Transcript 02 Mathématiques financières des obligations

02 Mathématiques financières
des obligations
Lectures
Fabozzi, ch. 2-3
Exercices suggérés
Fabozzi, ch. 2: 1-4, 711, 13
Fabozzi, ch. 3: 1-3, 7,
9, 12-16
GSF-3100 – Marché des capitaux
02 Mathématiques financières des obligations
© Stéphane Chrétien
Agenda de la section
• Définition et notation des taux d’intérêt
• Capitalisation et actualisation
• Prix d’une obligation
• Intérêt couru et cote
• Taux de rendement
• Relations importantes
• Rendement réalisé
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Taux d’intérêt effectif par période
• Notation: r
• Définition: Ratio du montant d’intérêt I gagné
durant une période sur la somme (ou principal)
investie P0 au début de cette période.
• Ainsi: I = P0·r
• r est le taux d’intérêt « effectivement » reçu sur
un investissement.
• Le taux d’intérêt effectif est le taux qu’il faut
toujours utiliser dans les calculs d’actualisation et
de capitalisation.
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Taux d’intérêt nominal par période
• Notation: (i ; m)
• m: Nombre de périodes de capitalisation (par
période).
• Définition: Taux indiquant que le taux d’intérêt
effectif est de r = i/m par période de capitalisation.
• Le taux d’intérêt nominal est souvent le taux affiché
ou publicisé sur un investissement.
• Il ne doit pas être utilisé dans les calculs
d’actualisation et de capitalisation.
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Équivalence de taux
• Les taux sont exprimés sur différentes bases:
• Effectif ou nominal;
• Bisannuel (sur deux ans), annuel, semestriel,
trimestriel, mensuel, hebdomadaire, quotidien,
etc.
• Quatre cas possibles d’équivalence:
1- Un taux effectif en un taux effectif;
2- Un taux nominal en un taux effectif;
3- Un taux effectif en un taux nominal;
4- Un taux nominal en un taux nominal.
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Cas 1: Taux effectif en taux effectif
• Exemple: Trouver le taux effectif mensuel
équivalent à un taux effectif annuel de 12 %.
1) Trouver le nombre de fois où la période du taux
donné se produit dans la période du taux
cherché:
• Réponse: 1/12
2) Déterminer le taux cherché en capitalisant le
taux donné par le nombre de fois trouvé en 1):
• Réponse finale: (1+0,12)(1/12)-1 = 0,948 %
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Cas 2: Taux nominal en taux effectif
• Exemple: Trouver le taux effectif quotidien
équivalent à un taux nominal semestriel de 3 %
capitalisé mensuellement.
1) Trouver le taux effectif périodique
correspondant au taux nominal donné:
• Réponse: 0,03/6 = 0,5 %
2) Déterminer le taux effectif cherché en suivant
les étapes du Cas 1:
• Réponse finale: (1+0,005)(12/365)-1=0,0164 %
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Cas 3: Taux effectif en taux nominal
• Exemple: Trouver le taux nominal bisannuel
capitalisé annuellement équivalent à un taux effectif
trimestriel de 2 %.
1) Trouver le taux effectif correspondant à la
période de capitalisation du taux nominal
cherché en suivant les étapes du Cas 1:
• Réponse: (1+0,02)(4)-1 = 8,243 %
2) Multiplier le taux trouvé en 1) par le nombre de
fois où la période de capitalisation se produit
dans la période du taux nominal cherché:
• Réponse finale: 8,243 %×2 = 16,486 %
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Cas 4: Taux nominal en taux nominal
• Exemple: Trouver le taux nominal annuel capitalisé
semestriellement équivalent à un taux nominal
mensuel de 1 % capitalisé trimestriellement.
1) Trouver le taux effectif périodique
correspondant au taux nominal donné:
• Réponse: 0,01/(1/3) = 3 %
2) Déterminer le taux nominal cherché en suivant
les étapes du Cas 3:
• Réponse finale: [(1+0,03)(2)-1]×2 = 12,18 %
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En général
• Trouver un taux effectif à partir d’un autre taux
effectif: r1 = (1+r2)(u/v)-1
• Où r1 est le taux effectif par u périodes
équivalent au taux r2 effectif par v périodes.
• Trouver un taux effectif périodique correspondant à
un taux nominal donné: r = i / m
• Trouver un taux nominal à partir d’un taux effectif
correspondant à la période de capitalisation:
i=r×m
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Exception: Capitalisation continue
• Exemple: Trouver le taux nominal annuel capitalisé
continuellement équivalent à un taux effectif annuel
de 12 %.
• Réponse: ln(1+0,12) = 11,333 %
• Exemple: Trouver le taux effectif annuel équivalent
à un taux nominal annuel de 12 % capitalisé
continuellement.
• Réponse: e(0,12)-1 = (2,71828)(0,12)-1 = 12,75 %
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Exercices
• 1- Trouver le taux effectif mensuel équivalent à un
taux nominal annuel de 11 % capitalisé en continu.
• Réponse: 0,92088 %
• 2- Trouver le taux nominal bisannuel capitalisé
semestriellement équivalent à un taux nominal
semestriel de 5 % capitalisé trimestriellement.
• Réponse: 20,25 %
• Des exercices supplémentaires se trouvent dans le
fichier « Exercices – Équivalence de taux.pdf »
disponible sur le site web de la Section 2.
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Capitalisation et actualisation
• Valeur future VFn (ou Pn):
• La valeur accumulée d’une somme P0 investie
aujourd’hui pour une durée de n périodes à un
taux d’intérêt effectif r par période est égale à
VFn = P0·(1+r)n.
• Valeur présente VP (ou PV):
• La valeur que l’on devrait investir aujourd’hui à
un taux d’intérêt effectif r par période afin
d’obtenir une somme VFn dans n périodes est
égale à VP = VFn·(1+r)-n.
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Annuité
• Annuité: Série de n paiements périodiques égaux A.
 (1 + r ) n - 1 
• Valeur future: VF n = A 

