Transcript Lista 1

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
´
INSTITUTO DE MATEMATICA
E ESTAT´
ISTICA
DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA
Disciplinas: GGM0127
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GEOMETRIA ANAL´
ITICA E CALCULO
VETORIAL
1a Lista de exerc´ıcios
1. Em cada caso, encontre as coordenadas do vetor ~x:
a) 2(0, 2) + 8~x = (1, −6).
b) 3 [~x − (8, −2)] = 5(3, 4).
c) −2(1, 3) + 3~x = 5(0, −2) + 5~x.
2. Em cada uma das seguintes igualdades encontrar, se existir, o n´
umero real λ que satisfaz:
a) (3, −2) = λ(6, 4).
b) (3, −2) = λ(−6, 4).
c) λ(4, 2) + 3(4, −2) = 2(6, −3).
d) 2λ(4, 6) + 3(−2, 4) = 2(−3, 6) + 4λ(2, 3).
3. Encontre a abscisa do ponto M sendo que a ordenada ´e igual a 4 e que a distˆancia ao ponto
N = (1, −2) ´e igual a 10 unidades.
4. Os seguintes triˆ
angulos s˜
ao is´
osceles ou retˆangulos? Sendo seus v´ertices:
a) (−3, 4), (4, 3) e (0, 0).
b) (−4, −2), (−3, 5) e (0, 1).
5. Sejam P, Q e R pontos os quais determinam um triˆangulo. Mostre que
−−→ −−→ −→ ~
P Q + QR + RP = 0.
6. Encontre no eixo das ordenadas um ponto que diste 5 unidades do ponto P = (−3, 1).
7. Ache no eixo das ordenadas um ponto M equidistante do origem de coordenadas e de (3, −5).
8. Encontre no eixo de abscisas um ponto equidistante dos pontos P = (−1, 0) e Q = (7, −4).
−−→
9. Sejam ~u = (2, −1) e ~v = (3, −3) vetores do plano. Considere w
~ = 2~u − 4~v = P Q, onde Q = (5, 5).
Encontre o ponto P .
10. Mostre analiticamente e geometricamente que existem n´
umeros r e s tais que w
~ = r~u + s~v onde
a) ~u = (5, 1), ~v = (3, 5) e w
~ = (5, 4).
b) ~u = (2, −1), ~v = (3, 2) e w
~ = (5, 2).
c) ~u = (1, 1), ~v = (−2, 5) e w
~ = (1, 8).
11. Desde o ponto A = (−3, 1) tra¸camos o segmento AB com ponto final B = (−4, 3). Encontre um
ponto C que pertence `
a reta que contem o segmento AB de modo que d(B, C) = 3d(A, B).
12. Dados os pontos A = (−4, −1), B = (3, 2) e C = (2, −2), encontre um ponto D que tem coordenadas
positivas de modo que o quadril´
atero seja um paralelogramo.
13. Defini¸
c˜
ao: Sejam ~u, ~v vetores do plano, dizemos que ~u ´e paralelo a ~v , que denotamos ~u k ~v , se ~u
´e m´
ultiplo de ~v ou ~v ´e m´
ultiplo de ~u.
Sejam ~u, ~v e w
~ vetores do plano com w
~ 6= ~0, se ~u k w
~ e ~v k w
~ mostre que ~u k ~v .
14. Sejam ~u, ~v , w
~ e ~x vetores do plano com w,
~ ~v 6= ~0. Se w
~ = ~u + ~v e ~u k ~v . Mostre que w
~ k ~x se e
somente se ~v k ~x.
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15. Se o vetor w
~ = (1, 18) ´e expressado como w
~ = ~u + ~v onde ~u k ~x e ~v k ~y com ~x = (−1, 4) e ~y = (2, 3),
encontre o vetor ~u.
16. Sejam A, B e C pontos do plano que determinam um triˆangulo ABC. Sejam D e S pontos dos
−→ −−→
segmentos AC e BC respectivamente, se DS k AB e a seguinte igualdade ´e satisfeita
−−→ −−→ 1 −→
AB + BD = AC.
3
Diga qual das seguintes igualdades s˜
ao verdadeiras:
−→ 1 −−→ −−→ 1 −→
a) SD = CB + BA − CA.
3
3
−→ 1 −−→
b) DS = AB.
3
−−→ 1 −→ 3 −→
c) BD = AC − DS.
3
2
17. Seja a ∈ R, encontre o vetor ~x = (4a, a) de modo que k~xk = 2.
−−→
18. Seja a ∈ R e consideremos os seguintes pontos do plano P = (1, −1) e Q = (4, a). Encontre ~v = P Q
de modo que k~v k = 5 .
19. Sejam A = (2, 0) e B = (−3, 3) v´ertices adjacentes de um paralelogramo. Se Q = (−1, 0) ´e o ponto
de interse¸c˜
ao das suas diagonais, encontre os outros v´ertices.
20. Encontre os v´ertices de um triˆ
angulo, sabendo que os pontos m´edios de seus lados s˜ao P = (3, 7),
Q = (−4, 0) e R = (1, −4).
21. Considere o segmento AB onde A = (−2, 3) e B = (4, −1). Encontre os pontos P e Q que dividem
o segmento em partes iguais.
22. Seja a ∈ R, a 6= 0 e ~u = (a, 2a) um vetor do plano. Consideremos ~v k ~u tal que ~u − ~v = (2a, b) para
algum b ∈ R. Se k~u − ~v k = 20, calcule k~v k.
23. Dados dois vetores ~u e ~v do plano. Mostre que h~u, ~v i = 0 se e somente se k~u − ~v k = k~u + ~v k.
24. Nota¸
c˜
ao: Dado qualquer vetor ~u = (a, b), vimos em aula que sempre obtemos um vetor
perpendicular da forma (−b, a), o qual denotaremos por ~u⊥ . Note que k~uk = k~u⊥ k.
⊥
Mostre que ~u⊥ = −~u.
25. Sejam ~u, ~v 6= ~0 vetores do plano. Mostre que
h~u, ~v i = 0 se e somente se ~u⊥ k ~v .
26. Sejam ~u e ~v vetores do plano. Se h~u, ~v i = 4, k~v k = 3 e k~u + ~v k = 9, encontre k~uk.
27. Ache todos os valores reais de x de modo que o vetor (x, 2x + 1) seja paralelo a (2x − 1, x + 2).
Niter´
oi, 21 de agosto de 2014
V´ıctor Arturo Mart´ınez Le´on
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