Transcript 3. 정규 언어(Regular Language)

3. 정규 언어(Regular Language)
3-1.
3-2.
3-3.
3-4.
정규
정규
유한
정규
문법과 정규 언어
표현(Regular Expression)
오토마타(Finite Automata:FA)
언어의 속성
3-1. 정규 문법과 정규 언어
• 정규 문법의 형태
– left-linear grammar(LLG) :
nonterminal이 terminal 왼쪽에 나타나는 문법
– right-linear grammar(RLG) :
nonterminal이 terminal 오른쪽에 나타나는 문법
 한 문법의 생성규칙이 LLG와 RLG가 혼합이 되어있으면
정규 문법이 아니다. => context-free grammar
• 정의 3.1
– AaB, Aa, 여기서 aVT이고 A, BVN이다.
– 만약 S이면, S가 다른 생성 규칙의 오른쪽에 나타나지
않아야 한다.
•
정규 문법이 lexical analysis에서 사용되는 이유
– Token의 구조는 보통 간단하므로 표현이 가능
– context-free문법보다는 정규 문법으로부터 효율적인
인식기를 쉽게 구현가능
– compiler의 front-end를 쉽게 다룰 수 있는 크기의 프로그
램으로 나누어 모듈러 하게 구성 가능
3-2. 정규 표현(Regular Expression)
• 정의 3.2
– 정규표현의 기본요소는 ,, 그리고 terminal 심벌이다.
• 는 공집합을 나타내는 정규표현
• 는 집합 {}를 나타내는 정규표현
• a(VT)는 집합{a}를 나타내는 정규표현
– 만일 e1과 e2가 정규 언어 L1과 L2를 표현하는 정규표현 이라면,
• (e1)+(e2)는 L1L2를 나타내는 정규표현(union)
• (e1)•(e2)는 L1•L2를 나타내는 정규표현(concatenation)
• (e1)*는 L1*={}L11L12L13L1n……을 나타내는 정규표현
–
위의 정의된 것 이외에 어떠한 것도 정규 표현이 될 수 없다.
단 (e1)•(e2)의 정규 표현은 편의상 (e1)(e2)로 나타내는 것이
일반적이며, e1+는 e1•e1*의 단축 표현이다. 또한, (e1)+(e1)는
(e1)|(e1)로도 표기된다.
• 정리3.1
–
, 가 정규 표현이고, La이면, X=X+의 유일한 해는
X= *이다.
• 정규표현의 대수적 성질
–
–
–
–
–
–
–
–
+ = +
()  = ()
( + )  =  + 
 +  = 
 =  = 
* = (+)*
* +  = *
(+)* = (* *)*
(+)+ = +(+ )
(+) =  + 
+=
 =  = 
* = +*
(*)* = *
*++ = *
•
정규문법 G가 생성하는 언어L를 나타내는
정규표현을 구하는 과정
– 정규문법으로부터 일련의 정규 표현식을 구성한다
• X  |  |  일 때, X =  +  + 
– 구성된 정규 표현 식 중에 X=X+형태의 식은
X=*로 푼다.
– 위의 과정을 수행한 후 시작 심벌에 대한 정규 표현식이
있는 곳으로 식을 대입해가면 정규 표현의 공리를 이용하여
X=X+형태로 정리 한 후 역시 X=*를 적용한다.
– 시작 심벌에 대한 정규 표현식을 X=X+형태로 고친 후 식
을 X=*로 풀면 *가 정의된 정규문법으로부터 생성 될 수
있는 정규 언어가 된다.
예제1
G = ({S, R}, {a, b}, P, S)
S aS
S  bR
S  
R  aS
예제2
G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S)
S aA | bB | b
A  bA | 
B  bS
1) S  aS | bR | 
R  aS
1) S = aA + bB + b
A = bA +  = b*
B = bS
2) S = aS + bR + 
R = aS
3) S = aS + b(aS) + 
= aS + baS + 
= (a+ba)S + 
= (a+ba)*
2) S = ab*+b(bS) + b
= ab* + bbS + b
= bbS + ab* + b
= bbS + (ab* + b)
= (bb)*(ab*+b)
예제3
X1 = 0X2 + 1X1 + 
X2 = 0X3 + 1X2
X3 = 0X1 + 1X3
1) X3 = 1X3 + 0X1
= 1*0X1
2) X2 = 0(1*0X1) + 1X2
= 1X2 + 01*0X1
= 1*01*0X1
3) X1 = 0(1*01*0X1) + 1X1 + 
= 01*01*0X1 + 1X1
= (01*01*0 + 1)X1 + 
= (01*01*0 + 1)*
L(X1) = (01*01*0 + 1)*
3-3. 유한 오토마타(Finite Automata:FA)
• 정의
– 입력으로 String을 받아 String이 그 언어 문장이면 yes 아니
면 no라고 답하는 인식기
M=
–
–
–
–
–
(Q, , , q0, F)
Q : 상태(State)들의 유한 집합
 : 입력 심볼의 유한 집합
 : 사상 함수(mapping function)
q0: 시작 상태(start 또는 initial state)(q0Q)
F : 종결(final state) 상태의 집합을 의미한다.(FQ)
예제
M = ({q0, q1, q2}, {a, b}, , q0, {g2})
(q0, a) = q1
(q0, b) = q2
(q1, a) = q2
(q1, b) = q0
(q2, a) = q0
(q2, b) = q1
입력 : aba 라면
(q0, a) = q1
(q1, b) = q0
(q0, a) = q1  no
입력 : ababb라면
(q0, a) = q1
(q1, b) = q0
(q0, a) = q1
(q1, b) = q1
(q0, b) = q2  yes
 Transition diagram
a
b
q0
q1
b
b a
a
q2
q0
q1
q2
a
q1
q2
q0
b
q2
q0
q1
 Transition Table
DFA(Deteministic Finite Automata)
•
FA
NFA(Nondeteministic Finite Automata)
• DFA(Deterministic Finite Automata)
DFA M = (Q,,, q0, F)
– Q: 상태들의 유한 집합
– : 입력 심벌의 유한 집합
– : 전이 함수로 Q×Q, 즉 (q, a) = p 이다.
– q0: 시작 상태 (q0 Q)
– F: 종결 상태의 집합을 의미한다(F Q)
– 특징
• 한 상태에서 입력 Symbol에 대해 하나의 다음 상태를 갖는다.
• 에 의한 전이(transition)이 없다.
• NFA(Nondeterministic Finite Automata)
NFA M =(Q,, , q0, F)
– Q: 상태들의 유한집합
– : 입력 심벌의 유한 집합
– : 전이 함수로 Q×2q, 즉 (q, a) = {p1,p2,···,pn}
– q0: 시작 상태로 q0Q이며
– F: 종결 상태의 집합을 의미하며 FQ이다.
예제