r


Valeur exactement à la date du dernier paiement.
 1  (1 + r )  n 
• Valeur présente: VP0 = A 

r


Valeur exactement une période avant la date du
premier paiement.
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Annuité (suite)
• Valeur future entre deux paiements (à n+k, où k
est la fraction de période écoulée depuis le dernier
versement):
VF
nk
 (1+r ) n - 1 
k
= A

(
1

r
)

r


• Valeur présente entre deux paiements (à k):
 1  (1 + r )  n 
k
VP k = A 

(
1

r
)

r


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Exercices (suite)
• 3- Trouver la valeur future d’une annuité de 12
paiements mensuels de 1 $ si le taux nominal
annuel capitalisé mensuellement est de 10 %.
• Réponse: 12,5656 $
• 4- Trouver la valeur présente d’une annuité de 10
paiements semestriels de 1 $ en supposant que le
taux nominal annuel capitalisé trimestriellement est
de 12 % et que le premier paiement aura lieu dans
deux mois.
• Réponse: 7,623415 $
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Prix d’une obligation
• Le prix d’un actif financier est égal à la valeur
présente de ses flux monétaires espérés:
→ Estimer les flux monétaires;
→ Choisir le taux d’actualisation approprié
(reflétant le risque).
• Pour une obligation, les flux monétaires sont
connus:
• Coupons périodiques C;
• Valeur nominale à l’échéance M (maturity value).
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Prix d’une obligation (suite)
• Prix d’une obligation (régulière):
 1  (1  r )  n 
n
P0 = C 

M

(
1

r
)

r


• Prix d’une obligation à escompte pure (C=0):
P0 = M  (1  r )
n
• Prix d’une obligation perpétuelle (n→∞):
P0 = C / r
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Taux de coupon et coupon
• Le taux de coupon TC est un taux nominal. Le taux
effectif (périodique) est déterminé en divisant le
taux de coupon par le nombre m de coupons par
période de référence.
• Le coupon C (en $) est trouvé en multipliant le taux
de coupon effectif par la valeur nominale.
• Exemple: Un taux de coupon de 6 % annuel
payable deux fois par année correspond à un taux
de coupon effectif de 3 %. Une obligation ayant une
valeur nominale de 1000 $ verse donc un coupon
de 30 $ à tous les six mois.
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Exercices (suite)
• 5- Trouver le prix d’une obligation d’une valeur
nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans
et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable
deux fois par année en supposant un taux nominal
annuel capitalisé mensuellement de 12 %.
• Réponse: 58,6238 $
• 6- Trouver le prix d’une obligation à escompte pure
d’une valeur nominale de 100 $ venant à échéance
dans 2 ans en supposant que le taux nominal
annuel capitalisé continuellement est de 6 %.
• Réponse: 88,692$
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Prix entre deux dates de coupon
• Prix d’une obligation entre deux dates de coupon (à
k, où k est la fraction de période écoulée depuis le
versement du dernier coupon):


