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1
スポーツスケジューリング問題
１９９３年Ｊリーグの再スケジューリング
ｖer. 6.0
東京大学 宮代隆平
東京大学 松井知己
卒論に! 1993とは？
2
1993年Ｊリーグ
1993年：Jリーグ開幕(前半戦)
10チーム２重総当たりリーグ戦
K:鹿島アントラーズ（予想５位）
V:ヴェルディ川崎（予想２位）
M:横浜マリノス（予想１位）
E:清水エスパルス（予想３位）
J:ジェフユナイテッド市原
S:サンフレッチェ広島
F:横浜フリューゲルス
G:ガンバ大阪
N:名古屋グランパスエイト（予想４位）
R:浦和レッドダイヤモンズ
2重総当り戦とは？
3
2重総当りリーグ戦
チーム数ｎ（ｎは偶数）
• 各チーム対は,双方のホームグラウンドで1回ずつ
（計2回）戦う．
• 各試合日に (ｎ /２) 試合を平行して行う.
• ２(ｎ －１）試合日ですべての試合が終了する．
４チームのスケジュール
1
A:C
B:D
C:A
D:B
2
D
C
B
A
3
B
A
D
C
4
D
C
B
A
5
B
A
D
C
6
C
D
A
B
BとDは第１試合日を
Bの本拠地で戦う．
4
1993年のＪリーグ前半戦のスケジュール
２重総当りリーグ戦
1 2 3 4 5 6 7 8
K: N F E V G J M R
V: M J S K R E F N
M: V G N S J R K E
E: F S K G N V J M
J: S V G R M K E F
S: J E V M F N R G
F: E K R N S G V J
G: R M J E K F N S
N: K R M F E S G V
R: G N F J V M S K
9101112131415161718
S F N V G J M R S E
G J M K R E F N G S
F G V S J R K E F N
R S F G N V J M R K
N V S R M K E F N G
K E J M F N R G K V
M K E N S G V J M R
V M R E K F N S V J
J R K F E S G V J M
E N G J V M S K E F
読み方
5
スケジュールの見方
計10チーム
各日に５試合行い,18試合日で2重総当りリーグ戦を行う.
各チーム対は,双方のホームグラウンドで１回ずつ戦う.
RとGは第１試合日をRの本拠地で戦う．奇数試合日は週末．
K:
V:
M:
E:
J:
S:
F:
G:
N:
R:
1
N
M
V
F
S
J
E
R
K
G
2
F
J
G
S
V
E
K
M
R
N
3
E
S
N
K
G
V
R
J
M
F
4
V
K
S
G
R
M
N
E
F
J
5
G
R
J
N
M
F
S
K
E
V
6
J
E
R
V
K
N
G
F
S
M
7
M
F
K
J
E
R
V
N
G
S
8
R
N
E
M
F
G
J
S
V
K
9101112131415161718
S F N V G J M R S E
G J M K R E F N G S
F G V S J R K E F N
R S F G N V J M R K
N V S R M K E F N G
K E J M F N R G K V
M K E N S G V J M R
V M R E K F N S V J
J R K F E S G V J M
E N G J V M S K E F
ミラーリング
6
ミラーリング
1
A:C
B:D
C:A
D:B
2
D
C
B
A
3
B
A
D
C
4
D
C
B
A
5
B
A
D
C
6
C
D
A
B
前半n -1試合を作れば，後半n -1試合は，
前半のスケジュールの試合場を交代した
ものを付ければ良い．
7
1993年前半戦スケジュールのミラーリング
K:
V:
M:
E:
J:
S:
F:
G:
N:
R:
1
N
M
V
F
S
J
E
R
K
G
2
F
J
G
S
V
E
K
M
R
N
3
E
S
N
K
G
V
R
J
M
F
4
V
K
S
G
R
M
N
E
F
J
5
G
R
J
N
M
F
S
K
E
V
6
J
E
R
V
K
N
G
F
S
M
7
M
F
K
J
E
R
V
N
G
S
8
R
N
E
M
F
G
J
S
V
K
9101112131415161718
S F N V G J M R S E
G J M K R E F N G S
F G V S J R K E F N
R S F G N V J M R K
N V S R M K E F N G
K E J M F N R G K V
M K E N S G V J M R
V M R E K F N S V J
J R K F E S G V J M
E N G J V M S K E F
問題点
8