q0
q1
q2
q3
qf
0
{q1, q2}
{q1, q2}
{qf}

{qf}
1
{q1, q3}
{q1, q3}

{qf}
{qf}
q2
0
start
q0
0,1
0
0,1
q1
qf
1
1
q3
0,1
1
• NFA에서 DFA로의 변환
NFA M = (Q,, , q0, F)
DFA M´=(Q´,´,´,q0´,F´)
– Q´ = 2Q(Q의 부분 집합의 집합 : power set)
Q´의 한 상태는 [q1, q2, ···,qi]의 형태로 표시한다.
– q0´ = [q0]
– F´= {qQ´ | q는 F의 상태들 중에 적어도 하나를 포함한다.}
– ({q1, q2, ···, qi}, a) = {p1, p2, ···, pi}이면,
´([q1, q2, ···,qi], a) = [p1, p2, ···, pi]이다.
예제 21
0
1

NFA M = ({q0, q1}, {0, 1}, , q0, {q1})
q0
{q0,q1}
{q0}
1) Q´= {[q0], [q1], [q0,q1]}
q1
{q
,q
}

0 1
2) [q0] = {q0}
3) F = {[q1], [q0,q1]}
4) ´ : ´([q0], 0) = ({q0}, 0) = {q0, q1} = [q0, q1]
´([q0], 1) = {q0} = [q0]
0
1
´
´([q1], 0) = ({q1}, 0) = 
[q0]
[q0,q1]
[q0]
´([q1], 1) = ({q1}, 1) = {q0, q1} = [q0, q1]
[q1]
[q0, q1]