 1  (1  r )  n 
n
k
k


Pk = C 

M

(
1

r
)

(
1

r
)

P

(
1

r
)

0


r




• Il s’agit de calculer le prix de l’obligation à la
précédente date de coupon, puis de l’accumuler
avec intérêt jusqu’à la date désirée.
• Ce prix est appelé « full price » ou « dirty price ».
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Intérêt couru et cote
• Après le paiement d’un coupon, l’intérêt sur la
valeur nominale recommence à s’accumuler
jusqu’au moment où l’intérêt est payé, c’est-à-dire
à la date du prochain coupon.
• Le prix Pk que devra payer un investisseur pour
acquérir une obligation entre deux dates de coupon
doit donc compenser le vendeur pour l’intérêt
accumulé (ou couru) depuis le dernier coupon.
• Le reste sert à compenser le vendeur pour la valeur
« intrinsèque » de son obligation. Cette valeur (ou
cote) est appelée « clean price » et est utilisée par
convention.
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Intérêt couru et cote (suite)
• Donc: Valeur = Prix – Intérêt couru
cotek = Pk – ICk
• Par convention: ICk = k·C
• k est le « nombre de jours » depuis le dernier
coupon divisé par le « nombre de jours » dans la
période de coupon. Le « nombre de jours » est
déterminé selon différentes méthodes:
• Exact / Exact → titres gouvernementaux
• Exact / 365
• Exact / 360 → marché monétaire américain
• 30 / 360 → obligations corporatives
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Intérêt couru et cote (suite)
• « Exact » utilise le vrai nombre de jours depuis le
dernier coupon ou dans la période de coupon.
• « 360 » ou « 365 » utilisent le nombre de jours
dans la période de coupon en considérant qu’une
année a 360 ou 365 jours, peu importe le vrai
nombre de jours dans l’année.
• Par exemple, si la période de coupon est
semestrielle, alors le nombre de jours dans la
période de coupon est de 180 jours (360/2) et
de 182,5 jours (365/2) selon les conventions
« 360 » et « 365 », respectivement.
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Intérêt couru et cote (suite)
• « 30 » utilise le nombre de jours depuis le dernier
coupon en considérant que chaque mois a 30 jours,
peu importe le vrai nombre de jours dans les mois.
• Par exemple, si le dernier coupon a eu lieu un 30
juin il y a 51 jours, alors le nombre de jours
depuis le dernier coupon est de 50 jours (soit 30
jours pour les vrais 31 jours de juillet + 20 jours
pour août) pour la convention « 30 ».
• Des exercices supplémentaires se trouvent dans le
fichier « Exercices – Fraction de période.pdf »
disponible sur le site web de la Section 2.
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Intérêt couru et cote (suite)
• Deux principaux avantages à la convention d’utiliser
la cote des obligations plutôt que leur prix:
• Le gain en capital représente l’appréciation de la
cote et non du prix. Sur le plan fiscal, la cote
permet de différencier le gain en capital du
revenu d’intérêt.
• La cote évolue de façon régulière dans le temps
et permet de comparer des obligations ayant des
dates de coupon différentes.
• La cote est toujours donnée en pourcentage de la
valeur nominale. Par exemple, une cote de 100
signifie que le titre vaut sa valeur nominale.
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Exercices (suite)
• 7- Trouver le prix d’une obligation d’une valeur
nominale de 100 $ venant à échéance dans 10 ans
et ayant un taux de coupon de 5 % annuel payable
deux fois par année en supposant que le taux
nominal annuel capitalisé mensuellement est de 12
% et que le dernier coupon a été versé il y a 142
jours. (Utiliser la méthode exact/365.)
• Réponse: 61,4113 $
• 8- Trouver l’intérêt couru et la cote de l’obligation
précédente.
• Réponses: IC = 1,9452 $ et cote = 59,4661 $
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Taux de rendement promis (yield)
• Notation: y
• Définition: Taux d’actualisation rendant la valeur
présente des flux monétaires égale au prix.
• Autre nom: Taux de rendement interne.
• Il faut normalement procéder par itération pour
trouver y. Les calculatrices financières peuvent
trouver y dans certaine situation.
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Taux de rendement à l’échéance
• Pour une obligation, il faut trouver y tel que


