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Theorem Double-Angle Formulas
sin 2  2 sin  cos
cos 2  cos   sin 
2
2
cos 2  1  2 sin 
2
cos 2  2 cos   1
2
5
If sin   ,  2     , find the exact value of
13
(a) sin 2
(b) cos 2
a b  r
2
2
2
5  b  13
2
2
2
b2  169  25  144
5
13
-12

b  12
b  12
cos  
r 13
5
sin  
13
12
cos  
13
120
5   12

 2      
 13  13
169
sin 2  2 sin  cos
2
12  5 

cos 2  cos   sin        
 13  13
2
2
144 25 119



169 169 169
2
cos 2  1  2 sin 
2
2 sin   1  cos 2
2
1  cos 2
sin  
2
2
cos 2  2 cos   1
2
2 cos   1  cos 2
2
1  cos 2
cos  
2
2
1  cos 2
sin  
2
2
2
1  cos 2
cos  
2
1  cos 2
2
tan  
1  cos 2
1  cos
sin

2
2
2
2
1  cos
cos

2
2
1  cos
2
tan

2 1  cos
Theorem Half-Angle Formulas

1  cos
sin  
2
2

1  cos
cos  
2
2

1  cos
tan  
2
1  cos
where the + or  sign is determined by
the quadrant of the angle  2 .
3
3
If csc    ,     , find the exact value of
2
2
(a) sin


2
(b) cos


2
(c) tan

2
3

 
so
lies in Quadrant II
2 2 4
2
r
3
csc = 
b 2
2
2
2
2
2
2
a  b  r , so a    2  3
a 945
2
a 5
a  5
cos  
r
3



5


5




5
5
1  cos
1   53
3
(a) sin 


2
2
6
2
1   53
3

1  cos

(b) cos  

6
2
2
2
5
1


3

1  cos
3

(c) tan  

3
2
1  cos
1  5
3