´([q0, q1], 0) = ({q0, q1}, 0) = {q0, q1} = [q0, q1]
[q0, q1]
[q0, q1]
[q0,q1]
´([q0, q1], 1) = ({q0, q1}, 1) = {q0, q1} = [q0, q1]
1
start
A
B
1
1
start
0,1
0
C
A
0,1
0
C
예제 22
a,b
start
0
a
1
b
2
b
3
1. NFA의 시작상태가 0이므로 DFA의 시작상태는 [0]이 된다.
start
[0]
2. 상태[0]에서 a를 보고 갈 수 있는 상태 집합은 {0, 1}이고 [0,1]은 새로운
상태이므로 새로운 상태로 만들어 지시선을 연결한다.
start
[0]
a
[0, 1]
상태[0]에서 b를 보고 갈수 있는 상태 집합은 {0}이고, [0]은 기존의 상태와
같으므로 지시선만 그린다.
b
start
[0]
a
[0, 1]
3. 상태[0, 1]에서 a를 보고 갈 수 있는 상태 집합은 {0, 1}이므로 지시선만 그린다
a
b
start
[0]
a
[0, 1]
b를 보고 갈 수 있는 상태 집합은 {0, 2}이고, [0, 2]는 새로운 상태이므로
다음과 같이 추가하고 지시선을 연결한다.
a
b
start
[0]
a
[0, 1]
b
[0, 2]
4. [0, 2]에서 a를 보고 갈 수 있는 상태 집합은 {0, 1}이므로 지시선만 그린다.
a
b
start
[0]
a
b
[0, 1]
a
[0, 2]
b를 보고 갈 수 있는 상태 집합은 {0, 3}이고, [0, 3]은 새로운 상태이므로
다음과 같이 추가하고 지시선을 연결한다.
a
b
start
b
a
[0]
[0, 1]
[0, 2]
a
b
[0, 3]
5. [0, 3]에서 a를 보고 갈 수 있는 상태 집합은 {0, 1}이고, b를 보고 갈 수 있는
상태는 {0}이므로 새로 만들지 않고 지시선만 만든다.
a
b
start
[0]
a
a
b
[0, 1]
a
b
[0, 2]
b
[0, 3]
더 이상 새로운 상태가 추가되지 않으며 NFA의 종결 상태3을 포함하는
상태[0, 3]은 DFA의 종결 상태로 표시한다.
a
b
start
[0]
a
a
b
[0, 1]
a
[0, 2]
b

[0]
[0, 1]
[0, 2]
[0, 3]
a
[0, 1]
[0, 1]
[0, 1]
[0, 1]
b
[0]
[0, 2]
[0, 3]
[0]
 상태 전이표 표현
b
[0, 3]
 예제 17
NFA M = ({q0, q1, q2, q3, qf}, {0, 1}, , q0, {qf})

q0
q1
q2
q3
qf
0
{q1, q2}
{q1, q2}
{qf}

{qf}
1
{q1, q3}
{q1, q3}

{qf}
{qf}
1) 우선 NFA중 여러 상태가 나타나는 것을 고르면, {q1, q2}와 {q1, q3}를
고를 수 있다. 나오는 집합의 원소의 입력심벌별로 모두 합집합을 취한다.

{q1, q2}
{q1, q3}
0
{q1, q2, qf}
{q1, q2}
1
{q1, q3}
{q1, q3, qf}
2) 합집합을 구한 상태에서 새로운 상태가 있으므로 나오는 집합의 원소의
입력심벌별로 모두 합집합을 취한다.
0
1

{q1, q2, qf} {q1, q2, qf} {q1, q3, qf}
{q1, q3, qf} {q1, q2, qf} {q1, q3, qf}
3) 처음 종결자를 원소로 갖는 상태는 모두 종결자가 된다.
4) 시작 상태에서 도달 할 수 없는 상태는 제거한다.

[q0]
[q1, q2]
[q1, q3]
[q1, q2, qf]
[q1, q3, qf]
0
[q1, q2]
[q1, q2, qf]
[q1, q2]
[q1, q2, qf]
[q1, q2, qf]
0
[q0]
[q1,q2]
0
1
0
1
1
[q1, q3]
[q1, q3]
[q1, q3, qf]
[q1, q3, qf]
[q1, q3, qf]
[q1,q3]
[q1,q2,qf]
1
1
[q1,q3,qf]
• -NFA => DFA
-closure
–
–
S가 하나 일 때,
-closure(S) : S와 S로부터 레이블이 쓰인 지시선으로
도달 할 수 있는 모든 상태 포함
S가 하나이상의 상태
-closure(T) : -closure(q)
예제 21
qT
a
A
a