総当りリーグ戦とグラフ
各チームを頂点とする完全グラフ．
各枝は試合に対応する．
各試合日には，全てのチームが１試合を戦う．
各試合日の試合は，グラフ上の完全マッチング．
F
F
A
E
A
E
B
D
B
D
C
C
9
総当り戦とマッチング
F
F
A
B
E
D
B
A５
E
A
B
D
B
C
E
A
D
B
１
C
C
F
F
A
F
２
C
F
E
A
D
B
ミラーリング
３
E
D
C
１２３４５ ６７８９10
A：B C D E F B C D E F
B：A D F C E A D F C E
C：F A E B D F A E B D
D：E B A F C E B A F C
E：D F C A B D F C A B
F：C E B D A C E B D A
E
４
C
D
10
うまく行かない例
F
F
A
E
B
D
残った試合は
C
F
F
A
B
E
１
D
C
A
B
２
C
E
A
D
B
A
E
B
D
F
３
C
E
D
C
１２３４５
A：B D C
B：A F E
C：F E A
後2日では終わらない
D：E A F
E：D C B
F：C B D
11
円盤の回転
以下のような円盤を回して，試合を決める．
A
A
B E
E
F
D
B E
D
A
B
E
F
F
C
A
B E F
A
C
D
１２３４５
A：F C E B D
B：E F D A C
C：D A F E B
D：C E B F A
E：B D A C F
F：A B C D E
C
D
C
F
D
B
C
12チームの場合
このまま回転を続ける‥‥.
実際のスケジュールは？
12
総当りリーグ戦の作り方
ホームゲーム･アウェイゲームを決める．
A
A
B E
E
F
D
B E
D
A
B
E
F
F
C
A
B E F
A
C
１２３４５
A：F C E B D
B：E F D A C
C：D A F E B
D：C E B F A
E：B D A C F
F：A B C D E
D
C
D
アウェイ
ゲームチーム
C
D
F
B
C
ホーム
ゲームチーム
ブレイク:ホームやアウェイの連続
左図はブレイク総数最小スケジュール
ブレイク総数＝( チーム数 )‐2
実際のスケジュールは？
13
2重総当りリーグ戦の簡単な作り方（円盤＋ミラーリング）
６チーム(A,B,...,F)の例（試合数は 10）
アウェイ
ゲームチーム
A
A
B E
E
F
D
A
E
D
D
C
D
D
A
B E
B E
C
B E
D
C
A
F
F
C
A
C
D
F
B
F
F
C
B E
A
B E F
B E
A
F
D
A
F
C
ホーム
ゲームチーム
D
A
C
ミラーリング
B E
B
F
C
D
C
実際のスケジュールは？
14
2重総当りリーグ戦の簡単な作り方（対戦表）
（ミラーリング）
１２３４５６７８９10
A：F C E B D F C E B D
B：E F D A C E F D A C
C：D A F E B D A F E B
D：C E B F A C E B F A
E：B D A C F B D A C F
F：A B C D E A B C D E
白（ホームゲーム）や 黄(アウェイゲー
ム）
が連続しないのが好ましい．
15
1993年のＪリーグ前半戦のスケジュールの問題点
3連続アウェイゲームがある．
週末のみ見たとき３連続アウェイゲームがある．
MとFのグラウンドは同じ場所（三ツ沢球技場）．
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E
V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S
M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N
E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K
J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G
S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V
F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R
G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J
N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M
R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F
K:鹿島アントラーズ
M:横浜マリノス
本）
J:ジェフユナイテッド市原
F:横浜フリューゲルス（熊
望ましい
16
望ましいスケジュール
( )内数字は,破っている回数.
