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Asymptotes Jacques Paradis Professeur Plan de la rencontre Élément de compétence Définition d’asymptote Asymptotes verticales Asymptotes horizontales Levée d'indéterminations Asymptotes obliques Département de mathématiques 2 Élément de compétence Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique • • • Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes verticales de la courbe d’une fonction Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes horizontales de la courbe d’une fonction Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes obliques de la courbe d’une fonction Département de mathématiques 3 Définition d’asymptote Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers zéro lorsqu’on s’éloigne sur la courbe à l’infini. Remarque : Une asymptote ne fait pas partie de la courbe représentative d’une fonction et c’est pourquoi on la représente en pointillé dans le graphique. Département de mathématiques 4 Asymptote verticale La droite x = a est une asymptote verticale (AV) de la courbe de f(x) si et seulement si lim f(x) ou lim f(x) x a x a a- a+ x=a Remarque : Pour localiser les AV, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la fonction infinie. Département de mathématiques 5 Exemple 9 x2 . Trouver les asymptotes verticales de f(x) 2 x 4 x = -2 x=2 AH : y = -1 Département de mathématiques 6 Asymptote horizontale La droite y = b est une asymptote horizontale (AH) de la courbe de f(x) si et seulement si lim f(x) b ou lim f(x) b x x y=b - Remarque : Pour localiser les AH, on évalue des limites à l’infini. Département de mathématiques 7 Exemple 1 2 Trouver l’asymptote horizontale de f(x) 1 2 . x x y=1 Département de mathématiques 8 Exemple 2 Trouver les asymptotes horizontales de 2x 2 4x 3 f(x) . 2 x 4 22 4 3 ?? 2 4 y=2 AV : x = -2 et x = 2 Département de mathématiques 9 Levée de l’indétermination Mette en évidence la plus grande puissance de x au numérateur et/ou au dénominateur • 3x 4 2x 5 Exemple 1 : xlim 2x 2 x 6 • 3x 2 x 5 Exemple 2 : lim x 2x 2 2x 6 • Exemple 3 : Département de mathématiques lim 7x6 4x 2 9 x 10 Asymptote oblique La droite y = a x + b est une asymptote oblique (AO) de la courbe de f (x) si et seulement si lim f ( x) et lim f ( x) y 0 x x f ( x) et b lim f ( x) a x où a lim x x x Exemple : Trouver l’asymptote oblique de la fonction 2x 2 3x 2 f(x) y = 2x + 1 x 1 Département de mathématiques 11 Asymptote oblique (Cas particulier) Soit la courbe f(x) définie par le quotient de deux polynômes • • On a y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe de f(x) uniquement si le polynôme du numérateur est d’un degré supérieur à celui du dénominateur. Pour trouver l’AO, on effectue la division des deux polynômes qui donnera f(x) = ax + b +r(x) où lim r(x) = 0. → x ±∞ 3 2x 2 3x 2 2x 1 f(x) Exemple : Soit x 1 x 1 où y = 2x + 1 est une asymptote oblique. 2x 3 5x 2 1 Exercice : Trouver l’AO de f(x) 2 x 1 Département de mathématiques 12 Asymptote oblique (Exemple) Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de f(x) 9x 2 1 4. Remarque : Lorsque x ou , s’il y a une asymptote horizontale, il n’y a pas d’asymptote oblique et vice et versa. Département de mathématiques 13 Exemple récapitulatif Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales, x2 . horizontales et obliques de f(x) 2 x 2x 8 Département de mathématiques 14 Devoir Exercices 6.4, page 273, nos 1, 2, 4, 5, 6, 7a, 7b, 7c, 7d, 8, 9, 10. Exercices récapitulatifs, page 284, #12a (sauf vi), 12b, 13 (sauf e), 14 (sauf k et l), 15a, 15b, 15e et 15j. • 12a) 1, -,1, ,- • 12b) x = -2, x = 3, y = 1, y = -1/2x - 1 • 13b) n’existe pas, 13d) 0, 13f) • 14) V, V, F, F, V, F, V, F, V, V , F, F Département de mathématiques 15