Transcript 発表資料 - 名古屋大学

Finger patternのブロック化による
陰的wavelet近似逆行列前処理の
高速化
今倉 暁
曽我部 知広
張 紹良
名古屋大学 大学院工学研究科 計算理工学専攻
Outline

近似逆行列前処理

Wavelet近似逆行列前処理

Finger patternのブロック化 [提案
法]

数値実験 ・ 結果

まとめ ・ 今後の課題
近似逆行列前処理
近似逆行列前処理
偏微分方程式を離散化した際の線形方程式
を前処理付きKrylov部分空間法で解くことを考える.
本研究では, 前処理として以下の近似逆行列前処理を扱う.
M の計算.
最小二乗問題
：M の j 番目の列ベクトル
完全独立・並列化が容易
： I の j 番目の列ベクトル
近似逆行列前処理
 実際に解く上で, M に要求される性質
・・・計算コスト
I. 疎行列である.
II.
が小さい. ・・・近似逆行列の精度
M の非零構造を考える. → A-1の構造を参考にする.
閾値 ： 小
フィルタリングを行う
疎性と精度を両立させたい
0
値
大
閾値 ： 大
0
小
小
0
0
疎性 ： ×
精度 ： ○
値
大
疎性 ： ○
精度 ： ×
Wavelet近似逆行列前処理
Wavelet近似逆行列前処理
～離散wavelet変換（DWT）～
L : 任意パラメータ
Wの非零構造
L = 3214
Wavelet近似逆行列前処理
同値
0
0
W
0
0
0
0
Finger pattern
Finger pattern
(S. C. Hawkins and K. Chen, 2006)
(T. F. Chan et al., 1997)
疎性と精度の両立が可能
Wavelet近似逆行列前処理
近似逆行列前処理
Finger pattern
陰的wavelet近似逆行列前処理
Finger pattern
Wavelet近似逆行列前処理
～wavelet依存性～
 DWTの精度に影響
 近似逆行列の疎性に影響
Daubechies 4 影響が少ない
精度が高い
疎性が低い
計算コストが高い
Haar
精度が低い
疎性が高い
計算コストが低い
Time[s] Sherman
4 (n=1104)
Watt 1 (n=1856)
1.2
0.4
0.4
1.2
1.1
1.0
0.9
0.3
0.8
0.7
0.2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
0.1
0.0
前処理行列
の構築時間
反復法にかかる
時間
本研究では
WaveletをHaarに限定する
116
85
1
Daubechies4
反復
128
87 回数
2
Haar
Finger patternのブロック化
Finger patternのブロック化
～従来法の問題点～
近似逆行列の計算
問題点
近似逆行列の非零構造が
列ごとに異なる為, 異なる
部分行列に対して, QR分解
を合計n 回行う必要がある.
陰的法を例に・・・
最小二乗問題
QR分解の結果を再利用する
為に, Finger patternのブロック
化を提案する.
 QR分解
 後退代入
本研究では, 陰的法に対して
ブロック化を行った.
Finger patternのブロック化
従来法
A(:,Sj)
提案法
mj(Sj)
A(:,Sj)
mj(Sj)
Finger patternのブロック化
～精度比較～
の非零構造
Theorem 1.
Proof.
従来法
提案法
数値実験・結果
数値実験
Test行列
• Poisson3Da
(electromagnetics problem)
n = 13514, Nnz = 352726
• dw8192
(computational fluid dynamics problem)
n = 8192, Nnz = 41746
前処理
• 陰的wavelet近似逆行列前処理[従来法]
• 提案法
• ILU(0)
解法
• GMRES
- 初期近似解
- 停止条件
T
x0= (0,…,0)
-8
|rn|/|r0| < 10
計算環境
• CPU
• メモリ
• コード
: PowerPC G5 2.5GHz
: 4.0GB
: Fortran77
• コンパイラ : g77 –O5
T
b = (1,…,1)
結果
poisson3Da
QR分解
後退代入
ILU(0)の分解
GMRES
12
12
158 158
159 159
160 160
反復回数
57
10
Time[s]
8
2.2倍
6
3.5倍
3.0倍
4
2
0
1.8倍
1.7倍
1.5倍
3
4
6
7
9
10
L= 1 3 2
5 8
4 5
従来法 提案法 従来法 提案法 従来法 提案法 ILU(0)
結果
相
対
残
差
dw8192
― 前処理なし
― 従来法 L=8
― 提案法 L=6
― 提案法 L=7
― 提案法 L=8
― ILU(0)
０
反復回数
５００
結果
dw8192
QR分解
後退代入
ILU(0)の分解
GMRES
25
25
Time[s]
20
15
指数関数的に
計算時間は減少
計算時間が増大
10
5
449
０0 L=
６1
316
７2
提案法
230
８3
484 反復回数
4
ILU(0)
まとめ・今後の課題
まとめ ・ 今後の課題
陰的wavelet近似逆行列前処理に対して, finger pattern
のブロック化を行った.
最小二乗問題でのQR分解の結果を再利用すること
により, 全体で約1.5倍高速化された.
また, 従来法では収束しない問題に対しても収束す
る場合もみられた.
提案法は従来法に代わる有効な解法になり得る.
今後の課題
前処理行列の構築の更なる高速化
アルゴリズムの並列化及び実装