3連続ホームゲームが無い（２）．
3連続アウェイゲームが無い（１）．
週末のみの3連続ホームゲームが無い（４）．
週末のみの3連続アウェイゲームが無い（４）．
週日のみの3連続ホームゲームが無い（５）．
週日のみの3連続アウェイゲームが無い（５）．
優勝候補との連戦（MV,ME,MN,MK）が無い（８）．
本拠地が同一のチームが同時にホームゲーム
を戦わない（１）．
1,2試合と17,18試合にｈ(ａ)が連続しない（４）．
参考文献
17
既存の研究
G.L.Nemhauser and M.A.Trick,
''Scheduling a Major College Basketball Conference,''
Operations Research, 46 (1998), 1‐8.
参考：
松井知己, 「スポーツのスケジューリング」,
オペレーションズリサーチ，44 (1999), 141－146.
宮代隆平, 松井知己,
「1993年Jリーグの再スケジューリング」,
オペレーションズ・リサーチ, 45 (2000), 81－83.
用語定義
18
用語の定義
スケジュール
1 2 3 4 5 6
B:D C A C A D
A:C D B D B C
C:A B D B D A
D:B A C A C B
タイムテーブル
1 2 3 4 5 6
1:4 3 2 3 2 4
2:3 4 1 4 1 3
3:2 1 4 1 4 2
4:1 2 3 2 3 1
実際の
チーム名が
入っている
ただの番号が
入っている．
ｈａテーブル
1 2 3 4 5 6
1:a a h h a h
2:h h a a h a
3:a h a a h h
4:h a h h a a
h:ホームゲーム
a:アウェイゲーム
性質：ｈａパターンが
同じ行は存在しない.
NT解法
19
Nemhauser and Trick の解法（９チーム）
スケジュール
1 2 3 4 5 6全
B:D C A C A D 列
A:C D B D B C 挙
C:A B D B D A 9!
D:B A C A C B
タイムテーブル
1 2 3 4 5 6
1:4 3 2 3 2 4
2:3 4 1 4 1 3
3:2 1 4 1 4 2
4:1 2 3 2 3 1
3個の
スケジュール
826個の
17個の
タイムテーブル
ｈａテーブル
整
数
計
画
法
ｈａテーブル
1 2 3 4 5 6
1:a a h h a h
2:h h a a h a
3:a h a a h h
4:h a h h a a
整
数
計
画
法
特定チーム
2重総当たり
ｈａの3連続禁止等．
との連戦禁止等. リーグ戦が存在．
タイムテーブルからスケジュールを
直接生成すると9!×826≒3億通り.
再スケジュール
20
1993年Ｊリーグの再スケジューリング
第１試合と，最終試合は，
過去のスケジュールと一致させる．
ミラーリングの場所は，
過去のスケジュールと一致させる．
K:
V:
M:
E:
J:
S:
F:
G:
N:
R:
1
N
M
V
F
S
J
E
R
K
G
2
F
J
G
S
V
E
K
M
R
N
3
E
S
N
K
G
V
R
J
M
F
4
V
K
S
G
R
M
N
E
F
J
5
G
R
J
N
M
F
S
K
E
V
6
J
E
R
V
K
N
G
F
S
M
7
M
F
K
J
E
R
V
N
G
S
8
R
N
E
M
F
G
J
S
V
K
9101112131415161718
S F N V G J M R S E
G J M K R E F N G S
F G V S J R K E F N
R S F G N V J M R K
N V S R M K E F N G
K E J M F N R G K V
M K E N S G V J M R
V M R E K F N S V J
J R K F E S G V J M
E N G J V M S K E F
haテーブル生成
21
ｈａパターンの生成
ミラーリングの後以下を満たすような，
h と a からなる長さ 9 の列
（ｈａテーブルの各行の前半分になるもの）を生成する.
3連続 h と3連続 a を禁止.
週末に4つまたは５つの h を持つ.
前半(9試合目まで)に4つまたは5つの h を含む.
週末の3連続 h と週末の3連続 a を禁止.
週日の3連続 h と週日の3連続 a を禁止.