 1  (1  y )  n 
n
k

Pk =  C 

M

(
1

y
)

(
1

y
)



y




• y est un taux de rendement promis effectif par
période de coupon ou le taux de rendement à
l’échéance effectif (yield to maturity).
• (1+y)m-1 représente le taux de rendement
effectif par période de référence (souvent un an).
• m·y représente le taux de rendement nominal
équivalent par période de référence (souvent un
an).
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Autres taux de rendement
• Taux de rendement courant (current yield): m·C/P
• Taux de rendement au rachat (yield to call): Taux
de rendement promis à la date de rachat.
• Taux de rendement promis pour un portefeuille
d’obligations: Taux d’actualisation rendant la valeur
présente des flux monétaires du portefeuille égale à
la valeur du portefeuille. Ceci n’est pas égal à la
moyenne pondérée des taux de rendement promis
des obligations.
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Exercices (suite)
• 9- Trouver le taux de rendement à l’échéance d’une
obligation d’une valeur nominale de 100 $ venant à
échéance dans 10 ans et ayant un taux de coupon
de 5 % annuel payable deux fois par année et un
prix de 85,79 $.
• Réponse: Taux nominal annuel = 7 %
• 10- Trouver le taux de rendement courant de
l’obligation précédente.
• Réponse: 5,83 %
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Relations importantes
• Prix–Taux de rendement (voir Fabozzi, Exhibit 2-2):
• Relation inverse.
• Relation convexe: Une hausse de taux entraîne
une baisse de prix plus faible que la hausse de
prix qu’entraîne une baisse de taux équivalente.
• Taux de coupon–Taux de rendement, Prix–Valeur
nominale:
• À escompte: TC < y ↔ P < M.
• Au pair: TC = y ↔ P = M.
• À prime: TC > y ↔ P > M.
• Prix–Temps: Lorsque le temps passe, P → M.
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Relation Prix-Taux de rendement
(Fabozzi, Exhibit 2-2)
Price
Maximum
Price
Yield
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Rendement réalisé (total return)
• Notation: R
• Définition: Taux d’actualisation rendant égale la
valeur présente de la valeur finale d’un
investissement à sa valeur initiale.
• Le rendement réalisé est égal au taux de
rendement à l’échéance si:
• L’obligation est détenue jusqu’à l’échéance.
• Les coupons sont réinvestis, en moyenne, au
taux de rendement promis de l’obligation.
• Si l’une des deux conditions n’est pas respectée, le
rendement réalisé est généralement différent du
rendement promis.
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Calcul du rendement réalisé
• Calcul de la valeur finale de l’investissement:
• Valeur accumulée, à la date de vente, des
coupons au taux de réinvestissement.
• Prix de vente.
• Valeur initiale de l’investissement = Prix d’achat.
• Le rendement réalisé effectif sur la période
d’investissement est égal à:
• R = Valeur finale de l’investissement – 1
Valeur initiale de l’investissement
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Exercices (suite)
• 11- Un investisseur possède une obligation payant,
en deux versements, un coupon annuel de 8 %.
L’obligation vient à échéance dans 20 ans et promet
un taux de rendement annuel nominal de 10 %
(tous les taux nominaux sont capitalisés
semestriellement). L’investisseur a un horizon de 3
ans et prévoit réinvestir ses coupons à un taux
annuel nominal de 6 % pendant cette période. Quel
rendement effectif annuel l’investisseur prévoit-il
réaliser s’il croit être en mesure de vendre son
obligation à la fin de son horizon à un taux de
rendement annuel nominal de 7 %?
• Réponse: 17,89 %
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