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能量 守恆量
牛頓定律加上力的描述給定運動方程式 Equation of Motion，加上起
使條件(起始位置與速度），便能決定此系統未來任一時間的狀態！
2
  
d r
F ( r , v .....)  m
2
dt
不是所有的問題都解決了嗎？
運動方程式不容易解，守恆量可以提供有用的有限資訊。
守恆量的適用範圍超越運動方程式。
牛頓力學在物體速度接近光速時，必須考慮相對論修正，
但能量守恆在相對論中還是對的！
彈簧的簡諧運動
x  x m cos  t   
k
v
m
1
kx 
2
2
位置 U
1
x m sin  t   
mv
2
 constant
2
運動 K
守恆量
守恆量
自由拋體
v
2
 v0  2 g   y  y0 
2
11
1 21
2 2
2
mv
v  gymgy
 v 0 mv
gy0 0 mgy
22
2 2
運動 K
0
位置 U
物體在特定位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動
Ui
Ki
Uf
Kf
守恆量
Energy Diagram
U  mgy
K 
1
mv
2
由起始條件可以得到守恆的總能量 E
運動過程中任意位置 y 的動能可以求出： K  E  U ( y )
速度與位置的關係可以立刻得到。
2
Turning point: 位能線與總能線交會處，動能為零，粒子轉向。
同樣的思考也可以運用在彈簧的運動！
U 
1
2
k  x 
2
簡諧運動兩端都有turning point，因此運動就被拘限在一個範圍內。
運動方程式給出運動物理量（位置，速度）與時間的關係！
守恆律則排除時間，得出運動物理量彼此之間的關係！
速度是特定值時的彈簧壓縮量
球到達某角度時的繩張力
其它的力是不是也有這樣的 U ?
兩個粒子間的力是否能束縛它們形成束縛態
bound state，以位能來思考是最簡單的方法！
彈簧
1
kx 
2
2
1
mv
2
 constant
守恆量
2
位置 U
運動 K
自由拋體
1
mv  mgy  constant
2
2
運動 K
位置 U
在這兩個例子中，同時出現的是由速度決定的 K
守恆量
研究
K 
1
mv
2
在運動過程中的變化
2
考慮一個無限小的過程：

v


v  v
s




 
1
1  
1
2 
  mv   m v   v   v   v   m v  v  m  v  v
2
2
 2



 s




v
 mv 
 m
 s  ma  s  F  s  W
t
t

v


v  v
s
功造成動能的變化
 
1
2 
  mv    s  F  W
2

以上的式子只對無線小的運動過程適用
但將無限多無限小的過程組合起來，即成為一個有限的過程：

F

r j 1    

rj

r1    

rj
對每一段無限小的過程動能變化都等於力所作的功：
 
1
2 
  mv    s  F  W
2

動能的總變化就等於沿著運動的路徑力所作的功的總和：
1
𝐾𝑓 − 𝐾𝑖 =
𝑚𝑣 2
2
1
−
𝑚𝑣 2
2
𝑓
𝑁
= lim
𝑖
𝑁→∞
∆𝑠→0 𝑗=0
∆𝑗
1
𝑚𝑣 2
2
𝑁
= lim
𝑁→∞
∆𝑠→0 𝑗=0
∆𝑊𝑗 ≡ 𝑊𝑖→𝑓
W
1
𝑚𝑣 2
2
1
−
𝑚𝑣 2
2
𝑓
𝑁
= lim
𝑖
𝑁→∞
∆𝑠→0 𝑗=0
𝑁
∆𝑊𝑗 ≡ lim
𝑁→∞
∆𝑠→0 𝑗=0
功等於動能變化，功與動能原理
𝐹𝑗 ∙ ∆𝑠𝑗 = 𝑊𝑖→𝑓
其它的力是不是也如彈力有U 使得 U 與 K 的和是守恒量 ?
U
如果有這樣的 U：
K  U
K  W
?
一段運動過程的功必須等於 U 的變化：
W    U   U
f
   U 
i
?
其它的力要如彈力有U 使得 U 與 K 的和是守恒量：
先決條件是在任何運動過程中，力所作的功必須可以寫成一個物理量的前後差。
考慮一維運動
 x j
x j 1
x
x j
F (x j )
考慮外力只與位置有關， F  F ( x )
 x j
x j
x j 1
x
考慮一維運動
F (x j )
如果外力只與位置有關
F  F ( x)
N
W  lim
 F (x
N 
x  0 j  0
j
)  x j
xf
功就是力曲線下的面積，即是𝐹 𝑥 的積分
 F ( x ) dx 
xi
N
lim
 F (x
N 
x  0 j  0
j
)  x j
功即是力𝐹 𝑥 對位置𝑥的積分
xf
N
W  lim
 F (x
N 
x 0 j  0
j
)  x j 
 F ( x ) dx
xi
功是力函數曲線下的面積
xf
xf
 F ( x ) dx   F ( x ') dx '
xi
xi
兩個定理：
a
b
 F ( x ') dx '    F ( x ') dx '
b
a
b
c
b
 F ( x ') dx '   F ( x ') dx '   F ( x ') dx '
a
a
a
c
c
b
𝑥𝑓
積分值只與函數及端點值有關
定積分，它是一個值，不是函數
𝐹 𝑥′ ∙ 𝑑𝑥′
𝑥𝑖
不定積分：讓積分的一個端點可以自由變化，
因此得到一個以端點值為變數的函數
x
G ( x) 
 F ( x ') dx '
xi

