上）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
７
（l１とl４）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l２上）
１
２
３
l3を削除
(4,1)
４
５
x
l1
l2
×
l3
l４
上端点なのでl3を削除
隣接線分の交差チェック→l1とl4の交点をヒープへ追加
６
７
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
３
走査線の停止位置は y=3とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
４
５
走査線
６
(5,3)
l2
２
（l１下）
（l４上）
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
７
（l１とl４）
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（l２上）
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l4
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=4とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4) 走査線
l1
５
３
６
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（l2下）
７
（l１下）
最後の要素を
強制的に根へ
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
（l１とl４）
４
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l2
l4
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=4とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4) 走査線
l1
６
５
３
l2
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l１下）
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
l3
(1,2)
７
（l１とl４）
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
(5,3)
２
（l４上）
１
２
３
l2を削除
(4,1)
４
５
６
７
x
×
l2
l1
l4
上端点なのでl2を削除
隣接線分の交差があればヒープへ追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=4とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4) 走査線
l1
５
６
（l１とl４）
７
（l４上）
（l１下）
３
(5,3)
l2
２
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l2を削除
(4,1)
４
５
６
７
x
×
l2
l1
l4
上端点なのでl2を削除
隣接線分の交差があればヒープへ追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
走査線
５
４
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
走査線の停止位置は y=5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
５
６
３
l2
l3
(1,2)
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l１下）
最後の要素を
強制的に根へ
(5,3)
２
７
（l４上）
（l１とl４）
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l4
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
走査線
５
４
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
走査線の停止位置は y=5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
７
６
３
l2
（場合によっては，
さらに下方向へ交換することもある）
l3
(1,2)
(7,2)
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
（l４上）
大小（上下）関係不整合
→子の小さい方と交換
(5,3)
２
（l１下）
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l4
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
走査線
５
４
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
走査線の停止位置は y=5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
６
７
（l４下）
（l１上）
３
(5,3)
l2
２
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
l4
交点で線分の左右関係を入替
→隣接線分との交差チェック
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
(3,6)
６
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
走査線
５
４
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
走査線の停止位置は y=5とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
６
７
（l４下）
（l１上）
３
(5,3)
l2
２
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l4
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
走査線 (3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=6とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
６
７
３
（l１上）
（l4下）
最後の要素を
強制的に根へ
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l4
(4,1)
４
５
６
７
x
l1
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
７
走査線 (3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=6とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
７
（l１上）
３
(5,3)
l2
２
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l4を削除
(4,1)
４
５
６
７
x
×
l4
l1
上端点なのでl4を削除
隣接線分の交差があればヒープへ追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
走査線
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=6とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
７
（l１下）
３
(5,3)
l2
２
ヒープ再構成完了！
l3
(1,2)
（場合によっては，下方向へ交換することもある）
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l1
(4,1)
４
５
６
７
x
完了！
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
走査線
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=7とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
３
ヒープ Hが空になった！
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
(7,2)
（走査線上の線分のx座標を保持）
１
(3,1)
０
２分探索木 T
１
２
３
l1を削除
(4,1)
４
５
６
７
x
×
l1
上端点なのでl１を削除
隣接線分の交差があればヒープへ追加
y
交点列挙アルゴリズム実行例
走査線を移動させ，探索実行
(6,7)
走査線
７
(3,6)
６
3. While Hが空でない do
下端点，上端点，交点に
場合わけして交点探索処理
ヒープ H
（次に走査線が停止するy座標を保持）
５
４
走査線の停止位置は y=7とわかったので
ヒープの根を削除してヒープを再構成
l4
(1,4)
l1
３
ヒープ Hが空になった！
(5,3)
l2
２
l3
(1,2)
１
(3,1)
０
１
２
３
(4,1)
４
(7,2)
アルゴリズム
終了！
５
６
７
２分探索木 T
（走査線上の線分のx座標を保持）
x 2分探索木も空になった！