B
a
C

D

closure(A) = {A, B, D}
closure(T) = closure({A, C}) = closure(A)  closure(C)
= {A, B, D}  {C, D}
= {A, B, C, D}
 예제
a
1
4
c


closure(1)
={1, 3, 4}
closure(2)
={2}
closure(3)
={3, 4}
closure(4)
= {4}
b
2

3
a
closure(2)
={2}

b


closure(4)
= {4}



c
closure(3)
={3, 4}

closure(3)
={3, 4}

a
1,3,4
c
2
b
4
3,4
• DNF의 상태 수 최소화
– 초기의 동치관계
• 종결상태, 미 종결상태로 구분
– 같은 입력에 대해서 서로 다른 동치로 가는 지시선이 존재하면,
또 분할 하여 새로운 동치류 구성
– 새로운 M´ 형성
 예제
a
a
b
B
C
a
b b
A
a
b
D
E
b
a
1.
1 : {A, B, D}
2 : {C, E}
2.
b
a
a
b
1 : {A, B, D}
1 1 1
1 2 2
a
b
1:{A}
2
2
2 : {C, E}
1
1
2
2
2:{B, D}
2
2
3
3
3:{C, E}
2
2
3
3
1
a,b
a
2
3
b
• 오토마타 변환하는 방법
– 어떤 상태로 들어오는 지시선 없이 나가는 지시선만 갖는 도달
불가능한 상태(inaccessible state)는 모두 제거한다.
– 동치 관계를 이용하여 구별되지 않는 상태들을 하나로 합친 후
새로운 유한 오토마타를 구성한다.
3-4. 정규 언어의 속성
• RG = G(VN, VT, P, S) => M (Q,, , q0, F)
–
–
–
–
–
Q : VN  {f}, f : 새로 만들어진 종결상태
 : VT
q0 : S;
F = if  L(G) then {f} else {S, f}
 = if A  aB (A,a) = B;
if A  a
(A, a) = f
예제
G = ({S,B}, {0, 1}, P, S)
P : S  0S S  1B S  0
B  0S B  0
M : (Q, , , q0, F)
Q : VN  {f} = {S, B, F}
 : VT = {0, 1}
q0 : S
F : {f}

S
B
A
0
{S, f}
{S, f}
-
1
{B, F}
-
S 1
• FA => RG
M = (Q,, , q0, F) => G = (VN, VT, P, S)
–
–
–
–
VN : Q;
VT : ;
S : q0;
P : if (q, a) = r then q ar;
if q F then q;
예제
1,0
1
0
p
q
1
0
r
G = (VN, VT, P, S)
VN : Q = {p, q, r}
VT :  = {0, 1}
S : q0 = p
P : p 0q, p  1p
q  0r, q  1p
r 0r, r  1r, r  
 정규문법
• 유한 오토마타와 정규 표현
– 유한 오토마타로 부터 정규문법을 구한다
– 구한 정규 문법으로부터 정규 표현을 얻는다.
• 유한 오토마타로부터 정규표현을 얻는 과정
– 오토마타에서 상태 전이표를 구한다.
– 상태 전이표로부터 정규문법으로 변환한다
– 정규문법을 정규식으로 쓴다.
• P = 01 + 1p
• q = 0r + 1p
• r = 0r + 1r + 
---- (1)
---- (2)
---- (3)
– 정규표현식을 풀어서 정규 표현으로 나타낸다.
• r = 0r + 1r +  = (0+1)r +  = (0+1)*
• q = 0r + 1p = 0(0+1)* + 1p
• p = 0q + 1p = 0(0(0+1)* + 1p) + 1p
= 00(0+1)* + 01p + 1p = (01 + 1)p + 00(0+1)*
= (01+1)*00(0+1)*
 L(M) = (01+1)*00(0+1)*
• 정규표현 => 유한 오토마타
–
–
정규 표현 , a에 대해,
:
i
a :
i

f
a
f
정규표현 N1+N2, N1•N2, N*에 대해
N1 + N 2

N1+N2 :
N1

i
f

N2

• N1•N2
N1•N2 :

N1
• N*
N* :
N2
f

i


N
f

 예제


start


a
b




• -NFA를 간단화
– A에서 나가는 다른 지시선이 없을 때 A, B는 같은 상태로 취급
될 수 있다.
• 예
A

A
a
B
B


B
A
– 다음과 같은 형태도 하나의 상태로 줄일 수 있다.
a
a
A

B

A

C
– 두 개의 경로가 같은 곳으로 이동하는 다음의 경우도 간단화
할 수 있다.
a


A
B
a,b
S
F
S
F


C
D
b

– a*를 인식하는 경우 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.
a
a
A

B


C

A
예제
(ab)*(ba)*:
(ab)* :
a
1
2
b
b
(ba)* :
3
4
a
따라서, (ab)*(ba)*인식하는-NFA

a
1
2
b
b
3
4
a
– -NFA를 DFA로 변환
상태 전이표를 이용하여 바꾸면

A=[1,3]
B=[2]
C=[4]
D=[3]
a
[2]

[3]

상태전이도로 표현하면
start
a
A
B
b
b
b
[4]
[1, 3]

[4]
a
C
D
b