: F ( x)  G ( x)
積分是一個由函數得到另一個函數的運算
微積分基本定理
微分與積分是反運算
x
G ( x) 
G '( x )  F ( x )
 F ( x ') dx '
xi
x  x
G '( x )  lim
G ( x  x)  G (x)
x 0
x

 lim
x
F ( x ') dx 
xi
x 0
 F ( x ') dx
xi
x
x  x

 lim
x 0
F ( x ') dx
x
x
 lim
x  0
F ( x)  x
x
 F ( x)
x x+Δx
所以要算積分時，就是去猜一個函數，使它的微分就是你要積的函數F
微分與積分是反運算，那麼積分的計算就是微分的反向運算！
猜一個函數H ，使它的微分就是你要積的函數 F
H '( x )  F ( x )
這樣的函數 H 稱為函數 F 的反微分
但你也可以在函數H上加一個常數，依舊是反微分。
 H ( x )  c ' 
H ' ( x)  F x 
反微分有無限多個，但任兩個反微分的差只是一個常數！
最重要的積分公式：
x
G ( x) 
 F ( x ') dx '
xi
根據微積分基本定理
G '( x)  F ( x)
G是F 的一反微分
如果你能猜到任一個 F 的反微分 H ，你離 G 就只差一個常數。
G ( x)  H ( x)  c
幸運的是常數 c 可以很容易求出：只要將積分的起始端點代入G ，值必為零
xi
G ( xi ) 
 F ( x ) dx
 0  H ( xi )  c
c   H ( xi )
xi
因此可以寫下最後的公式：
x
G ( x) 
 F ( x ' ) dx '  H ( x )  H ( x i )  H ( x ' )
xi
此式對任一個反微分 H 都對！
x
xi
積分的計算：猜到任一個 F 的反微分 H
x
G ( x) 
 F ( x ' ) dx '  H ( x )  H ( x )  H ( x ' )
i
x
xi
xi
x

