Transcript - 神田研究室

ブラックホール摂動論と
重力波解析
大阪大学 宇宙進化研究室
佐合 紀親
重力波物理冬の学校
/第4回TAMAシンポジウム
2005.2.16-19 大阪市立大学
目次
1.
2.
3.
4.
5.
導入
Regge-Wheeler-Zerilli formalism
Teukolsky formalism
ブラックホール準固有振動
まとめ
1. 導入
重力波源の候補
周期的、準周期的な重力波源
•コンパクト天体の連星系 (WD,NS,BH)
•星の大質量ブラックホールへの落下
•回転中性子星
バースト的重力波源
•コンパクト天体連星の合体
•星の重力崩壊 (超新星、ガンマ線バースト)
その他の重力波源
•インフレーション、相転移起源の背景重力波
•裸の特異点
理論波形の必要性
観測データ
x(t )  s(t )  n(t )
重力波信号
ノイズ
重力波信号はノイズに埋もれている!!
Matched filtering
観測データと理論波形の相関を取る。
~
~

x ( f )h * ( f )
  2 df
Sn (| f |)
~
x ( f ) : データのフーリエ成分
~
h ( f ) : 予測した理論波形
Sn ( f ) : ノイズスペクトル
* は複素共役の意
s(t ) と h(t ) が一致している
s(t ) と h(t ) にずれがある
 は重力波の振幅
 は小さくなる
観測データから効率良く、高精度で情報を引き出す
ためには理論波形を正確に求めておく必要がある。
重力波波形の解析法
同質量程度の連星系の場合
Inspiral phase :
ポストニュートン法
(v/c) で展開
merging phase :
数値相対論
Einstein eq.を数値的に解く。
非線形の効果が重要な場合
ringdown phase :
ブラックホール摂動法
中心BHの重力場が支配的
(背景時空) + (摂動)
重力場の方程式
•時空の計量 (時空を記述する)


ds  g dx dx
2
,  0,1,2,3
•Einstein方程式 (計量を決める方程式)
1
G  R  g R  8T
2
2 g, (g)(g) で構成される
•10本の連立偏微分方程式
•計量テンソルの10成分がカップル
•計量について非線形
0 : 時間成分
(1,2,3) : 空間成分
厳密解
•Minkowski解 (平坦な時空)
ds2  dt 2  dx2  dt 2  dr 2  r 2 (d 2  sin 2 d 2 )
•Schwarzschild解 (球対称、真空解)
ds2
2M  2 
2M 
 1 
dt

1




r 
r 


1
dr 2  r 2 (d 2  sin 2  d 2 )
•Kerr解 (軸対称、真空解)
2Mr  2 4Marsin2 


ds  1 
dtd  dr2
dt 

 


 2

2Ma2 r
2
2
2
2
 d   r  a 
sin2  
sin

d





2
  r 2  a2 cos2  ,   r 2  2Mr  a 2
Einstein方程式の線形化
•計量の摂動
(b)
g  g
 h
背景時空
Schwarzschild, Kerr(真空解)
摂動
(b)
(1)
G [ g ]  G [ g
]  G
[h ]  O(h2 )
•エネルギー運動量テンソル
(b)
(1)
T  T
 T
(b)
は背景時空を作る
T
•線形化されたEinstein方程式
(1)
(1)
G
[h ]  8T

(b)
h  h  12 g
h

1
(b)  |
(b)
 h| |  h  |  h |  g
h |  2R
h   8T(1)
2
ゲージ自由度
x


perturbed spacetime
x
(b)
g  g
 h
(b)
g
background
摂動入り時空上の各点を背景時空へ写像。
(各点の座標値 x が与えられる)
摂動は背景時空上のテンソル場と捉える。
この写像には自由度がある。 (ゲージ自由度)
写像の取替え
ゲージ変換
x  x  x   
ゲージ変換は無限小座標変換で表現される。
Einstein方程式の線形化 (flat case)