２４通りしか存在しない．
その24通り
22
24通りのｈａ列
aahhaahha
ahaahahha
ahaahhahh
ahahhahha
haahaahha
hahaahhaa
hahhaahah
hahhahhaa
aahhahhaa
ahaahhaah
ahahhaaha
ahhahaaha
haahahhah
hahaahhah
hahhaahha
hhaahaahh
ahaahaahh
ahaahhaha
ahahhaahh
ahhahhaah
hahaahaah
hahhaahaa
hahhahaah
hhaahhaah
h a h h a h h a a h a a h a a h h a
ここからテーブル生成
23
望ましいＨＡＴ
3連続ホームゲームが無い．
3連続アウェイゲームが無い．
週末のみの3連続ホームゲームが無い．
週末のみの3連続アウェイゲームが無い．
週日のみの3連続ホームゲームが無い．
週日のみの3連続アウェイゲームが無い．
優勝候補との連戦（MV,ME,MN,MK）が無い．
本拠地が同一のチームが同時にホームゲーム
を戦わない．
1,2試合と17,18試合にｈ(ａ)が連続しない．
参考文献
24
ｈａテーブルの生成 （列挙部分）
性質1：実際のスケジュールに対応する
ｈａテーブルは，ｈａパターンが同一の行は無い．
24通りのｈａ列から10チーム分（10本)を選ぶ．
性質2： 各試合日には，
ｈとａが５つづつ存在しなければならない
24C10≒200万通りすべてを生成し，
性質2を満たすもの1,382個を残した.
（200MHz CPU Windows PC で5分）
Nemhauseｒ and Trick：38通りのｈａ列から9本を選ぶ．
整数計画法の許容解を列挙した．
(Sun SPARC-20 CPLEX で1分）
さらに絞る
25
ｈａテーブルの生成 (0-1整数計画部分）
24C10=1,961,256通りすべてを生成し，
性質2を満たすもの1,382個を残した．
1,382個のｈａテーブルそれぞれが，
タイムテーブルを(1つ以上)生成可能かチェックする．
（1つのｈａテーブルから，
複数のタイムテーブルが生成されることが良くある）
208個のｈａテーブルが，残った．
チェックは整数計画法(0-1変数225個，制約135本.)
(200MHｚ Windows PC＋lp solveで1,382問,計30
分）
整数計画法の詳細は後述
もっと絞る(NT以上)
26
ｈａテーブルの生成 (手作業部分）
208個のテーブルに対し，以下の条件を考慮した．
第1,2試合にh(ａ)が連続するチーム数を１以下にする．
第17,18試合にh(ａ)が連続するチーム数を１以下にする．
第1,18試合は過去のものといっしょにする．
チームMとFは同時にホームゲームを戦わない．
上記を満たすｈａテーブルは，208個のうち1個だけ．
しかも以下が分かった．
(1) 6チームは,割り当てる場所（行）が確定される．
(2)残り４チームの割り当て方4!のうち，
タイムテーブルが存在しうるのは４通り
(ただし上記の作業は手作業である．）
Nemhauser and Trick は上記の作業はしていない．
残ったのは？
27
最終的に残ったｈａテーブル
0:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
1
a
a
a
a
a
h
h
h
h
h
2
a
h
h
h
h
a
a
a
a
h
3
h
a
a
a
h
a
h
h
h
a
4
h
a
h
h
a
h
a
a
h
a
5
a
h
h
h
h
a
a
a
a
h
6
a
h
a
a
a
h
h
h
a
h
7
h
a
a
h
a
h
a
h
h
a
8
h
a
h
h
h
a
a
a
h
a
9101112131415161718
a h h a h h a a h a
h a h h a a h h a h
h a h a a h h a a h
a a h a a h a a h h