xi
x' 
n
1
n 1
x
x'
n 1

xi
1
n 1
x
n 1

1
n 1
n 1
xi
功可不可以寫成一個物理量的前後差？
x
xf
W i f 

F ( x ' ) dx '
F 的反微分函數
xi
xf
W 
 F ( x ' ) dx '  H ( x
f
)  H ( xi )   H
xi
根據微積分基本定理，功一定可以寫成 H 這個函數的前後差！
考慮一維運動
如果外力只與位置有關， F  F ( x )
功就可以寫成一個物理量的前後差，使 K+U 保持守恆的 U 就會存在。
一維運動的位能
力是不是有位能 U ?
功是力函數積分，可以另找一個起點c ，拆成由c出發的力函數積分的前後差：
xf
W 
xf
xi
 F ( x ' ) dx '   F ( x ' ) dx '   F ( x ' ) dx '
xi
c
c
根據功與動能原理，功又是動能的前後差，
xf
K
 K i  Wi f 
f
xi
 F ( x ' ) dx '   F ( x ' ) dx '
c
c
c
因此由c出發的力函數積分的前後差，就等於動能的前後差：
將前後的量分別移到左右兩邊：
xf
Kf 
xi
 F ( x ' ) dx '  K -  F ( x ' ) dx '
i
c
這個量是守恆的！
c
x
定義位能
U ( x )    F ( x ' ) dx '
c
K
f
 U ( x f )  K i  U ( xi )
K U
守恆
i
f
x
xi
xf
在一維運動，如果外力只與位置有關， F  F ( x )
K U
守恆
x
U ( x )    F ( x ' ) dx '
c
位能即是由起點 c 到 x ，此力所作的功的負數！
物體在特定位置上是具有潛在能力可以轉化為運動
Ui
Ki
Uf
Kf
位能 Potential Energy
x
U ( x )    F ( x ' ) dx '
c
定義中積分的下限是一個任意常數，
U (c )  0
c 是位能為零的位置！
但其值可以任意，可見位能的定義並不是唯一。
可以唯一定義的是位能差：
xf
U 
xi
xf
 F ( x ' ) dx '   F ( x ' ) dx '    F ( x ') dx '  W
c
c
F i f
xi
位能差洽為此力 F 從起點運動到末點所作功的負號
因為物理現象只與位能差有關，所以常數可以任意選取。
x
U ( x )    F ( x ' ) dx '
c
位能由位置決定，如同地圖一樣！
W
功等於動能變化，功與動能原理
K  W
來自第二定律物理的結果
數學的推導得到功可以寫成位能差。
以位能差來代替功，利用位能來描述力的作用。
W
Ui
Ki
Uf
將粒子與施力者視為一個系統，原本是外力所
做的功，就變身為系統內部狀態的變化
Kf
K  U
力學中的功
x
xi
xf
x
xi
xf
功 W 是一個過程的物理量。
原則上可能與過程的細節相關！
對一維的力，一個過程的功恰好是一個物理量的前後差：
W  U
位能 U 則是屬於狀態的物理量！
在此特殊情況下，功只與前後狀態有關！
W
功 W 是一個過程的物理量。
Ui
Ki
Uf
位能 U 則是屬於狀態的物理量！
Kf
U  K  0
Ui
Ki
Uf
機械能守恆
Kf
E Mech  K  U
位能 Potential Energy
x
U ( x )    F ( x ' ) dx '
c
位能是由位能為零的參考點 c 運動到 x 的過程中，此力所作的功負號。
我們可以自由選擇參考位置 c
xf
 U  U ( x f )  U ( x i )  W F i  f    F ( x ) dx
xi
位能差是由起點運動到末點的過程中此力所作的功的負號。
彈力位能
Elastic Potential Energy
取 U ( x  0)  0
x
U ( x )    (  kx ') dx ' 
0
1
2
kx
2
守恆量
1
2
kx 
2
1
2
mv
2
 constant
由位能求力
x
U ( x )    F ( x ' ) dx '
c
位能函數是力的積分的負號
F 
dU
dx
力是位能函數的微分的負號
有了位能函數，由起始的總能量即可求出在任一位置的速率！
1
2
mv  U ( x )  E 0
v
2
2 ( E 0  U ( x ))
m
動能就是兩線的間隔
折返點 Turning point
v
2 ( E 0  U ( x ))
m
U  E0
折返點
粒子無法進入 U  E
0
在一個位能中的粒子運動邊可以分成兩種：
自由態：運動範圍並沒有被限制於一個區域內，
機械能必須大於無限遠處的位能
束縛態：運動範圍被限制於一個區域內，
機械能小於無限遠處的位能
兩端都有 turning point，所以只能拘限在這兩點之間運動。
一般來說束縛的範圍會和能量有關。
平衡點 Equilibrium Point
F ( x0 )  
束縛態的運動範圍一定有一個平衡點
dU
dx
0
x0
束縛態
r
如果兩粒子總能量小於零（無限遠處位能），就能形成束縛態。
束縛態一形成，能量會慢慢在束縛範圍被熱消耗掉，
最後束縛態的兩粒子大致就停在平衡點。
束縛能：拆散束縛態所需的能量，平衡點位能與無限遠處位能的差！
在平衡點附近不遠處震盪的束縛態，他所感覺的位能近似於一拋物線，
因此近似於一個以平衡點為中心的簡諧運動！
原子力的位能
原子力
原子力 Lennard-Jones
F(x)
x
 