1
 h , ,  h  ,  h ,  h  , ,  8T(1)
2
ゲージ変換 (無限小座標変換)
x  x  x   
  h   ,   ,   ,
h  h
調和ゲージ条件 (Lorentzゲージ条件)
ゲージ方程式
  , ,  h  ,
(但し、
h  ,  0
 ,
,
 0 の自由度残る)
調和ゲージ上での線形化Einstein方程式
 2 2 2 2 
  16T(1)
  2  2  2  2 h
 t x y z 
Transverse-traceless(TT)ゲージ
平面波解
h ( x)  A exp[ik x ];
場の方程式
調和ゲージ条件
k k   0
A k   0
ゲージ変換 (残った  , ,  0 の自由度を決める)
   B exp[ik x ]
この変換により、

  i B k  B k  B k
A  A

B の自由度を用いて以下のようなゲージを取ることができる。
  0;
A0  0, A   A

3
j

A
k
ij
 0
j 1
波数 k について重ね合わせを考えると、
h0TT  0, h T T  0;
3
T T, j
h
ij
 0
j 1
(TT gauge)
重力波の偏極
TTゲージはゲージ自由度が固定されている。
重力波の真の物理的自由度を表す。
Cartesian座標、z-軸正方向に進む平面波を考える。
h h
TT
ij
TT
ij
 A exp[ik(t  z)];
TT
ij
k  (k,0,0, k ),
3
TT j
A
ij
 k 0
j 1
3
A
k  0, AT T  0
TT j
ij
j 1
 Axx

AijT T   Ayx
 0

Axy 0 

Ayy 0 ; Axy  Ayx , Axx   Ayy
0 0 
独立成分は Axx,Axy の2つ
重力波の物理的自由度は 2
重力波の偏極 II
重ね合わせ後、計量は以下の様に書ける。
ds2  dt 2  (1 h )dx2  (1 h )dy2  2hdxdy  dz2
h  h (t  z), h  h (t  z)
y
y
x
x
z
×-mode
+-mode
極座標、動径方向に進む重力波の場合、

ds2  dt 2  dr 2  r 2 (1 h )d 2  (1 h ) sin 2 d 2  2h sin dd

曲がった時空の場合


1
(b)  |
(b)
 h| |  h  |  h |  g
h |  2R
h   8T(1)
2
調和ゲージ条件
h
|
|
h |  0
(b)
(1)
 2R
h   16T
偏微分→共変微分
リーマンテンソル項
1 (b)
h  h  g
h
2
各成分は独立ではない。
変数分離も非自明。
平坦の場合と違い、調和ゲージでは簡単に解けない。
単純に平面波解を用いることができない。
うまいゲージを選ぶ、方程式の変形等工夫が必要。
Regge-Wheeler-Zerilli formalism for Schwarzschild case
Teukolsky formalism for Kerr case
2. Regge-Wheeler-Zerilli
formalism
Regge and Wheeler, Phys. Rev. 108, 1063 (1957)
Zerilli, Phys.Rev. D 2, 2141 (1970)
曲がった時空における摂動方程式
•Schwarzschild解 (静的、球対称、真空解)
ds2
2M  2 
2M 
 1 
dt

1




r
r




1
dr 2  r 2 (d 2  sin 2  d 2 )
背景時空が曲がっている場合、線形化Einstein方程式は、
h
|
|
(b)
(1)
 2R
h   16T
(調和ゲージ)
調和ゲージのゲージ不定性。
平面波解を用いることができない。
Strategy
1. 球面調和関数展開による変数分離。
2. 自由度を固定できるゲージ条件を課す。
3. ゲージ不変量に対する方程式の導出。
テンソル球面調和関数展開
•球対称時空中のスカラー場
( x )  m (t, r)Ym ( ,)
m
角度依存性を球面調和関数で分離できる
テンソル場の場合も、角度依存性をうまく分離できる。
10
(i )
(i )
h ( x  )   hlm
(t , r )(Ylm ) 
i 1 lm
(i )
Ylm
() : テンソル球面調和関数
(球面調和関数から作られる対称テンソル)
odd parity (1)1
even parity (1)
X m  2
 2
  