a a h h a h h a h a
h h a a h a a h a h
h h a h h a h h a a
a h a h h a a h h a
a h a a h h a a h a
h a a h a a h h a h
残った割り当て：
０１２３４５６７８９
割当Ⅰ：ＥＭＲＪＮＫＳＧＦＶ
割当Ⅱ：ＥＭＲＪＮＫＧＳＦＶ
割当Ⅲ：ＥＭＪＲＮＫＳＧＦＶ
割当Ⅳ：ＥＭＪＲＮＫＧＳＦＶ
ｽｹｼﾞｭｰﾙ生成
28
実際のスケジュールを求める
残った割り当て：
０１２３４５６７８９
割当Ⅰ：ＥＭＲＪＮＫＳＧＦＶ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
E:
M:
R:
J:
N:
K:
S:
G:
F:
V:
1
F
V
G
S
K
N
J
R
E
M
2
a
h
h
h
h
a
a
a
a
h
3
h
a
a
a
h
a
h
h
h
a
4
h
a
h
h
a
h
a
a
h
a
5
a
h
h
h
h
a
a
a
a
h
6
a
h
a
a
a
h
h
h
a
h
7
h
a
a
h
a
h
a
h
h
a
8
h
a
h
h
h
a
a
a
h
a
9101112131415161718
a h h a h h a a h K
h a h h a a h h a N
h a h a a h h a a F
a a h a a h a a h G
a a h h a h h a h M
h h a a h a a h a E
h h a h h a h h a V
a h a h h a a h h J
a h a a h h a a h R
h a a h a a h h a S
この表を埋める→整数計画法
29
スケジュールを作る 0-1 整数計画法
ｈａテーブル
1 2 3 4 5 6
B:a a h h h a このhaテーブルに対応する，
A:h h a a a h
スケジュールを求めよう．
C:a h a h a h
D:h a h a h a (ミラーリング)
1 （ AとBが１日目に戦う），
｛
ｘAB1 ＝
0 （ AとBが１日目に戦わない）.
ｘAB1 , ｘAB2 , ｘAB3 , ｘAC1 , ｘAC2 , ｘAC3 ,
ｘAD1 ,ｘAD2 , ｘAD3 , ｘBC1 , ｘBC2 , ｘBC3 ,
ｘBD1 ,ｘBD2 , ｘBD3 , ｘCD1 , ｘCD2 ,ｘCD3 .
30
0-1 整数計画問題
ｘAB1+ｘAB2+ｘAB3 =1, （AとBはどこかで戦う）
ｘAC1+ｘAC2+ｘAC3 =1, （AとCはどこかで戦う）
ｘAD1+ｘAD2+ｘAD3 =1, （AとDはどこかで戦う）
‥‥
ｘCD1+ｘCD2+ｘCD3 =1, （CとDはどこかで戦う）
ｘAB1+ｘAC1+ｘAD1 =1, （１日目Aは誰かと戦う）
ｘAB1+ｘBC1+ｘBD1 =1, （１日目Bは誰かと戦う）
ｘAC1+ｘBC1+ｘCD1 =1, （１日目Cは誰かと戦う）
‥‥
ｘAD3+ｘBD3+ｘCD3 =1, （３日目Dは誰かと戦う）
ｘAC2=ｘAC3=ｘAD1=ｘBC1=ｘBD2=ｘBD3= 0,
}
}
4C2=6本
4×3=12本
残りの変数（１２個）は，0または1を取る.
スケジュールを全部見つける=上記を満たすもの全て見つける
0-1整数計画法 ：0-1変数12個，等式18本.
31
0-1 整数計画法
0-1整数計画法 ：0-1変数12個，等式18本.
(実際に解いたのはは0-1変数225個，等式135本.)
全ての変数が0-1の値を取る．
全探査：変数の数がｎ ならば２ｎ通り．
２225×10-9秒=1053世紀 （宇宙ができて109世紀）
切り分けて，
中を見る．
(分枝限定法)
1
O
1
1
O
1
32
ｽｹｼﾞｭｰﾙの生成
0-1整数計画法 (最初は0-1変数225個，制約135本.)
xmns： チームmが第s試合日にチームnと，
チームmのホームグラウンドで戦うとき１．
それ以外は0となる変数.
