Transcript equação do 2º grau

Resolução de Equações
ax  bx  c  0
2
Equações do 2º grau
Relembra…
Chama-se equação do 2º grau a uma incógnita a toda
a equação do tipo:
ax  bx  c  0
2
Com a, b e c números reais e a  0
Equação na forma canónica
2
ax  bx  c  0
Termo em x2
Termo em x
Termo independente
ax  bx  c  0
2
Equações do
Completas
2º grau
Incompletas
ax  bx  c  0
ax  0
ax  c  0
ax  bx  0
a0 b0 c0
b0 c0
b0
c0
2
2
2
2
Equações do 2º grau incompletas
ax  c  0
2
Observa o triângulo rectângulo e determina o valor de x.
12 cm
Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que:
2
2
x cm
2
15  12  x 
 225  144  x
15 cm
2
 225  144  x
2
 x  81  0
2
Equação do 2º grau incompleta porque b = 0.
x  81  x   81  x   9 
2
 x  9  x  9
Conjunto-Solução da equação = { -9 , 9}
Resposta: x é 9 porque o valor de um comprimento não pode ser negativo.
Reduz as equações a expressões do tipo
ax
2
 bx  c  0
co m
Indica o valor de a , b e c e determina a solução.


2
3 x  2  x  x  1  24  x 
 3 x  6  x  x  24  x 
2
2
 3 x  x  x  x  6  24  0 
2
a  0
1º reduzir à forma
canónica ax 2  bx  c  0
2
a = 2; b = 0 ; c = -18
 2 x  18  0
2
2
2
 2 x  18  x 
18

2
2
 x  9  x   9  x  3
 x  3  x  3
Conjunto-solução = { - 3 , 3 }
2º Resolver a
equação e indicar o
conjunto solução.

5 2  x
2
   x  3   x  2 
2
 10  5 x  x  3  x  2  0 
a = 5 ; b = 0 ; c = 15
2
 5 x  15  0
 5x
 x
2
2

  15 
 15
 x
1º reduzir à forma
canónica ax 2  bx  c  0
2º resolver a equação
2
 3
5
Equação IMPOSSÍVEL, não há
nenhum nº real cujo quadrado
seja negativo.
x  
IMPOSSÍVEL
3
ax  0
2
Equações do 2º grau incompletas
A soma de seis com o quíntuplo do quadrado de um
número é seis. Qual é o número?
2
+
5

x
=6
6

 6  5x  6 
2
 5x  6  6 
2
 5x  0 
2
 x 
2
0

5
 x 0
2
 x0
S 
 0
0 é a solução da equação
Equações do 2º grau incompletas
ax  bx  0
2
A diferença entre o quadrado de um número
e o seu quadruplo é zero. Qual é o número?
x - 4 x =0
2
Equações do 2º grau incompletas
ax  bx  0
2
x  4x  0
2
a = 1 ; b = -4 ; c = 0
 x  x  4  0 
1º colocar a incógnita em
evidência (factorizar)
 x0  x40
2º Aplicar a lei do
anulamento do produto
 x0  x4
Conjunto-solução = {0,4 }
3º Encontrar as soluções
Resolve a Equação
2
x

3 x  4 
3

x
2
2

3
3x
2

12
  2  x  3

1º Reduzir à forma
canónica
 2 x  6 
2
2
 2 x  9 x  36   12 x  36 
2
 2 x  3x  0 
 x  2 x  3  0 
 x  0  2x  3  0 
 x0  x
3
2
3

S   0,  
2

a=2 ; b=3 ; c=0
2º colocar a incógnita em
evidência
3º Aplicar a lei do
anulamento do produto
Equações do 2º grau completas
Fórmula Resolvente
Dada uma equação do tipo
2
ax  bx  c  0 com a  0
Podemos encontrar as soluções, utilizando a seguinte fórmula:
x
b
2
b 4ac
2a
À expressão que está dentro da raiz quadrada chama-se
BINÓMIO DISCRIMINANTE e representa-se por ( delta )

2
b 4ac
Resolve a Equação
2
2x  x  3  0
 x 
 x 
 x
1  4  2   3 
1
2
2 2
1 
25
4
1  5
 x
4

x
b 
2
b  4 ac
2a


x
 x
1  5
 x
4
4
6
a = 2; b = 1; c = -3

4
4
 x
1  5

4
3
2
 x1
 3 
S    ,1 
 2 
Duas Soluções
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é positivo, a equação tem duas
soluções.
Resolve a Equação
2
2 x  28  12 x  10
1º Reduzir à forma canónica

a = 2; b = -12; c = 18
2
 2 x  12 x  18  0 
   12  
 x
 x
  12 
2
2
 4  2  18
22
12  144  144

4
 x
12  0
4
 x
12  0
4

x
x

 b  b  4 ac
2a
12 
0

4
x3  x3
3 é uma raiz dupla
da equação
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é zero, a equação tem uma
solução dupla.
Resolve a Equação
2
x  9  2x  4
 x
 x 
2
 2x  5  0 
  2  
 x 
1º Reduzir à forma canónica

 2 
2
 415
21
2
4  20
4
a = 1; b = -2; c = 5

x
2
x

 b  b  4 ac
2a
2
 16
2
Equação IMPOSSÍVEL, não há
nenhum nº real cujo quadrado
seja negativo.
Conclusão: Se o Binómio Discriminante é negativo, a equação é
impossível.
Determina o perímetro do triângulo rectângulo.
( 3x+2 ) cm
( x+3 ) cm
Pelo Teorema de Pitágoras:
 3 x  2    2 x  1   x  3 
2
( 2x+1 ) cm
2
2
2
2
2
 9 x  12 x  4  4 x  4 x  1  x  6 x  9 
2
 4x  2x  6  0  x 
 x
 2  10
8
 x
 2  10
8
2 
2  4  4    6
2
24

x
3
2
 x1

Solução do Problema
( 3x+2 ) cm
( x+3 ) cm
( 2x+1 ) cm
Se x  
3
 3
3      2   2 ,5 cm
 2
2
x não pode ser
Se
x 1
3  1  2  5 cm
1  3  4 cm
2  1  1  3 cm
Perímetro = 5+3+4 =12 cm

3
2
Um Pouco de História
Este matemático Português do
século XVI realizou uma grandiosa
obra na área da Matemática, Física,
Astronomia e nas suas aplicações à
Náutica. No que diz respeito às
equações, Pedro Nunes resolvi-as
com grande rigor de raciocínio
embora sem usar linguagem
simbólica.
Fim