1 2 


Y

cot

Y
,
W


cot



 m m  2
2
2  m
  




sin






摂動、エネルギー運動量テンソルのテンソル球面調和関数展開
摂動方程式に代入
(,) 依存性を分離、(t,r) の偏微分方程式にできる。
さらに、時間についてもFourier展開できる。

hm (r)   dthm (t, r)eit ,

ゲージ変換
•ゲージ変換
x  x  x   
Ym

, sin  Ym 
sin 


m

(even)
 M 0m (t, r )Ym , M1m (t, r )Ym , M 2m (t, r ) Ym , M 2m (t , r )Ym 


(odd)
  m (t, r )0,0,
m
•ゲージ変換による摂動の変化
  h  2( )
h  h
ゲージ変換 (odd part)
任意のゲージにおける摂動
ゲージ変換による摂動の変化
i
m (t, r)   h2m (t, r) と選ぶことで dm-termを消去可能。
2
ゲージ変換 (even part)
r2
M 2m (t , r )   Gm (t , r )
2
M 0m (t , r )  h0(e)m (t, r )  t M 2m (t, r )
 M 2m (t , r ) 
2
M1m (t, r )  h1(e)

m (t , r )  r  r 
r2


b(0)
m , bm , f m -termを消去できる。
Regge-Wheelerゲージ
4つのゲージ自由度を用いて以下のようなゲージを選ぶ。
RW
RW
RW
h0(e)
 h1(e)
 GRW
m
m
m  h2m  0
(Regge-Wheeler gauge)
テンソル球面調和関数の最も複雑な項を消去
ゲージが完全に固定される。
•場の方程式
odd part : h0m , h1m に対する方程式 (Fourier変換後)
(bianchi恒等式により、実質2本の方程式)
ここで、
とすると以下の方程式に帰結される。
d 2 R(odd)
2
(RW)
(odd)
(odd)
m

[


V
(
r
)
]
R

S

m
m
dr*2
(Regge-Wheeler方程式)
 2M  (  1) 6M 
V( RW) (r )  1 
 3 

2
r  r
r 

S(odd)
m : エネルギー運動量テンソルから求められるsource term
R(odd)
m はゲージ不変量
重力の物理的自由度に対応
even part : H0m , H1m , H2m , Km に対する方程式
odd partより複雑だがやはり一本の方程式に帰結できる。
d 2 R(even)
2
(Z)
(even)
(even)
m

[


V
(
r
)
]
R

S
(Zerilli方程式)


m


m
2
dr*
  ( 1)(  2) / 2
H0m , H1m , H2m , Km は適切な微分演算を行うことで得られる。
…
R(even)
m もゲージ不変量
R(odd/even)
m
重力の物理的自由度2
遠方での重力波の評価
RWゲージでの摂動をそのまま用いることはできない!
例えば、 h0  O(r), h1  O(r) から、
(odd)
h
h0c(0)
h1cm
 m 
 O(r)
r
r
Cartesianに直すとh～O(1)
摂動が～O(1/r)となるようなゲージへ変換。
•無限遠方での摂動
(Zerilli ’70)

ds2  dt 2  dr 2  r 2 (1 h )d 2  (1 h ) sin 2 d 2  2h sin dd
 (even) 2 A(odd)
1 
m  i ( r*t )

e
h  ih 
d (  1)  Am 
2Ym



2r
 
m

*
R(odd/even)
r
 A(odd/even)
eir* , 2Ym 
m
m
1
i


X m 
Wm 
sin 
2 (  1) 


RWZ formalismのまとめ
フーリエ、球面調和関数展開
適切なゲージの選択
場の方程式を動径方向に関する一次元問題に帰結。
d 2 R(odd/even)
2
(RW/Z)
(odd/even)
(odd/even)
m

[


V
(
r
)
]
R

S

m
m
dr*2
適切な微分演算により展開係数を得る。
ゲージ変換により、重力波を評価できるゲージへ移す。
3.Teukolsky formalism
S.A.Teukolsky, Astrophys. J. 185, 635 (1973)
T.Nakamura, K.Oohara, and Y.Kojima, PTP Suppl. 90, 110 (1987)
S.Chandrasekhar, Mathematical Theory of Black Holes
Kerr時空における摂動方程式
•Kerr解 (定常、軸対称、真空解)
2Mr  2 4Marsin2 


ds  1 
dtd  dr2
dt 

 