 
F ( x )  4 12  
   x 
13
7
  
 6  
 x  
  0 . 263 nm
  1 . 51  10
與萬有引力定律不同，此式只是一個近似！
 22
J
原子力是由電磁力產生
原子力的位能
   12    6 
U ( r )  4       
 r  
  r 
   12 
 6
F (r )  
 4  12  13   6  7
dr
 r
  r 
dU
原子力遠距吸引，近距排斥，有一個平衡點。



原子力
   12    6 
U ( r )  4       
 r  
  r 
束縛能只有約 0.001eV，
而室溫時熱擾動能量 kT ~ 0.02eV，束縛態會被熱拆散。
要形成束縛態，必須增加平衡態附近的谷深，即在近距離減低能量
離子束縛態
形成離子雖然耗能，但兩個相反電荷的離子，靠近時會降低能量
需能5.1eV
釋能3.8eV
-
Na
Cl
因此降低的能量可以彌補形成離子所耗的能量
+
r
若束縛可釋得1.3eV以上能量，則束縛態能量較低
離子束縛態
束縛能3.6eV已大於室溫的熱擾動能量，故為穩定的束縛態。
3D空間的功
rf
W 
 F  ds
ri
沿某一路徑
研究
1
mv
2
2
的變化

v


v  v
s
有外力：

 

1
1  
1
2 
  mv   m v   v   v   v   m v  v
2
2
 2



 v


 
 mv  v  ms 
 s  ma  s  F  W
t
功是力向量與位移向量的內積！

rj

r j 1


rj  s j

r1

 
1
2 
  mv    s  F  W
2

將無限多無限小的過程組合起來，即成為一個有限的過程：
1
𝑚𝑣 2
2
−
𝑓
1
𝑚𝑣 2
2
𝑁
= lim
𝑖
𝑁→∞
∆𝑠→0 𝑗=0
𝑟𝑗
𝑁
∆𝑊𝑗 ≡ lim
𝑁→∞
∆𝑠→0 𝑗=0
𝐹𝑗 ∙ ∆𝑠𝑗 ≡
𝐹(𝑟) ∙ 𝑑𝑠 = 𝑊𝑖→𝑓
𝑟𝑖
線積分
3D空間的功與動能
rf
W 

ri
F  ds 
1
2
mv 
2
f
1
2
2
m vi
s
W
功造成動能的變化
正向力與位移垂直，因此完全不作功
因正向力未知，以牛頓定律計算會相當困難
以能量守恆來討論，正向力根本不會出現在問題中。
3D 空間的位能
r
位能是由參考點 c 運動到 x 的過程中，此力所作的功負號。 U   F  d s

在2D以上的空間，有很多條路徑可以從起點運動到末點。
所以功的計算必須標明沿哪一條路徑。
但位能只能是一個空間位置的性質，與路徑無關。
位能的定義要能夠成立，功必定與路徑無關！
b
W1 

 

F (r )  ds
a 沿路徑 1
 

F
(
r
)

d
s

b
W2 
a 沿路徑 2
 U  U ( b )  U ( a ) 只與前後點有關
對任意兩條路徑：W 1  W 2
位能存在的條件
c
這個條件可以寫成另一個形式
若是位能定義要唯一
W1  W 2
對任意兩路徑
將路徑 2 倒行與路徑 1 就組成一封閉路徑！
 