ｽｹｼﾞｭｰﾙの生成＝0-1整数計画の全許容解の生成．
１つの解（ｽｹｼﾞｭｰﾙ）が生成されたら，
その解をカットする制約式を１本追加する．
残った割り当て：
生成された
０１２３４５６７８９ ｽｹｼﾞｭｰﾙ数 計算時間
割当Ⅰ：ＥＭＲＪＮＫＳＧＦＶ
18個
6分
割当Ⅱ：ＥＭＲＪＮＫＧＳＦＶ
22個
7分
割当Ⅲ：ＥＭＪＲＮＫＳＧＦＶ
14個
2分
割当Ⅳ：ＥＭＪＲＮＫＧＳＦＶ
18個
4分
計72個
19分
(200MHｚ Windows PC＋lp solve）
72からの選択
33
ｽｹｼﾞｭｰﾙの生成（改1）
0-1整数計画法 (最初は0-1変数225個，制約135本.)
xmns： チームmが第s試合日にチームnと，
チームmのホームグラウンドで戦うとき１．
それ以外は0となる変数.
ｽｹｼﾞｭｰﾙの生成＝0-1整数計画の全許容解の生成．
残った割り当て：
生成された
０１２３４５６７８９ ｽｹｼﾞｭｰﾙ数
割当Ⅰ：ＥＭＲＪＮＫＳＧＦＶ
18個
割当Ⅱ：ＥＭＲＪＮＫＧＳＦＶ
22個
割当Ⅲ：ＥＭＪＲＮＫＳＧＦＶ
14個
割当Ⅳ：ＥＭＪＲＮＫＧＳＦＶ
18個
計72個
(200MHｚ Windows PC＋lp solve）
72からの選択
34
ｽｹｼﾞｭｰﾙの生成（改2）
ｽｹｼﾞｭｰﾙの生成＝0-1整数計画の全許容解の生成．
１つの解（ｽｹｼﾞｭｰﾙ）が生成されたら，
その解をカットする制約式を１本追加する．
例：解（x1，x2，x3，x4，x5）=（1，1，1，0，0）
x1+x2+x3≦2
目的関数一定 目的関数変更
1つの問題
問題を4分割
56時間
20分
13分
5分
（直前に）出力された解の特性ベクトルを目的
関数とし，最小化する．
例：解（x1，x2，x3，x4，x5）=（1，1，1，0，0）
minimize x1+x2+x3
72からの選択
35
ｽｹｼﾞｭｰﾙの選択
７２個のｽｹｼﾞｭｰﾙのうち， 優勝候補との連続対戦が
７箇所以下のものは1個だけ．（過去のは8箇所．）
K:
V:
M:
E:
J:
S:
F:
G:
N:
R:
1
N
M
V
F
S
J
E
R
K
G
2
R
G
S
J
E
M
N
V
F
K
3
E
S
N
K
G
V
R
J
M
F
4
S
J
E
M
V
K
G
F
R
N
5
V
K
G
R
F
N
J
M
S
E
6
F
R
J
S
M
E
K
N
G
V
7
M
F
K
N
R
G
V
S
E
J
8
J
N
F
G
K
R
M
E
V
S
9101112131415161718
G R N S V F M J G E
E G M J K R F N E S
R S V E G J K F R N
V J F M R S N G V K
N E S V F M R K N G
F M J K N E G R F V
S N E G J K V M S R
K V R F M N S E K J
J F K R S G E V J M
M K G N E V J S M F
最終的に選ばれたスケジュール
良さの比較
36
新旧ｽｹｼﾞｭｰﾙの比較
評価項目
3連続ホームゲーム
3連続アウェイゲーム
週末のみの3連続ホームゲーム
週末のみの3連続アウェイゲーム
週日のみの3連続ホームゲーム
週日のみの3連続アウェイゲーム
優勝候補のチームとの連戦
チームMFが同時にホームを使う
1,2試合と17,18試合にｈ(ａ)が連続する
旧
２
１
４
４
５
５
８
１
４
新
０
０
０
０
０
０
７
０
４
NTと解法の比較
37
Nemhauser and Trick の解法（９チーム）の時間
スケジュール
1 2 3 4 5 6全
B:D C A C A D 列
A:C D B D B C 挙
C:A B D B D A 9!