 2

2Ma2 r
2
2
2
2
2

 d  
r

a

sin

sin

d






2
   r 2  a 2 cos2  


2
2


r

2
Mr

a


Kerr caseにおいて摂動方程式はさらに複雑になる。
球面調和関数
spheroidal harmonics
(テンソル球面調和関数に対応する
spheroidal tensor harmonicsは知られていない)
RWゲージのような便利なゲージがない。
Newman-Penroseにより導入されたゲージ不変量  4 に注目。
重力の物理的自由度
•リーマンテンソル : 代数的独立成分 20個
時空の曲率を表すテンソル
2
2
計量の２階微分で表現される。 R  O  g, (g)


R  g[ R ]  g [  R ]  13 g[ g ] R  C
リッチテンソル : 代数的独立成分 10個


R  g R, R  g R
アインシュタイン方程式により
物質項と直接結びついている。
1
R  g R  8T
2
ワイルテンソル C : 代数的独立成分 10個
リーマンテンソルの残りの成分
真空の場合でもゼロではない
重力の物理的自由度を表す。
テトラッド
•テトラッド : 時空を張る4つの規格直交ベクトル
e(a)e  (a) , e(a)e(a)  

(b)
(b)
•光的テトラッド : 光的なベクトルで構成されるテトラッド
l l   n n  m m  m m   0
(m は複素ベクトル)
 l n  m m   1,
l m  l m   n m  n m   0
例えば、Kerr時空の場合、以下のように選ぶことができる。
 r 2  a2
 r 2  a2
a

a 



l  
, 1, 0, 
,
n

,

,
0
,

 2

2

2






1
i 

m 
 ia sin , 0,1,

sin 
2 r  ia cos  

(Kinnersley’s null tetrad)
  r 2  a 2 cos2 
  r 2  2Mr  a 2
光的テトラッド
t
n

l
 
l  n

r
b
a

m 
1
2
(a  ib )
Newman-Penrose quantities
•Newman-Penrose形式 Newman and Penrose, J. Math. Phys. 3, 566 (1962)
光的テトラッドを基底として用いる解析手法
輻射の問題を扱うのに便利
•ワイルスカラー
 4  C n m n m 
(ゲージ変換に対して不変な量)
•ワイルスカラーと重力波の関係
無限遠方において、

ds2  dt 2  dr 2  r 2 (1  h )d 2  (1  h ) sin 2 d 2  2h sin dd
l   (1,1,0,0), n  ( 12 , 12 ,0,0), m 
h , h
1
2r

(0,0,1, sini  )
は (t-r) (outgoing) の関数
この時、
4
1 
 )
 (h  ih
2
r h  t h , r h  t h を用いた。
Teukolsky方程式
Newmann-Penrose形式を用いて 4 に対する方程式を導出。
s  4Ts
(T euk)
L
2   4 (r  ia cos )4
  r 2  a 2 cos2 
T : T から決まる物質項
変数分離可能な方程式!!

s   d s Rm (r)s Sm ( )eit im

m
背景時空の定常、軸対称性によりフーリエ展開可能
Teukolsky方程式 II
•分離後の各成分に対する方程式
動径方向 (radial Teukolsky eq.)
  r 2  a2 cos2  ,   r 2  2Mr  a2 , K  (r 2  a2 )  am
角度方向 (spheroidal eq.)
s
Sm ( ) : spheroidal harmonics


0
 : 変数分離定数
d sin  s Sm ( )  1 (規格化条件)
2
   / 2 で正則 (境界条件)
Teukolsky方程式の漸近解
•Teukolsky方程式の動径方向


 d2
 s/2 2 2

V
(
r
)
 dr 2
  r  a s Rm (r )  0
 

dr
r 2  a2

dr r 2  2Mr  a2
無限遠方 r   (r  )
2is
V (r)   
r
2
s
Rm (r)  A
in
m
ir*
eir*
out e
 Am 2s1
r
r
地平線 r  r  M  M 2  a2 (r  )
 is(r  M ) 
V (r)  k 
2Mr 

k  
ma
2Mr
2
ikr*
e
in
out ikr*

B
s Rm (r )  Bm

m e
s

遠方での重力波の評価
無限遠方において、動径方向の同次解は、

3
2 Rm (r )  Am r exp(ir )
dr
r 2  a2
 2
dr r  2Mr  a2
一方、
(r  a cos ) 2  4
4
h  ih  