W 1  W 2  0   F  d s 沿任一條封閉路徑，力所作的功必為零！

 
F  d s  0 保守力條件
保守力才能定義位能！
若是保守力：
rf
 U  W    F  ds
ri
功就可以寫成一個物理量的前後差，位能就會存在。

r
 

U (r )    F  dr

c
位能是由參考點 c 沿任一路徑運動到 x 的過程中，此力所作的功的負數。
K U
守恆
物體在某位置上是存在某種潛在能力可以轉化為運動
Ui
Ki
Uf
Kf
x
xi
xf
一維的，由位置決定的力是保守力！
xi
W 
 F ( x ) dx   F ( x ) dx
xi
0
靜電力是不是保守力？
考慮一固定電荷 Q 旁一可運動的小電荷 q
W 
A’



FE  d s

FE 
1
Qq
4  0 r
2
rˆ
垂直於 r 的運動不作功
 lim
r  0

dr
rB

i
1
 4
rA
1
4  0 ri
Qq
0
Qq
r
2
2
  ri
 dr
Qq  1
1 

 與 A、B 的方向無關



4  0  rB r A 



Qq  1
1 

0
FE  d s 


4  0  r A r A 
沿任一封閉曲線，庫倫靜電力所作的功必為零！
靜電力為保守力，可以定義電位能
同樣的證明適用於任何中心力，
中心力是力的方向沿著半徑 r 方向，大小由距離決定

F  f ( r ) rˆ
W 

 
F  ds 

rf


ˆ
f ( r ) r d s 

ri
rf

f ( r ) dr
ri
三維的中心力所作的功等同於沿 r 方向一維的力
 
 F  ds 
ri

ri
任何中心力都是保守力！
原子力、萬有引力也是保守力
f ( r ) dr  0
電位能
r


Qq  1 1 
U ( r )    F E  d s    F E ( r ' )  dr ' 
  
4  0  r c 
c
選 U ( )  0,
U 
1
Qq
4  0 r
c
摩擦力是否是保守力？
動摩擦力大小是常數，但方向與速度有關
W   fk  d
動摩擦力與位移永遠反向，所作必為負功
將方塊在斜面上移到高處後，再移回到原位
W f   fd  fd   2 fd
W g   mgh  mgh  0
摩擦力不是保守力
在三度空間中也是如此：

 
F  d s   f k  ds   f k  S  0
摩擦力不是保守力
將粒子與施力者視為一個系統，所施的力變為系統的內力
其它的外力也可對此系統做功
推廣後的功與動位能原理
W
W app   U   K
Ui
Ki
系統的外力所作功等於
動能變化加位能變化。
Uf
Kf
非保守力所作的功無法寫成一個物理量的前後差，只能以功來處理
W
W app   U   K
Ui
Ki
Uf
Kf
保守力的功可以寫成位能差！
推廣後的功與動能原理
機械能並不守恆
將摩擦力視為外力
W app   f k  d    K  U     E mech

位能可以自然轉為動能，摩擦力會慢慢消耗機械能。
自然界有一個傾向趨向最低位能處！
 f k  d   K  U

有摩擦，似乎機械能就不守恒！
但！焦耳的實驗發現
W friction  Q  mc T f  Ti   mcT
f
 mcT i
摩擦力的功也可以寫成一個物理量的前後差！
只是這個物理量與位置無關而與溫度有關！
如果將溫度考慮進來，
摩擦作的功，也如位能，可以寫成一個物理量在前後狀態的改變！
f k d  mc T f  Ti   mcT
f
 mcT i   E int T 
內能是溫度的函數
E int (T )
 f k  sd    E in t    K  U

  E in t  K  U
0
守恆量
機械能如果被擴展到包括內能，能量還是會守恆！
Ui
Ki
Eint i
Uf
  E in t  K  U
0
Kf
Eint f
每次遇到新的現象，能量似乎就不守恆，
但仔細研究就會發現減少的部分一樣可以寫成一個物理量的前後差，
將此物理量設成新的能量形式，加入新的能量形式，能量依舊守恆！
P I
R
2
avg
P I
2
流量=密度×流速
R  0E
2
c
電磁波帶走的能量
質能守恆
原子核分裂中，末動能顯然大於起始動能 K
f
 K i
相對論更改了能量的形式，質量是帶著能量的：
m0c
E 
2
v
1  
c
K
2
 K i  m  c  m f c  mic
2
f
E  m0c 
2
K  mc
2
 E
2
2
能量是一個守恆量
1
2
m0v 
2
E 
mc
1
2
v
2
c
2
E  mc
2
靜止的物體因為其質量，能量亦不為零
這個公式暗示了能量與質量可以彼此互相轉換。
E  m c +K
2
mc2
K
mc2
K
質量的減少可能變為動能的增加！
質量是能量的一種形式，能量守恆蘊含質量可以轉換為其他形
式的能量，其他形式的能量亦可轉換為質量，質量不再守恆。
共價鍵束縛態
-
H+
H+
H+
H+
R
電子共享也可使能量降低，因此形成束縛態。
所降低的能量與原子核的距離及電子軌道有關
在量子的微觀層次，因為位置動量無法同時測準，
力的概念變得很不方便，但原子系統能量仍然可以測準。
  