D:B A C A C B
3個の
スケジュール
タイムテーブル
1 2 3 4 5 6
1:4 3 2 3 2 4
2:3 4 1 4 1 3
3:2 1 4 1 4 2
4:1 2 3 2 3 1
826個の
タイムテーブル
9!×826(約3億)通り
のチェック
（24時間）
整
数
計
画
法
ｈａテーブル
1 2 3 4 5 6
1:a a h h a h
2:h h a a h a
3:a h a a h h
4:h a h h a a
整
数
計
画
法
17個の
ｈａテーブル
(826+17)問の0-1IP
（10分）
17問の0-1IP
（1分）
Sun SPARC-20+CPLEX
今回の解法
38
今回 の解法（10チーム）の時間
スケジュール
1 2 3 4 5 6
B:D C A C A D
A:C D B D B C
C:A B D B D A
D:B A C A C B
72個の
スケジュール
整
数
計
画
法
ﾁｰﾑ名の部分割当
1 2 3 4 5 6 整
A:4 3 2 3 2 4 数
B:3 4 1 4 1 3 計
*:2 1 4 1 4 2 画
*:1 2 3 2 3 1 法
1個の
ｈａテーブル
4種類の
ﾁｰﾑ名割当
(72+4)問の0-1IP
（20分）
ｈａテーブル
1 2 3 4 5 6全
1:a a h h a h 列
2:h h a a h a 挙
3:a h a a h h
4:h a h h a a 24C10
1,382個の
ｈａテーブル
列挙
（5
分）
(200MHz Windows PC+ lp solve)
lp solve は摂動オプション
1,382問の0-1IP
（30分）＋手作業
今後の課題
39
今後の課題
手作業の部分は，問題例依存の性質を用いている．
1993年を選んだのは10チームと少なかったから．
今回の方法では16チームは無理！
1999年：２リーグ制
Ｊ1：16ﾁｰﾑ．試合は週末のみ．(1重)総当り戦．
Ｊ２：10ﾁｰﾑ．試合は週末のみ．４重総当り戦．
入っていない因子：
TV放映．グラウンド使用可能日．チーム移動費
用？
消化試合を減らす（好カードを後に残す）．
Nemhauser and Trick の open problem
与えられたｈａテーブルに対応するタイムテーブルはある
か？
NP-complete?
40
スポーツスケジューリングの研究を発展させるために
ホームページの公開 ： 簡略ページ ・ 詳細ページ
研究発表 統計研, 南山大学, 文教大学, 東京大学, 班会議
関連記事の雑誌掲載
サーベイ： 松井知己, 「スポーツのスケジューリング」,
オペレーションズリサーチ，44 (1999), 141－146.
入門編： 宮代隆平, 松井知己,
「1993年Jリーグの再スケジューリング」,
オペレーションズ・リサーチ, 45 (2000), 81－83.
関連研究（者）の交流
東大, 筑波大, 東京理科大, 商船大, 東海大
ナーススケジューリング, クルースケジューリング,
授業時間割作成問題
応用から実務へ？
アルゴリズム, 経験, サポート
小学生でも分かる問題？，いっしょに挑戦しませんか！
41
おわり
42
1993年のＪリーグ前半戦のスケジュール
２重総当りリーグ戦（原本）
1 2 3 4 5 6 7 8 9101112131415161718
K: N F E V G J M R S F N V G J M R S E
V: M J S K R E F N G J M K R E F N G S
M: V G N S J R K E F G V S J R K E F N
E: F S K G N V J M R S F G N V J M R K
J: S V G R M K E F N V S R M K E F N G
S: J E V M F N R G K E J M F N R G K V
F: E K R N S G V J M K E N S G V J M R
G: R M J E K F N S V M R E K F N S V J
N: K R M F E S G V J R K F E S G V J M
R: G N F J V M S K E N G J V M S K E F