2
r
4

d

r
2


m
Rm (r )

m
d

2
Am

2
2 2
1 
 )

 (h  ih
2
r 
2
Sm ( ) exp[it  im ]
Sm ( ) exp[i(r  t )  im ]
Teukolsky formalismのまとめ
Newman-Penroseにより導入されたワイルスカラーに注目。
r 
  ih
 ) / 2
(h
ゲージ不変量、  4 
ワイルスカラーに対する変数分離可能な方程式を導出。
L(T euk)s  4Ts
変数分離により、動径方向、角度方向の方程式を得る。
ワイルスカラーの無限遠方での表式から重力波を評価。
h  ih  
2


d
4
r 
m
2
Rm (r)

2
2
Sm ( ) exp[it  im ]
4.ブラックホール準固有振動
Quasi-Normal Mode とは
S.Chandrasekhar and S.Detweiler, Proc. r. Soc. Lond. A. 344, 441 (1975)
•複素振動数を持つ
h(t )  A exp(it )  Ae
Im( )t
exp[i Re()t ]
実部が共鳴振動数を、虚部が減衰率を表す。
•無限遠方で外向き、地平線では内向きの波
BH
無限遠方では外向きの重力波のみ
(系外からの入射波は考えない)
GW
horizonでは内向きの重力波のみ
(BHからの放出はない)
無限遠方
QNM振動数の求め方
E.Leaver, Proc. r. Soc. Lond. A. 402, 285 (1985)
•動径方向の方程式
2
d  1 dRm 

  V (r ) Rm  0
dr   dr 
QNMの条件を満たす解を求める。
•地平線近傍での級数展開
 r  r 
Rm (r)  eir (r  r )12i2i (r  r )22i an 

 r  r 
n0

k  
ma
M 
ma 
,
r 

2Mr
r  r 
2M 
漸近形は、
 r 32i eir  r 3eir (r  )
Rm  
22i
2 ikr
(
r

r
)


e
(r  r )


無限遠方で外向き、地平線で内向きになっている。
n
QNM振動数の求め方 II
•展開係数についての漸化式
0a1  0a0  0,
n an1  n an   n an1  0, (n  1,2,)
n , n ,  n は a,m,, の含む関数
連分数方程式
0  0 
0 1
0 1 1 2
 0 

1 2
1  2 
1 

2  2 3
3  
この方程式を満たす  に対して、級数は収束。
QNM振動数
Leaverの方法の利点
, m, a を固定して、 の解を探す。
0  0 
0 1 1 2 2 3

1  2  3 
•連分数は収束性良い。
有限回の計算で十分な精度が得られる。
•数値積分が不要。
計算時間が短い。
高精度の計算が可能。
QNM (Schwarzschild case)
:  2
:  3
least damped mode
1  0.747343 0.177925i
(  2)
1  1.198887 0.185406i
(  3)
Fig.1 in Leaver Proc. R. Sco. Lond. A402, 285 (1985)
QNM (Kerr case)
QNMの a 依存性
  m  2 の場合の
n  1,2,3,4,5 mode
m= モードは、
a→0.5の極限で
実振動数  へ縮退
(Leaverの論文ではaを
2Mで規格化しているの
で a  0.5 )
Fig.3 in Leaver Proc. R. Sco. Lond. A402, 285 (1985)
=2, least damped modeのKerr parameter依存性
Schwarzschild case (a=0) では縮退
Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)
ringdown重力波波形
QNM振動数は離散的なので、
2
Amn
h  ih    2 2 Smn ( ) exp[in (r  t )  im ]
r mn
n
=m=2, least damped modeに注目すると、
~
h  ih  A(r, ,)eIm(1 )t exp[i Re(1)t]
fc 
Re(1 )
Re(1 )
, Q
2
2 | Im(1 ) |
とおくと、
h(t )  efc (t t0 ) / Q cos[2fc (t  t0 )  0 ]
Leaverの結果をフィッティングすることで、
1
 M 
fc  32kHz[1 0.63(1 a)0.3 ]
 , Q  2.0(1 a)0.45
 Msun 
F.Echeverria, PRD 40, 3194 (1989)
(ここでの a は M で規格化しているので a  1 )
5.まとめ
まとめ : RWZ formalism
•摂動のテンソル球面調和関数展開、フーリエ展開
時間、角度依存性を分離
•Regge-Wheelerゲージの導入
ゲージ自由度を完全固定
摂動方程式をゲージ不変量に対する一次元問題に帰結。
d 2 R(odd/even)
2
(RW/Z)
(odd/even)
(odd/even)
m