 r , R1 , R 2


-
H+
H+
解兩個原子核外的電子能階，
電子能態的能階與距離 R 的關係？
氫原子能階
S能態
r
S能態波函數
S能態機率分布
P能態機率分布
P
s
py
pz
px
分子軌道能態
H+
H+
r
or
當距離 r 很遠時  ( x )   1 ( x ), 2 ( x )
你可能預期氫分子的電子能態軌道會近似 𝜓1 及𝜓2 加上一些修正，但並不是！
H+
互換
H+
兩原子核互換後，情況沒有任何改變：
所以電子能態波函數的機率分布在兩原子核互換下也必須不變: 
因此波函數在互換下必須不變（對稱），
2
 
 ( x)   ( x)
或是乘上(-1) 反對稱：  ( x )   ( x )
因此能態波函數不能近似單純的  ( x )   1 ( x ), 2 ( x )
而是近似於兩者的組合： 1 ( x )   2 ( x )
在互換下： 1   2
2
H+
H+
互換
r
 ( x )   1 ( x ), 2 ( x )
就會轉換
1 
2
轉換後的能態波函數與轉換前是不一樣的。
因此分子能態波函數不能是單純的個別原子能態的修正。
但個別原子能態的組合就可以：
H+
 1( x)  2 (x)
互換
H+
在互換下：1( 
x) 

2 1( x)  2 ( x)   2 ( x)  1( x)    ( x)
  ( x )   1 ( x )   2 ( x )   2 ( x )   1 ( x )    ( x )
所以電子能態波函數的機率分布在兩原子核互換下也必須不變:  
2
 
2

因此分子的電子能態是由以下兩個個別原子能態的組合修正而成：
 1 ( x)  2 ( x)
對稱 S
 1 ( x)  2 ( x)
反對稱 A
這兩個態的能量不同：
反對稱 A
對稱 S
S態電子有較大機率存在於兩原子核之間，
距兩代正電原子核較近，能量因此較小！
反對稱 A
對稱 S
分子中電子能態的能階（位能）與距離 R 的關係：
反對稱 Anti-Bonding
對稱 S Bonding
電子因為由兩個原子核共享而增加了負的庫倫位能，
使能量會因原子核距離的靠近而減少。
對稱態的確可以形成束縛態
分子軌道 Molecule Orbits σ-bond
分子軌道
A Anti-Bonding
Molecule Orbits
σbond and πbond
S Bonding
σbond
A Anti-Bonding
S Bonding
πbond
Hybridization
SP3
CH4
SP2
許多自然界的粒子都是束縛態
And if the protons and neutrons were a centimeter in diameter;
Then the electrons and quarks would be less than the diameter of a hair; and
The entire atom's diameter would be greater than the length of 30 football fields!
質子是由三個夸克所構成的束縛態
6種風味 Flavors
每一種風味的夸克還可以帶有顏色，顏色共有三種。
+
=
紅加反紅等於無色，以白代表。
對強交互作用所造成的束縛態，只能用位能來討論
強交互作用的近似位能
近距離是平方反比，遠距是線性關係！ U  a  r
r 
近距離是平方反比，遠距是線性關係！ U  a  r
強交互作用不隨距離而減小！
r 
但色力非常特別！
電磁作用隨距離增加而減小
強交互作用不隨距離而減小！
位能一直增加到可以產生一個新粒子！
Quark Confinement 夸克囚禁
你永遠看不到孤立的夸克。