[


V
(
r
)
]
R

S

m
m
dr*2
•ゲージ不変量と遠方での重力波の関係
 (even) 2R(odd)
1 
m  it

e 2Ym
h  ih 
d (  1)  Rm 

2r  m
 

まとめ : Teukolsky formalism
•ワイルスカラーを導入
ゲージ不変量、遠方での重力波と関連

  ih
 ) / 2
 4 r
(h
•ワイルスカラーに対する変数分離可能な方程式を導出。
L(T euk)s  4Ts
•変数分離により動径方向、角度方向の方程式を導出。
•遠方での重力波
h  ih  
2


d
4
r 
m
2
Rm (r)

2
2
Sm ( ) exp[it  im ]
まとめ : ブラックホール準固有振動
•ブラックホール固有の振動モード
境界条件
無限遠方で外向きの波
地平線で内向きの波
 r 32i eir  r 3eir (r  )
Rm  
22i
 2eikr (r  r )
(r  r )
(系外からのエネルギー注入なし)
複素数振動数を持つ。
実部 : 固有振動数 虚部 : 減衰率
•Leaverの方法
連分数の収束性を利用した計算手法
高い精度でQNM振動数を求められる。
補足
平坦な時空の場合
背景時空が平坦(Minkowski)の場合、
h
|
|
(b)
(1)
 2R
h   16T
 2 2 2 2 
  2  2  2  2 h  16T(1)
 t x y z 
遅延解 (retarded solution)
(1)
T
(t  | x  x |, x)

3
h  4 d x
| x  x |
変数分離定数の求め方
E.D.Fackerell and R.G.Crossman, J. Math. Phys. 9, 1849 (1977)
角度方向の方程式 x  cos ,   a, E    s(s 1)   2  2m
2

 
d
m2  s 2  2msx
2 d
2 2
(
1

x
)

2
x


x


2
s

x

E
s Sm ( x)  0


2
2
dx
dx
1 x


境界条件 : x  1で正則
変数分離定数 E に対する固有値問題
Jacobi多項式で展開
 /2

x  1  x 
s Sm ( x)  e 

 2 
 1 x 


 2 
 /2 

s
A(mn) ( )Pn( , ) ( x)
n0
ここで、   m  s ,   m  s
( ,  )
n
P

(1)n
d
( x)  n (1  x) (1  x)   (1  x) n (1  x)  n
2 n!
 dx 
n

変数分離定数の求め方 II
•展開係数についての漸化式
0 s A(m1)  0 s A(m0)  0,
n s A(mn1)  n s A(mn)   n s A(mn1)  0, (n  1,2,)
 
 
 





3
0
1
1
2
2

0  0  



1  2  3 
固定した
, m, a に対して固有値 E を決める方程式
QNM (Kerr case)
Im()
QNMの a 依存性
  m  2 の場合の
n  1,2,3,4,5 mode
m= モードは、
a→0.5の極限で
実振動数  へ縮退
Re()
Fig.4 in Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)
QNM (Kerr case)
Im()
QNMの a 依存性
  m  1 の場合の
n  1,2,3,4,5 mode
Re()
Fig.3 in Onozawa, PRD 55, 3593 (1997)